苏州大学高考考前指导卷(1)

苏州大学2016届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ． 2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ▲ ． 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ▲ ．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ▲ ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ▲ ． 8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知直线x y b +=是函数2y ax x=+的图象在点(1,)P m 处的切线，则a b m +-= ▲ ．10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin 2(θ－π6)＝ ▲ ．11．在等腰直角△ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M ，N 为AC 边上的两个动点，且满足MN =则BM BN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 ▲ ．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l ：34170x y +-=．若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则AB 的长度取最小值时直线AB 的方程为 ▲ ．13．已知函数e , 1,()(1), 1,x x f x f x x =->⎧⎨⎩≤()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14．已知不等式2(3)()0ax x b +-≤对任意(0,)x ∈+∞恒成立，其中,a b 是整数，则a b +的取值的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PBC 是直角三角形，90PCB ∠=︒,点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD ．证明：（1）//AP 平面BED ； （2）平面APC ⊥平面BED ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km，5km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成t h时的半径为r =a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．OMNPB AQPEDCBA18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅u u u r u u u r的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中*n ∈N ．（1）若112a b ==，339a b -=，55a b =，试分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设{},*k k A k a b k ==∈N ，当数列{}n b 的公比1q <-时，求集合A 的元素个数的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数2()e ln x f x a x b x=++⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中,a b ∈R ，e 2.71828≈是自然对数的底数.（1）若曲线()y f x =在1x =的切线方程为e(1)y x =-，求实数a ，b 的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围；②若2a =，2b ≥-，若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值(用b 表示).苏州大学2016届高考考前指导卷（1）参考答案1．3．2．5.3．50.4．14.5．30.6．221520x y -=.7．4.8．.9．2.10．.11．3[,2]2.12．68190x y +-=.13．e 1()(1,e 1]2--U .14．{2,8}-. 解答与提示1．由{1,3}A B =I 可知1A ∈且3A ∈，有3a =.2．由题意得24i 3i 43i z =+=-+，那么||5z =. 3．三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=.4．22222814P ==⨯⨯=.5．3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30.6．由双曲线的渐近线方程b y x a=±可知2b a =；又由题意5c =，那么5a =，双曲线方程为221520x y -=.7．方法1：2S 3－3S 2=112(33)3(2)312a d a d d +-+==，则4d =.方法2：因为112n S n a d n -=+，则32232S S -=2d=，得到4d =.8．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则22,4r rl π=π=，解得2,22r l ==，故高6h =，所以21126633V r h =π=π⨯2⨯=π．9．由于P 点在函数2y ax x=+图象和直线x y b +=上，则2m a =+，1m b +=.又由函数2y ax x =+的导函数22'y a x=-可知，切线的斜率12k a =-=-，有1a =，3m =和4b =，则2a b m +-=.10．设t =π6－θ，有cos t ＝33.那么cos(5π6＋θ)－sin 2(θ－π6)＝cos(π-t )-sin 2t ＝-2+33.11．方法1：建立直角坐标系，设(0,0)B ，(2,0)A ，(0,2)C ，则利用2MN =可设00(,2)N x x -，00(1,3)M x x --，其中0[1,2]x ∈，那么2002(33)BM BN x x ⋅=-+u u u u r u u u r 3,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3,22BM BN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r .方法2：设MN 中点为D ，则()()224BM BNBM BN BM BN +--⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r2224142BD MNBD -==-u u u r u u u u r u u u r ；由图形得到102,BD ⎡⎤∈⎢⎥⎦u u u r ，那么3,22BM BN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r .12．当AB 的长度最小时，圆心角ACB ∠最小，设为2θ，则由1cos AC CMCMθ==可知当θ最小时，cos θ最大，即CM 最小，那么，CM l ⊥，可知43AB l k k ==-，设直线AB 的方程为34x y m +=.又由2CM =可知，点C 到直线AB的距离为12，即34125m +-=，解得192m =或92；经检验192m =，则直线AB 的方程为06981x y +-=.13．画出函数()f x 的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数()1g x kx =+的图象过(1,)A e ，(2,)B e 时直线斜率11k e =-，212e k -=，并且当1k =时，直线1y x =+与曲线xy e =相切于点(0,1)，则得到当函数()f x 与()g x 图象有两个交点时，实数k 的取值范围是1(,1)(1,1]2e e --U .14．