2014年高考数学(理科)数列经典大题13例
2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=•P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
2014年高考数学(理科)数列经典 大题13例
1、[2014·江西卷]已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.2、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1. (1)证明是等比数列，并求{a n}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜.4、[2014·重庆卷] 设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．5、[2014·湖北卷]已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．6、[2014·湖南卷] 已知数列{a n}满足a1＝1，|a n＋1－a n|＝p n，n∈N*.(1)若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．7、[2014·全国卷]等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.8、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－1，求数列{b n}的前n项和T n 9、[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．10、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.11、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n}满足a1＞c，a n＋1＝a n＋a，证明：a n＞a n＋1＞c.12、[2014·四川卷] 设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和T n.13、[2014·浙江卷] 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n.(2)设c n＝－(n∈N*)．记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈均有S k≥S n.。
2014年高考理科数学真题分类——数列
2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】 解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。
2014年江西省高考数学试卷(理科)(含解析版)
2014 年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）3．（5 分）已知函数 f（ x）=5 x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=|（）A．1B．2C．3D．﹣ 1，，的对边分别为，，，若22+6，4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A B C a b c c =（a﹣b）C= ，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．19．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．3C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（ 5 分）若曲线﹣x上点 P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P 的坐标y=e是．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且 cos α=，向量 =3 ﹣2与=3﹣的夹角为β，则 cos β=．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足 a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．20．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b ；记ξ=a﹣ a ，η=b﹣ b ．22121（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．2014 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 11：计算题； 5N：数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出 z﹣ =﹣2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项．【解答】解：由于，（ z﹣） i=2，可得 z﹣ =﹣2i ①又 z+ =2 ②由①②解得 z=1﹣i故选： D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）【考点】 33：函数的定义域及其求法．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣ x＞0，即 x＞1 或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（ 1， +∞），故选： C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5 分）已知函数 f（ x）=5|x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=（）A．1B．2C．3D．﹣ 1【考点】 3T：函数的值．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵ g（x）=ax2﹣x（ a∈ R），∴g（1）=a﹣1，若 f[ g（1）] =1，则 f（ a﹣ 1） =1，即 5|a﹣1| =1，则 | a﹣1| =0，解得 a=1，故选： A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A ，，的对边分别为，，，若22+6，BC a b c c =（a﹣b）C=，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【考点】 HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵ c2=（a﹣b）2 +6，∴c2=a2﹣ 2ab+b2+6，即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ，10∴ cos ===，解得 ab=6，则三角形的面积S= absinC==，故选： C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6 是解决本题的关键．5．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【专题】 5F：空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选： B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 111成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【考点】 BL：独立性检验．【专题】 12：应用题； 5I：概率与统计．12【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表 1： X2=≈；0.009表 2：X2≈；= 1.769表 3：X2≈；= 1.3表 4：X2≈，=23.48∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选： D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】 EF：程序框图．【专题】 11：计算题； 27：图表型； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的i 值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=7，S=lg5+lg=lg9，13不满足条件 1＜S，执行循环体， i=9，S=lg9+lg =lg11，满足条件 1＜S，跳出循环，输出 i 的值为 9．故选： B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．1【考点】 67：定积分、微积分基本定理．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（ x）dx=t，对 f （ x）=x2+2 f （x） dx，两边积分可得：t= +2tdx= +2t，解得 t=f（x）dx=﹣，故选： B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】如图，设AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r ，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣ 4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小．14【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线 2x+y﹣4=0 的距离为：d==，此时 r=∴圆 C 的面积的最小值为： S π×（）2=．min=故选： A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）15A．B．C．D．【考点】 JH：空间中的点的坐标； MK：点、线、面间的距离计算．【专题】 5H：空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（ 0， 0， 0），B 的坐标为（ 11，0，0），C 的坐标为（ 11，7，0），D的坐标为（ 0， 7，0）；A1的坐标为：（ 0，0，12），B1的坐标为（ 11，0，12），C1的坐标为（ 11，7，12），16D1的坐标为（ 0，7，12）；E 的坐标为（ 4， 3， 12）（ 1） l1长度计算所以： l1．=| AE| ==13（ 2） l2长度计算将平面 A1 B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（ 0，0，24），B2的坐标为（ 11，0，24），C2的坐标为（ 11，7，24），D2的坐标为（ 0，7，24）；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称．