辅助角公式课件
3.2辅助角公式 课件-人教版高中数学必修四
（Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
20
3、已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求f( 5) 的值.
4
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增
区间.
4、已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x－1.
22
2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区
a2
b2
a sin x a2 b2
b a2
b2
cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin(x ) 其中 cos a ,sin
a2 b2
b .
a2 b2
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
1.利用公式展开
sin( ) 2 sin 2 cos
4
2
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos sin( )
2
2
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2)sin 3 cos
(3)sin cos
a sin x b cos x
（2）.1 sin 2x 3sin2 x 2
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
12sin x 2 3 cos x; 2 1 sin x 1 cos x; 3 6 cos 2x 2 sin 2x
2
2
2、 已知函数 f (x) sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x
另外，由
辅助角公式公开课优质课
2.两角和与差的正弦公式的应用
sin 6 5 sin 6 5 sin 6 sin 6
思考：
以上四例，从右往左，把异名的函数化
为单名函数，会吗？
3 1 sin cos （1） 2 2
答案：
⑴ sin( ) ⑵ 2 2 sin( ) 6 3 5 ⑷ 2 7 sin( ) ⑶ 2sin( ) 3 6 6
例4：求函数y = sinx + 3cx + 3cosx 1 3 = 2( sinx + cosx) 2 2
⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
3 1 sin cos 2 2
sin cos
6
cos sin
6
辅助角公式的推导及简单应用
a sin x b cos x a 2 b 2 sin( x )
引例
例1:求证： 3 sin x cos x 2sin( x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
（2）
sin cos
6
cos sin
6
3 1 sin cos 2 2
sin cos
5 5 cos sin 6 6
5 5 cos sin 6 6
3 1 sin cos （3） 2 2
（4）
sin cos
π π = 2(sinxcos + cosxsin ) 3 3 π = 2sin(x + ) 3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为 - 2。
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辅助角公式旳推导及简朴应用
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
认定目的
1、了解辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x )旳 推导过程
2、 会将 a sin x b cos x（a、b不全为零）化为只具 有一种正弦旳三角形式
6
sin cos 5 cos s sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
思索： 经过前面四个题目我们发觉，是不是任
何一种同角旳异名函数能够转换成一种角旳 三角函数值呢？假如能，那么又是怎么转化 旳呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
学前测评
1.两角和与差旳正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差旳正弦公式旳应用
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
3、会利用辅助角公式处理三角函数问题
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也能够从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 能够化为一种角旳三角函数形式
思索：一般地，a sin x b cos x 是否能够化为 一种角旳三角函数形式呢?
辅助角公式课件
2、化简：
3
cos
6
cos
3
．
3、计算： 1 3 ． sin10 cos10
4、 已知 y asin x cos x 的最大值为 10 ，
求 a 的值．
【课堂总结】
【课后作业】
1. 作业：完成有效作业．
2. 思考：将式子 a sin b cos ab 0 化为 Acos m 的形式．
2
2
sin2 x cos2 x 1
（2） sin 3 cos ．
sin cos cos sin sin( )
将 三 角 式 a sin b cos ab 0 化 为 As i n 的形式：
asin bcos ?
和(差)角的正弦公式的逆应用
sin cos cos sin sin( ) a sin b cos sin( )
§5.4(5) 辅助角公式
执教者：万兆云 班 级：建平中学高一数学B7班
和(差)角的正弦公式
sin( ) ?