首先，当0b ≤时，由2(3)()0ax x b +-≤得到30ax +≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则0a <，且030a ⋅+≤，得到矛盾，故0b >.当0b >时，由2(3)()0ax x b +-≤可设()3f x ax =+，2()g x x b =-，又()g x 的大致图象如下，那么由题意可知：0,3a a<⎧⎪⎨-=⎪⎩再由,a b 是整数得到1,9a b =-⎧⎨=⎩或3,1,a b =-⎧⎨=⎩因此a b+＝8或12．15．（1）因为()f x 的最小值是－2，所以A ＝2．又由()f x 的图象经过点(,1)3M π，可得()13f π=，1sin()32ϕπ+=，所以236k ϕππ+=π+或236k ϕπ5π+=π+，又0ϕ<<π，所以2ϕπ=，故()2sin()2f x x π=+，即()2cos f x x =．（2）由（1）知()2cos f x x =，又8()5f α=，24()13f β=，故8242cos ,2cos 513αβ==，即412cos ,cos 513αβ==，又因为,(0,)2παβ∈，所以35sin ,sin 513αβ==，所以()2cos()2(cos cos sin sin )f αβαβαβαβ-=-=+412351262()51351365=⨯+⨯=．16．（1）设AC BD O =I ，ABCD 是平行四边形，故O 为BD 中点．连结OE ，因为点E 是PC 的中点，所以//AP OE ．OE ⊂平面BED ,AP ⊄平面BED ,所以//AP 平面BED ．（2）因为平面PBC ⊥平面ABCD ,90PCB ∠=︒，故PC ⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，所以PC BD ⊥．而底面ABCD是菱形，故AC BD ⊥,又AC PC C =I ，所以BD ⊥平面APC ．BD ⊂平面BED ，所以平面APC ⊥平面BED ．17．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：()6,0A ，OPE DCBA直线ON 的方程为()()003,,30y x Q x x =->．=，及00x >得03x =，∴()3,3Q ．∴直线AQ 的方程为()6y x =--，即60x y +-=，由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即()3,9B -，∴AB ==，即水上旅游线AB 的长为．（2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得P （3，9），生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则1,02AC t =≤≤，∴()618,18C t t -．强水波不会波及游轮的航行即2210,.2PC r t >∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦对恒成立2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t =时，上式恒成立，当100,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时，即时，107248a t t <+-.101()7248,0,2g t t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724848g t t t=+-≥，当且仅当1(0,]62t =∈时等号成立，所以，在010a <<时r PC <恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（1）因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c=故c =，则222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD⋅u u u r u u u r ＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k+=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+u u u r u u u rM21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<u u u r u u u r ，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-u u u r u u u r ．②由题意得，AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =-，故点Q 的纵坐标为定值12.19．（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，数列{}n b 的公差为()0,1q q ≠，则242229,242,d q d q ⎧+-=⎨+=⎩解得15,22,d q ⎧=⎪⎨⎪=±⎩∴151122n a n =-，2nn b =或()2n --．（2）不妨设()()0,0,1n n n a a bn b b pq pq q =+≠=≠≠，则n a bn pq +=，即n a b n q p p +=，令(),0a bs t t p p==≠，问题转化为求关于n 的方程0n q tn s --=（*）最多有多少个解．①当0t >时，因为1q <-，若n 为奇数，则方程为0nq tn s ++=，左边关于n 单调递增，方程（*）最多有1个解；若n 为偶数，则方程为0n q tn s --=，令()xf x q tx s =--，则()ln xf x q q t '=-，令()0f x '=，得0log ln qtx q=，由于1q >，∴函数()f x '单调递增，∴当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴方程（*）在()0,x -∞和()0,x +∞上最多各有1个解．综上：当*N n ∈时，方程（*）最多有3个解．②当0t <时，同理可知方程（*）最多有3个解．事实上，设68,(2)n n n a n b =-=-时，有112244,,a b a b a b ===，所以A 的元素个数最大值为3．20．(1)由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e xa f x a xb x x +=-++⎛⎫⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2)①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0xf x x b x =--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x=+，设22()2ln g x x x=+(0)x >.由2332424'()x g x x x x -=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；当x >'()0g x >，函数()y g x =在区间)+∞上为增函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；所以，当且仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e x x ≥.设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0x x u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x +≥.设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号.由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即实数k 的最大值为(2)e b +.。