设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（x E2，y E2， 24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2× 4=8，y E2=2y E=2× 3=6，即： E2（8，6，24）根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内．根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为AE反射光与平面 ABCD的交点．所以 F 的坐标为（ 8， 6， 0）．因此： l2=| EF| ==13．（ 3） l3长度计算设 G 的坐标为：（x G， y G，z G）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： x G=11， y G≤7，z G≤12根据反射原理有： AE∥ FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（ 4， 3， 12）；=（x G﹣ 8， y G﹣6，z G﹣ 0） =（ 3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）17解得： y G= ，z G=9；故 G 的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故 G 点不在平面 BCC上，1B1所以： G 点只能在平面DCCD 上；1 1因此有： y G=7；x G≤ 11，z G≤ 12此时：=（ x G﹣8，y G﹣ 6，z G﹣0）=（x G﹣ 8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得： x G=，z G=4；满足： x G≤ 11，z G≤ 12故 G 的坐标为：（，7，4）所以： l3=| FG| ==（ 4） l4长度计算设 G点在平面 A1 1 1 1 的投影为G’，坐标为（，7，12）B C D因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH共面故 EG的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1 D1相交，且交点 H 只能在 A1G'；易知： l4＞| GG’| =12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2， l3， l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4＞l3对比 ABCD选项，可知，只有 C 选项满足以上条件．故选： C．18【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】 5A：函数最值的应用； R4：绝对值三角不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1|=| x﹣1|+| ﹣x|+| 1﹣y|+| y+1|≥| x﹣1﹣x|+| 1﹣ y+y+1| =3，当且仅当 x∈ [ 0，1] ，y∈[ ﹣1，1] 成立．故选： C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）19A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 5S：坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θ把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θy=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcos+θρsin θ，=1即ρ=．由 0≤x≤ 1，可得线段 y=1﹣ x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[ 0，] ，故选： A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】 C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】 11：计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C种结果，20∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．﹣x14．（ 5 分）若曲线 y=e上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ ln2， 2）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 52：导数的概念及应用．【分析】先设 P（ x，y），对函数求导，由在在点P 处的切线与直线2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y．【解答】解：设 P（ x， y），则 y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，∴﹣ e﹣x=﹣ 2，解得 x=﹣ln2，∴ y=e﹣x=2，故 P（﹣ ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3 ﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．21【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（ 1，0），=，=3 ﹣2 =（），=3﹣=（），∴ cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M 是线段 AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则①，②，∵ M 是线段 AB 的中点，∴=1，=1，∵直线 AB 的方程是 y=﹣（x﹣1）+1，∴ y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点 M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（ a＞ b＞ 0）相交于22A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a= b，∴=b，∴e= = ．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据 x∈[ 0，π] ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（ 2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由这两个式子求出 a 和θ的值．【解答】解：（1）当 a=，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（ x+）+cos（x+）=sinx+ cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx23=sin（﹣ x） =﹣ sin（x﹣）．∵ x∈[ 0，π] ，∴ x﹣∈[ ﹣，] ，∴ sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣ sin（ x﹣）∈ [ ﹣1，] ，故 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最小值为﹣ 1，最大值为．（ 2）∵ f（ x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2 θ=0①，﹣ sin θ﹣acos2θ=1②，由①求得 sin θ=，由②可得 cos2θ==﹣﹣．再根据 cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得 a=﹣1，∴ sin θ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣ 1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足a nb n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式．【专题】 15：综合题； 54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由 a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，可得数列n } 是以 1 为首项，b b b =0c ={ c2 为公差的等差数列，即可求数列{ c n} 的通项公式；24（ 2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵ a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，b b b =0c =∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣ c n=2，∵首项是 1 的两个数列 { a n} ，{ b n } ，∴数列 { c n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（ 2）∵ b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（ 2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+ +（ 2n﹣1）× 3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+ +（2n﹣ 1）× 3n，∴﹣ 2S n=1+2?（31+ +3n﹣1）﹣（ 2n﹣1）?3n，∴S n=（ n﹣ 1） 3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（ 2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得25到对任意 x∈（ 0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（ 1）当 b=4 时，f（ x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由 f ′（x） =0，得 x=﹣ 2 或 x=0．当x＜﹣2 时，f ′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣ 2＜x＜ 0 时， f ′（x）＞ 0， f（x）在（﹣ 2，0）上为增函数．当 0＜x＜时， f ′（x）＜ 0， f（x）在（ 0，）上为减函数．∴当 x=﹣ 2 时， f （x）取极小值为 0．当 x=0 时， f（x）取极大值为 4；（ 2）由 f （x）=（x2+bx+b），得：=．由 f（ x）在区间（ 0，）上单调递增，得 f ′（x）≥ 0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．