求概率的三种方法
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
概率的基本概念
概率的基本概念概率是概念一层次的产物，是对人们观察、实验中一系列结果出现的可能性进行度量的数值。
概率理论是一种基本的数理工具，广泛应用于统计学、自然科学、社会科学以及工程技术等领域。
在本文中，将介绍概率的基本概念及其应用。
一、概率的定义概率的定义一直是概率论的核心问题之一。
根据古典概率、频率概率和主观概率三种学派的观点，概率可以有多种定义方式。
1. 古典概率古典概率是一种基于理论计算或样本空间的概率定义方法。
它假设所有可能的结果是等可能发生的，概率可通过事件发生的次数与样本空间大小的比例来计算。
2. 频率概率频率概率是一种基于实际观测结果的概率定义方法。
它通过统计实验重复进行，事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是概率。
3. 主观概率主观概率是一种基于主观判断的概率定义方法。
它依赖于个体的主观信念、经验和判断，是一种主观确定的概率。
概率的定义方式有时候是灵活的，可以根据具体情况选择合适的定义方法。
概率具有多种基本性质，下面介绍几个重要的性质。
1. 非负性概率的取值范围在[0,1]之间，即概率值不会小于0，也不会大于1。
2. 规范性样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。
3. 可加性对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于两个事件分别发生的概率的和。
4. 完备性对于样本空间Ω中的任意事件A，事件A发生的概率加上事件A不发生的概率等于1。
三、概率的计算方法概率的计算可以通过多种方法进行，根据问题的特点选择不同的计算方法。
1. 古典概率的计算古典概率的计算方法是最简单的，只需要将事件发生的可能性个数除以样本空间的可能性个数即可。
条件概率是在给定其他事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行。
3. 边际概率的计算边际概率是指多个事件中某一事件发生的概率。
边际概率的计算可以通过联合概率和条件概率进行。
四、概率的应用概率在现实生活中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的概率应用场景。
三个独立事件的概率计算公式
三个独立事件的概率计算公式在我们的日常生活中，概率这个神奇的概念无处不在。
比如说，明天会不会下雨，抽奖能不能中奖，考试蒙对答案的可能性有多大等等。
今天呢，咱们就来好好聊聊三个独立事件的概率计算公式。
先来说说什么是独立事件。
想象一下，你在学校参加考试，语文考得好不好跟数学考得好不好没啥关系，这两门成绩互不影响，这就是独立事件。
那三个独立事件的概率计算公式是啥呢？假设这三个独立事件分别是 A、B、C，它们发生的概率分别是 P(A)、P(B)、P(C)，那么这三个事件同时发生的概率就是 P(A)×P(B)×P(C)。
举个例子吧，比如说有个小朋友小明，他特别喜欢玩游戏。
有一天，他玩了三款游戏。
第一款游戏通关的概率是 0.6，第二款游戏通关的概率是 0.7，第三款游戏通关的概率是 0.8。
这三款游戏通关就是三个独立事件。
那小明三款游戏都通关的概率就是 0.6×0.7×0.8 = 0.336。
这就意味着小明同时通关这三款游戏的可能性大概是三分之一多一点。
再比如说，咱们去抽奖。
有三个抽奖箱，第一个抽奖箱中奖的概率是 0.2，第二个是 0.3，第三个是 0.4。
那在这三个抽奖箱都中奖的概率就是 0.2×0.3×0.4 = 0.024。
这概率可就相当低啦！在实际生活中，这个概率计算公式用处可大了。
比如说，一家工厂生产三种零件，第一种零件合格的概率是 90%，第二种是 95%，第三种是 98%。
那这三种零件都合格的概率就是 0.9×0.95×0.98 = 0.837。
这对于工厂控制产品质量可太重要啦，如果想要提高整体合格的概率，就得分别去提高每个零件的合格率。
又比如说，你准备出门旅游，飞机准点的概率是 80%，酒店预订成功的概率是 90%，旅游景点不拥挤的概率是 70%。
那这三件事都顺利的概率就是 0.8×0.9×0.7 = 0.504，也就是说，有一半多一点的可能性一切都顺顺利利的。
随机事件概率的类型及求法
随机事件概率的类型及求法在初中阶段，随机事件的概率主要有三种类型：统计概率、古典概率和简单的几何概率，它们的意义及求法各不相同。
因此，求随机事件概率，应针对不同的类型灵活选用不同的方法求解。
下面举例说明。
一、统计概率在随机试验中，在一定条件下大量重复进行同一试验，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率。
这种由试验次数很大时的频率估计出的概率就是统计概率。
例1.“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图1所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动。
顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品。
下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）。
A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒分析：由表格可以看出，指针落在“铅笔”区域的频率总在0.70附近波动，而且近似等于0.70，因此可估计，当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，选项A正确。
由表格可知，转动转盘次数最多的是1000次，此时落在“铅笔”区域的频率是0.69。
因为0.69≈0.70，根据频率与概率的关系可知，转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，选项B正确。
根据题意可知，指针落在“文具盒”区域的频率大约是1-0.7=0.3，所以转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3=600（次），选项C正确。
因为转动转盘发生的结果具有随机性，所以转动转盘10次，并不一定有3次获得文具盒，选项D不正确。
解：选D。
总结：通过试验用频率估计概率的大小，如果得到了一组频率值，那么将试验次数最多的频率值的最后一个有效数字四舍五入，作为概率的估计值。
分配概率的三个方法
任务名称：分配概率的三个方法概述在统计学和概率论中，分配概率是指对于某个事件发生的可能性进行量化的过程。
分配概率的方法有很多种，但在本文中会重点讨论三个常用的方法，它们分别是：经典概率、相对频率概率和主观概率。
一、经典概率经典概率是指基于事件的样本空间和可能的结果数量来计算概率的方法。
它假设每个可能结果发生的机会是相等的。
经典概率主要适用于每个可能结果都等概率出现的情况，比如掷硬币、掷骰子等。
1. 步骤经典概率的计算步骤如下： 1. 确定样本空间，即可能的结果集合。
2. 计算每个可能结果的数量。
3. 计算事件的概率，即事件结果数量与样本空间结果数量的比值。
2. 示例以掷硬币为例，样本空间为{“正面”, “反面”}，可能的结果数量为2。
如果我们想知道掷硬币出现正面的概率，结果数量为1，因此根据经典概率，正面的概率为1/2。
二、相对频率概率相对频率概率是通过实际观察事件发生的频率来估计概率的方法。
它基于大量的实验和观察，通过事件发生的次数与总试验次数的比值来计算概率。
1. 步骤相对频率概率的计算步骤如下： 1. 进行大量的试验或观察，记录事件发生的次数。
2. 计算事件发生的频率，即事件发生次数与总试验次数的比值。
2. 示例假设我们想知道一枚硬币出现正面的概率。
我们进行了1000次试验，记录下了正面出现的次数为600次。
根据相对频率概率，正面出现的概率为600/1000，即0.6。
三、主观概率主观概率是指基于主观判断和个人经验来估计概率的方法。
它强调了个人在概率估计中的主观认知和主观判断的作用。
主观概率通常用于无法通过经典概率或相对频率概率来进行概率估计的情况。
1. 步骤主观概率的计算步骤如下： 1. 基于主观判断和个人经验，给出事件发生的概率估计。
2. 根据主观判断和个人经验，进行概率的调整和修正。
2. 示例假设我们想知道明天下雨的概率。
由于这个事件无法通过经典概率或相对频率概率来直接进行概率估计，我们只能根据个人经验和主观判断来估计概率。
概率计算方法
.概率计算方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一.公式法随机事件可能出现的结果数.其中P(必然事件)=P(随机事件)=1,P（不可能事件）随机事件所有可能出现的结果数=0；0<P(随机事件)<1.1 2 3中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中图1河北)例1 (074 6 5 只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为．________1 图其中,一共有6种可能的翻牌结果解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，12 )=. 种为中奖,所以P(中奖有2?36以及对随机重在考查学生对概率模型的理解、本题采用了一种较为有趣的试题背景，说明: .事件发生概率值的计算面积法二.是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一22 如图例_______.个地方，则它停留在阴影部分的概率是因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为解析：2 ，面积之比即为所5=172+2×3+1×××1+2×3=8，总面积为：21+2×28. 所以P(随意停留在阴影部分)=求概率. 321 172图事件发生的概率等,评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图. 形的面积三.树形图法，其中白3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同）例1 .个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为球有2 2.1）试求袋中蓝球的个数（，第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都2）第一次任意摸一个球（不放回）（.是白球的概率 . x个解析：⑴设蓝球个数为12x=1 ∴由题意得?2x?1?2答：蓝球有1个（2）树状图如下：蓝黄2白1白白1白蓝2黄1白白2蓝黄黄1白蓝白2两次摸到都是白∴;..12. =球的概率?612②无论哪种都是机①需要关注的是发生哪个或哪些结果说明.:解有关的概率问题首先弄清：把所有可能的结果都这种方法比较直观,会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,. 一一罗列出来,便于计算结果四.列表法的卡片，卡片的背面完全相同．现将它，2，3，)例4 (07山西如图34，有四张编号为1 们搅匀并正面朝下放置在桌面上．）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（1所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4（2 张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．32 13 图4图12解析:(1)所求概率是.?24):树形图((2)解法一 4321第一次抽取 2 1 1 3 1 2 2 3 第二次抽取3 4 4 4(3,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), 种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), 共有121 所以贴法正确的概率(2,1)和是符合条件的,(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)12是.?612): 解法二(列表法1张第1次摸出 3 2 4 1 张1第2次摸出(4,1) (3,1) (2,1) 1(3,2) (1,2) (4,2) 2(2,3) (4,3) 3 (1,3)(1,4) (3,4) (2,4) 4(3,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), 共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), 所以贴法正确的概率,(1,2)和(2,1)是符合条件的(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果112是.?612用树状图法或列表法列举出的评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用这两种方法求事件的概率很有当事件要经过多次步骤（三步以上结果一目了然,)完成时,;... 效概率计算它将成为多少,如果截去所有的顶角, 一个20面体,每个面都是等边三角形面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？ 18条棱。
2-2 有关条件概率的三定理
P ( Bi A ) =
, i = 1, 2,L , n
∑ P( A B j )P(B j ) j =1
+ P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 2 3 1 3 2 1 3 2 2 2 = × × + × × + × × = , 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 依此类推 P ( A4 ) = P ( A5 ) = 2 . 故抓阄与次序无关. 故抓阄与次序无关 5
设这三家工厂的产品在 仓库中是均匀混合的 , 且
( 2) 在仓库中随机地取一只 元件 , 若已知取到的是 次品 , 为分析此次品出自何厂 , 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别 是多少 . 试求这些概率 .
取到的是一只次品” , 解 设 A 表示“取到的是一只次品” Bi ( i = 1,2,3)
把钥匙， 把钥匙大门钥匙， 例4 某人有 N 把钥匙，其中有 n 把钥匙大门钥匙，采用不放 回随机试开， 次试开可以打开大门的概率。 回随机试开，求不超过 N − n 次试开可以打开大门的概率。
解 表示事件“ 次才打开大门” 用 Ak 表示事件“在第 k 次才打开大门” k = 1,2,L, N − n ） （ ，
家工厂提供的” 表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”. 则
B1 , B2 , B3 是样本空间 S ) = 0.15,
P ( B2 ) = 0.80, P ( B3 ) = 0.05,
P ( A B1 ) = 0.02, P ( A B2 ) = 0.01, P ( A B3 ) = 0.03.
P (C ) = 0.005, P (C ) = 0.995, 要计算的是P（ 要计算的是 （C|A）。 ）。 典型的因果关系互换， 典型的因果关系互换， 利用Bayes公式计算， 公式计算， 利用 公式计算
树状图和表格法求概率
树状图和表格法求概率知识点一利用频率估计概率1、在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.2、我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.注意：（1）在试验时应注意试验的随机性；（2）要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的“波动”就会越小，即趋于相对稳定的状态；（3）得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值.我们可以用频率来估计概率，但是不能说频率等与概率，区别在于：频率是通过多次试验而得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.3、频率与概率的联系：利用频率估计概率：在进行大量试验时，随着试验次数的增加，一个不确定事件的发生的频率逐渐稳定到某一个数值，在这个数值附件摆动，这个数值便是，因此可以用平稳时的频率来估计这个事件发生的概率。
利用概率指导频率：频率的合理性和科学性依赖于概率理论的严密性。
4、频率与概率的区别：1）概念不同：每个对象出现的次数与总次数的比值称为。
刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的。
2）意义不同：频率所描述对象可以是确定事件，也可以是不确定事件。
概率所描述对象通常为不确定事件。
3）性质不同：频率是试验统计值，是随着试验次数的变化而不断变化的。
概率是不确定事件本身所固有的特性，是不确定事件的一种内部规律，其数值是固定的，不随着试验次数的变化而变化。
注意：频率是变化的，概率是固定的。
二者存在一定的偏差，频率的值无限接近于概率的值。
5、利用频率估计概率可以估算数学或实际生活中的不能或不易直接获得的数值。
6、用抽取法估计数目两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录其中某一个颜色的球出现的次数，利用频率估计概率估算这一颜色球的数量。
依据：重复多次试验时，试验频率约等于概率。
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一个颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复上述过程，摸一定的次数，求出这个颜色球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数量。
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求概率的方法
在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考察，体现了“学以致用”这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析．
一、列举法
例1：（05济南）如图1所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张
纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这
三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一
个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑
菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为
这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ．
分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，所有机会均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为41． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为2
142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．本题用列举方法，也可以用画树状图，列表法．
二、画树状图法
例2：（06临安市）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其
中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12
． （1）试求袋中蓝球的个数．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得
21122=++x ， 1=x
答：蓝球有1个．
（2）树状图如下：
∴ 两次摸到都是白球的概率 =6
1122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是机会均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关
图1 黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝
黄白2
的概率． 本题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比较直观，把所有可能的结果都一一罗列出来，便于计算结果．
三、列表法
例3：（06晋江市）如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置
A 、
B 的转盘分别被平均分成三部分，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了表面数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘（一人转一个），如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（如：若A 、B 两个转
盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，若箭头恰好停在分界线上，则重新转一次），请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？
解析：（方法一）画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为
95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．
（方法二）列表法如下:
由上表可知，所有等可能结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为9
4，所以游戏不公平．
说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．
3 4 5 7 4 5 8 4 6 5 7 7 开始 小明 胜 小明 胜 小明 胜 小东 胜 小东 胜 小明 胜 小东 胜 小东 胜
小东 胜 B A 图2。