和(差)角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
和(差)角的正弦公式应用
sin( ) sin cos cos sin
sin(45 30) sin 45 cos30 cos45sin30
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
2
2
（2） sin 3 cos ．
sin cos cos sin sin( )
根据公式 sin( ) sin cos cos sin ，
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
辅助角公式的实质是和（差）角正弦公式 的逆应用，它可以把两个同角的正弦、余弦三 角式化为一个正弦三角式的形式，从而对三角 式的化简、求值、证明等起到积极的作用．
辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
辅助角公式PPT课件
13
2020/1/16
14
2
2
sin(30o x) 4
(3) 3 sin x cos x
我们发现，式中sinx和cosx的两个系数 和 3 和 1 不可以作为某个角的正余弦值
但同时我们发现，如果我们对式子提取2
后，sinx和cosx的系数变成了 3 和 1
就可以看做特殊角30o的正余弦值2
2
(3) 3 sin x cos x 2( 3 sin x 1 cos x)
已知化简sin2cos2cossinsincosmaxmin由图像知10巩固练习11一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法那是极其令人高兴的
专题：辅助角公式的应用
1
学习目标
1、理解并记住辅助角公式；
2、会用辅助角公式进行化简（将asin x b cos x 化为 Asin(x ) 的形式
2
62
k x 2 k , k Z
6
3
f (x)的单调减区间为[ k , 2 k ], k Z
6
3
(3) x
4
3
2x 5
3
66
由图像知f (x)max 2
2 sin 2
2
2,
3
f (x)min 2
2
回顾练习
求值：(1)sin347 cos148 sin 77 cos 58 ； (2)sin164 sin 224 sin 254 sin 314 ;
(3)sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
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辅助角公式的推导
a sin b cos
a2
b2
a
sin x
b
cos
x
，
a2 b2
a2 b2
a2 b2 sin( )
其中辅助角
（通常取
0
2
）由
cos
sin
a a2 b2 确定．
b a2 b2
辅助角公式的推导
a sin b cos
a2
b2
a
sin x
b
cos
x
，
a2 b2
a2 b2
a2 b2 sin( )
其中辅助角
（通常取
0
2
）由
cos
sin
a a2 b2 确定．
b a2 b2
辅助角公式
asin bcos a2 b2 sin( ) (ab 0)
其中辅助角
（通常 取
0
2
）由
cos
sin
a a2 b2 确定．
b a2 b2
asin bcos a2 b2 sin( ) (ab 0)
和(差)角的正弦公式应用
sin( ) sin cos cos sin
sin(45 30) sin 45 cos30 cos45sin30
和(差)角的正弦公式应用
sin( ) sin cos cos sin
sin(45
a
例 1： 把下列各式化为 Asin 的
形式（其中 A R,0 ）：
2
（1） 5 sin 5 3 cos ；
2
2
（2） 2 2 sin 2 2 cos ．
例 2： 求满足 sin cos 2 cos5 6 sin 5
2
2
的 ，其中 0,2 ．
例 3：求 y 5sin x 12cos x 的取值范围．
和(差)角的正弦公式的逆应用
sin20 cos10 cos20sin10 sin30
sin cos cos sin sin( )
根据公式 sin( ) sin cos cos sin ，
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
2
2
（2） sin 3 cos ．
根据公式 sin( ) sin cos cos sin ，
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
2
2
（2） sin 3 cos ．
sin cos cos sin sin( )
根据公式 sin( ) sin cos cos sin ，
2、化简：
3
cos
6
cos
3
．
3、计算： 1 3 ． sin10 cos10
4、 已知 y asin x cos x 的最大值为 10 ，
求 a 的值．
【课堂总结】
【课后作业】
1. 作业：完成有效作业．
2. 思考：将式子 a sin b cos ab 0 化为 Acos m 的形式．
§5.4(5) 辅助角公式
执教者：万兆云 班 级：建平中学高一数学B7班
和(差)角的正弦公式
sin( ) ?
和(差)角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
和(差)角的正弦公式应用
sin( ) sin cos cos sin
sin(45 30) sin 45 cos30 cos45sin30
未知
已知
和(差)角的正弦公式应用
sin( ) sin cos cos sin
sin(45 30) sin 45 cos30 cos45sin30
结构简单
结构复杂
和(差)角的正弦公式的应用
sin(20 10) sin 20 cos10 cos20sin10
和(差)角的正弦公式的应用
辅助角公式的实质是和（差）角正弦公式 的逆应用，它可以把两个同角的正弦、余弦三 角式化为一个正弦三角式的形式，从而对三角 式的化简、求值、证明等起到积极的作用．
asin bcos a2 b2 sin( ) (ab 0)
明确：a和b的值； 提取： a2 b2 确定：辅助角
a2 b2
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
2
2
（2） sin 3 cos ．
sin cos cos sin sin( )
根据公式 sin( ) sin cos cos sin ，
将下列各式化为 Asin 的形式：
（1） 2 sin 2 cos ；
已知
未知
sin(20 10) sin 20 cos10 cos20sin10
结构简单
左
结构复杂
右
和(差)角的正弦公式的应用
已知
未知
sin(20 10) sin 20 cos10 cos20sin10
结构简单
左
结构复杂
右
和(差)角的正弦公式的逆应用
sin 20 cos10 cos20sin10 sin(20 10)
和(差)角的正弦公式的逆应用
sin cos cos sin sin( ) a sin b cos sin( )
将 三 角 式 a sin b cos ab 0 化 为 As i n 的形式：
asin bcos ?
sin cos cos sin sin( )
【课堂练习】
1. 把下列各式化为 Asin 的形式（其中 A R,0 ）：
2
（1） 3 sin 3cos ；
（2） 3 sin 3cos ；
（3） 3 sin 3cos ；
（5） 3 sin 1 cos ；
2
2
（4） 3 sin 3cos ； （6） sin cos ．
2
2
sin2 x cos2 x 1
（2） sin 3 cos ．
sin cos cos sin sin( )
将 三 角 式 a sin b cos ab 0 化 为 As i n 的形式：
asin bcos ?
和(差)角的正弦公式的逆应用
sin cos cos sin sin( ) a sin b cos sin( )