即﹣ 5x2﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．∴对任意 x∈（ 0，）恒成立．∵．∴．∴ b 的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．2620．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．【考点】 MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用．【分析】（1）要证 AD⊥PD，可以证明 AB⊥面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（ 2）过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥 P﹣ ABCD中， ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴AB⊥面 PAD，∴ AB⊥ PD．（2）过 P 做 PO⊥ AD，∴ PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM∴PM⊥ BC，∵∠ BPC=90°， PB= ， PC=2，∴ BC= ， PM== =，BM== ，设 AB=x，∴ OM=x∴ PO=，=x×==，∴ V P﹣ABCD× ×27当，即 x=，V ﹣ABCD，P=建立空间直角坐标系 O﹣ AMP，如图所示，则 P（0，0，），D（﹣，0， 0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面 PBC的法向量为=（ 0， 1， 1），面 DPC的法向量为=（ 1， 0，﹣ 2）∴ cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0与直线AF 相交于y=1点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．28【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知， A（ c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥ OA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（ 2）易求 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知， A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴? =﹣1，=，整理得： t=，a=，∴双曲线 C 的方程为﹣y2=1；（ 2）证明：由（ 1）知 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又 F（ 2，0），直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．29于是可得 M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记ξ=a2﹣ a1，η=b2﹣ b1．（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据 C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（ C）和 P（）的大小关系，即判断 P（ C）和的大小关系，根据30（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5其中 P（ξ=2）= = ，P（ξ =3）= =，P（ξ =4）= =，P（ξ =5）= =，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Pξ的数学期望 E（ξ） =2×+3×+4×+5×=；（2）∵ C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴ P（ C） =2×（ 3）当 n=2 时， P（C）=2×=，此时P（）＜；即 P（）＜P（C）；当 n≥3 时， P（ C） =2×＜，此时P（）＞；即 P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．31。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年高考数学数列真题汇编
2014年高考试卷数列题摘录1.(全国卷Ⅰ理科第17题，12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 2..(全国卷Ⅰ文科第17题，12分)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 3.(全国卷Ⅱ理科第17题，12分) 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.4.(全国卷Ⅱ文科第5题，5分)等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -5.(全国卷Ⅱ文科第16题，5分)数列{}n a 满足111n na a +=-，8a =2，则=_________. 6.(全国大纲卷理科第10题，5分)等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 7.(全国大纲卷理科第18题，12分)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.1a（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 8.(全国大纲卷文科第8题，5分)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649.(全国大纲卷文科第17题，10分)数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 9.(江苏卷第7题，5分)在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .10.(江苏卷第20题，16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.11.(浙江卷理科第19题，14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1） 求n a 与n b ； （2） 设()*∈-=N n b a c nn n 11。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—福建卷
2014年福建高考数学试题（理）第Ｉ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4．若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A B C D5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7．已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数B ． ()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,1 8．在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e9．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．2610．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令c n ＝a n b n
，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .
2、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．
3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n
＜32.
4、[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．
(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．
5、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
6、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.
(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．
7、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.
(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
8、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n
9、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；
(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．
10、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．
(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .
(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，
i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .
11、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.
(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；
(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p .
12、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．
(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求
数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .
13、[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.
(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n
(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n . (i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .。