线性代数习题相似矩阵及二次型

5-1向量的内积与方阵的特征值

1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则

λ

A

为 的特征值。

;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ

2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。

1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d

3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。

0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d

4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。

n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(.

5.设矩阵???

?

?

??--=314020

112A ,求A 的特征值及特征向量.

6．试用施密特法把向量组??

???

????

???---=011

101110

11

1),,(321a a a 正交化。

7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。

8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。

9．设x 为n 维列向量且1=x x T

，而T

xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。

习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化

1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。

.a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关条件

2.对实对称阵??

?

???-=????

??=1001,1001B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交

3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。

a. 矩阵A 有n 个特征值；

b. 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量；

c. 矩阵A 的行列式0≠A ；

d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。

a.A 与B 正交；

b. A 与B 有相同的特征向量；

c. A 与B 等价；

d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。

6.设方阵??????????------=12

4

22421x A 与??

??

?

????

?-=Λ45

y

相似，求x 与y 。

7.设三阶方阵A 的特征值1，—2，2，且2

3

5A A B -=，求B 的特征值与B 。

8.设矩阵??

??

??--=3113A ，①求A 的特征值，②求E+1

-A 的特征值。