离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列
【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．
【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
练习：
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ＝________.
【解析】设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个．∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P ＝P(ξ＝1)＝ .【答案】
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝ ＝ .【答案】
分布列及其性质的应用
设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P .
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
第七节 离散型随机变量及其分布列
【解析】 由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝ ，P(X＝4)＝ 3 ＝ ， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝ ，P(X＝6)＝ 3＝ ， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点： （1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生； （2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即 相互独立，互不影响试验的结果。
5． 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变 量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布） 求出离散型随机变量分布列。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量及其分布列、数字特征
－0.6)2×0.006＝0.46.
方法总结
1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能
值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
2.注意E ( aX ＋ b )＝ aE ( X )＋ b ， D ( aX ＋ b )＝ a 2 D ( X )的应用.
p
知识点三 离散型随机变量的数字特征
1. 均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
则称 E ( X )＝
x 1 p 1＋ x 2 p 2＋···＋ xipi ＋···＋ xnpn
＝ ∑ xipi 为随机变量
=1
X 的均值或数学期望，它反映了随机变量取值的 平均水平
3
0.3
方法总结
离散型随机变量分布列的性质的应用
1.利用“所有概率之和为1可以求相关参数的取值范围或值.”
2.利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个
值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
跟踪训练
1. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
数 X ( w ) 与之对应，我们称
X 为随机变量.
2. 离散型随机变量
可能取值为
有限个 或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型
随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X ， Y ， Z ；用小
§2.2离散型随机变量及其分布列
2．联合分布的性质
容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面 的性质：
1）非负性： ， ，
2）规范性： pij 1
ij
3．边际分布（边缘分布）
定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它 们的每一个分量 的分布称为关于（ ）的边际分
布，记为
与
若（ )的联合分布列为 P( ai ,， bj ) pij
5000k
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大
，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
P( 5)
1 P 5
1
5
5k 5 e
k0 k !Βιβλιοθήκη 查Poisson分布表得：
5
5k
5
e
0.616.
k0 k !
于是，
P 5 1 0.616 0.384
例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品 每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了 以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少 应进某种商品多少件？
布列中，要计算b(k;n,p)= Cnk p k q nk ，当n和k
都比较大时，计算量比较大。
若此时np 不太大（即p较小），那么由Poisson定理
就有
b(k;n;p) k e
k!
其中 np
k
而要计算
e
有Poisson分布表可查.
k!
例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共
P( k) Cnk pk qnk
k 1, 2,L , n
显然，（1） pk 0 k 1, 2,L , n
n
n
（2） pk
离散型随机变量及其分布列
某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可 某射击运动员在射击训练中， 能出现命中的环数情况有哪些？ 能出现命中的环数情况有哪些？ （0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
问题 2
某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品 某纺织公司的某次产品检验， 的100件产品中任意抽出4件，那么其中含有的次 品数可能是哪几种结果？ 品数可能是哪几种结果？ （0件、1件、2件、3件、4件）共5种结果
连 续 型
某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只， 某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只， 公司要求至少要买50只，但不得超过80 只．商场有优惠规定：一次购买这种小于或等 商场有优惠规定： 于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折 只不优惠， 只的， 优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次 优惠， 购买水杯的只数 ξ 是一个随机变量，那么他所付的款 是一个随机变量， 额是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么 额是否也是一个随机变量呢？ 关系？ 关系？
中 a 、是常数） b 是常数）
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表 写出下列各随机变量可能的取值， 示的随机试验的结果： 示的随机试验的结果： （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 张已编号的卡片（ 被取出的卡片的号数 ξ ． （ ξ ＝1、2、3、···、10）
一、随机变量
1、பைடு நூலகம்义
随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此 随机试验的结果可以用一个变量来表示， η等表示﹒ 变量为随机变量，常用 ξ 、等表示﹒ 变量为随机变量，
2、随机变量的分类 ①离散型随机变量： ξ 的取值可一一列出 离散型随机变量： ②连续型随机变量： ξ 可以取某个区间内的一切值 连续型随机变量： 3、随机变量的运算 若 ξ 是随机变量，则 η = aξ + b 也是随机变量． （其 是随机变量， 也是随机变量．
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列知识点一.随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用大写字母X,Y …、也可用希腊字母ξ、η等表示，知识点二. 离散型随机变量随机变量X 只能取有限个数值1x ，2x ，…n x 或可列无穷多个数值1x ，2x ，…n x …则称为X 离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量X 取有限个数值的情形.知识点三、 用随机变量表示随机事件例：写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1） 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X 是随机变量． （2） 一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．（3）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：{}4>ξ表示的试验结果是什么？知识点四.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的___________，简称________．有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．2.离散型随机变量的分布列具有的性质：（1） ； （2）题型一 离散型随机变量的分布列的性质例1：一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列。
X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n例2：在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_________．例3：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. 求ξ的分布列；例4：设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎫ξ≥35＝________.1．设随机变量X 的分布列如下：X 12 3 4 P16 13 16p则p ＝________.2.若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P9c 2－c3－8c则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516 5．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pa bc 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.16B.13C.12D.236.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．知识点五：两点分布若随机变量X 的分布列如右表， 则这样的分布列称为 ． 如果随机变量X 的分布列为_ ，就称X 服从两点分布， 而称_ 为成功概率．例1. 在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布.练习：设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．X0 1Pp-1p知识点六：超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．例2.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．变式2. 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取3个球.(1) 求得分X 的分布列； （2）求得分大于4分的概率.例3.已知随机变量ξ的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 112 14 13 112 16 112(1)求112Y X =+1的分布列; (2)求22Y X =-2X 的分布列.§2.1 离散型随机变量的分布列课后巩固1.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ） X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 A BX -1 0 1 P0.30.40.3C D 2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于6123735C C C 的是( ) ． A.(2)P X = B.(3)P X = C.(2)P X ≤ D.(3)P X ≤3．若()1P X n a ≤=-，()1P X m b ≥=-，其中n m <，则()P m X n ≤≤等于（ ）．A.)1)(1(b a --B.)1(1b a --C.)(1b a +-D.)1(1a b --4．随机变量X 所有可能的取值为1,2,3,4,5,且()P X k ck ==,则常数c = ,(24)P X ≤≤= . 5．随机变量X 的分布列如下： a ，b ，c 成等差数列，则()1P X == ．其中6．已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，…，10，则X 的取值为 ．7．设随机变量X 的分布列P （5kX =）=ak ，（1,234,5k =）（1）求常数a 的值； （2）求P （35X ≥）； （3）求P （171010X <<）；8.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．9.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示分数，求X 的分布列.X 1 2 3 P 0.4 0.7 -0.1 X 1 2 3 P0.20.40.5X －1 0 1 Pabc。
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【例1】投掷两颗骰子，设掷得的点数和为随机变量X：
①求X的分布列；②求“点数和大于9”的概率；③求“点数和不超过7”的概率。
【拓展】某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的。已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm,20cm,10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中表示。设这位同学投掷一次得到的环数这个随机变量为X，求X的分布列。
【预习目标】
通过具体问题的分析，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
【情景引入】把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分.用X表示得到的分数，所有可能出现的结果有哪些，对应的X值呢？
【问题1】结合掷骰子、掷硬币随机试验，说说你对随机变量的概念的理解？
【思考】随机变量与函数有什么类似的地方吗？
【问题2】说出你对离散型随机变量的理解，你能举例说明吗？
【问题3】抛掷一枚骰子，所得点数为X，对应的点数为P，你能用表格表示X与P的关系吗？
【思考1】离散型随机变量X的分布列的表示方法有哪些？比较这几种方法优缺点。
【思考2】你能总结出离散型随机变量X的分布列的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质吗？
【例2】假设进行一次从袋中摸出2个球的游戏，袋中有3个红球、4个白球、2个黑球，摸到红球得2分、白球得1分，黑球得0分，试列表写出可能的结果、对应的分值X及相应的概率。
【我的收获】
（1）知识方面.
（2）数学思想及方法方面.
【预测过关】
1.下面给出四个随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数ξ；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某网站1分钟内的访问次数ξ；④1天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()
A．①②B．③④
C．①③D．②④
2.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()
3.某商店购进一批昌乐尧沟西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，这是将亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列。
【我的疑惑】
【课内探究】
【探究目标】
通过抛掷骰子问题的分析，说出离散型随机变量及其分布列的概念、性质，会求离散型随机变量的分布列。
离散型随机变量及其分布列
【课前预习】
【使用说明及学法指导】
1.先精读课本选修2-3P44-P47，用红色笔进行勾画；再回答导学案中预习导学设计的问题；
2.书写规范,找出自己的疑惑写在“我的疑惑栏”，准备课上讨论质疑。
【课标要求】
在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。