安徽省滁州二中高中数学《32立体几何中的向量方法》课件(5)新人教A版选修2-1
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高中数学立体几何中的向量方法名师课件人教版选修二
P
A B
D C
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
就是二面角的平面角。
u
v
l
, 的夹角为， cos | u v|
| u || v |
v 两个平面的法向量 u 与 的夹角（或其补角）
就是二面角的平面角。
应用 （一）线线角
法1：直接成角（将其中一条直线平移到与另一条直线相交）， 再求角的大小。（一般构造三角形求角的大小） 法2：利用两直线对应向量的数量积求角。
例4如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB= 2，AA1 =1，求二面角A-BD-A1的大小。
D A
C B
D1 A1
C1 B1
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
四、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.
A B
D C
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
就是二面角的平面角。
u
v
l
, 的夹角为， cos | u v|
| u || v |
v 两个平面的法向量 u 与 的夹角（或其补角）
就是二面角的平面角。
应用 （一）线线角
法1：直接成角（将其中一条直线平移到与另一条直线相交）， 再求角的大小。（一般构造三角形求角的大小） 法2：利用两直线对应向量的数量积求角。
例4如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB= 2，AA1 =1，求二面角A-BD-A1的大小。
D A
C B
D1 A1
C1 B1
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
四、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.
高中数学人教A选修2-1 3-2 立体几何中的向量方法 课件(16张)
A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
一、求点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
y
二、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n
N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
高中数学第三章空间向量与立体几何2立体几何中的向量方法3课件新人教A版选修2
预习自测
• 1．(2015·山东临沂市高二期末测试)若平面α∥β，则下面可以是这 两个平面法向量的是( )
• A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) • B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) • C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) • D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) • [答案] D • [解析] ∵α∥β，∴平面α与β的法向量平行，又n2＝(－2，－2，－
[正解] l∥α 或 l⊂α
跟踪训练
• 过点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)的平面的一个法向量为____． • [答案] (1,1,1)
[解析] 设法向量 n＝(x，y,1)，
n·A→B＝0 由n·A→C＝0
，得－ －xx＋ ＋y1＝＝00 ，∴yx＝＝11 .
∴n＝(1,1,1)．
• [点评] 设定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1时，一定要注意这 个坐标不为0，如本题中若求平面AOB的法向量时，就不能设其法 向量为(1，y，z)．
• (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
跟踪训练
• 已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)
，则y＝__________________.
[答案]
1 2
[解析] ∵l∥α，∴l 的方向向量与 α 的法向量垂直，∴2×1
－8y＋1×2＝0，∴y＝12.
面 α 的法向量，则必须满足nn··Pa→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只
有选项 D 不满足，故选 D.
• 4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为 u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝_______.
人教A版高中数学选修2-1课件新《32立体几何中的向量方法》(5)
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
分析:钢板所受重力的大
F1
C
小为 500kg ，垂直向下作用在
F2
三角形的中心 O ，如果能将各
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示，求出其合力，A 就能判断钢板的运动状态.
作业
P113
A组 11 12 B组 1 2组卷网
ห้องสมุดไป่ตู้
o B
500kg
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
解：如图，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标
平面，AB方向为y轴正方向，AB 为y轴的单位长度
建立空间直角坐标系Axyz,则正三角形的顶点
高中数学课件
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3.2立体几何中的向量方法(五)
-----空间的综合问题学.科.网
用坐标法解决立体几何中问题的一般 步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系； 2.写出相关点的坐标及向量的坐标； 3.进行相关的计算； 4写出几何意义下的结论.
例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(新人教A版选修2-1)
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC 于 1 F，
C1E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
1 即E分有向线段 C1 B的比为 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
2
，则B(0,1,0)
E F B D A
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
cos cos AB, CD
二、线面角：
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
思考：
O
B
A
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
2
A
n
B
n， BA
n， BA
2
B
n
结论：sin
| cos n, AB |
例二：在长方体 ABCD A B C D 中， AB= 5，AD 8, 1 1 1 1
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角； 2 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
(教师参考)高中数学 3.2.5 立体几何中的向量方法课件 新人教A版选修2-1
A1C AB AD A1A
A1C 2(A B A D A1)A 2
22
2
A A B A D 1 2 A ( A A B A D A B 1 A A A D 1 )A
1 1 1 2 (c 6 o c 06 s o c 0 s 6 o )0 s
6
D1
C1
所以 | AC1 | 6
点E到直线A1B的距离为
D1
A1
E
C1
B1
dA 1EsinA 1E , A 1B3 42
D
xA
精选ppt
C
y
B 10
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
解2
z
D1
A1
E
C1
B1
精选ppt
D
Ax
C
y
B 11
例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
答: 这个晶体的对角线
AC1 的长是棱长的 6 倍。
精选ppt
A1
D
A
图1
B1
C
B
6
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解2：如图1，设 A B A A 1 A D 1 ， B A D B A A 1 D A A 1 6 0
m
|u|
.
D
P
u
b
l
CA
精选ppt
a
5
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
人教A版高中数学选修2-1课件3.2.5立体几何中的向量方法
第三章 空间向量与立体几何
3.2.5 立体几何中的向量方法
距离问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
AB = (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 + (z1 - z2 )2
A1
E
C1
B1
A1 E与BD1的距离为
d D1 A1 n 14
n
14
D
A
x
Cy
B
例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）
的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .
求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解１：如图，
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
A1
D
A
图1
B1
C
B
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端 点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
C1
B1
D
C
A
B
例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
解3
D1
A1
D
A
C1
B1
C
B
例6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
3.2.5 立体几何中的向量方法
距离问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
AB = (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 + (z1 - z2 )2
A1
E
C1
B1
A1 E与BD1的距离为
d D1 A1 n 14
n
14
D
A
x
Cy
B
例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）
的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .
求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解１：如图，
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
A1
D
A
图1
B1
C
B
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端 点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
C1
B1
D
C
A
B
例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
解3
D1
A1
D
A
C1
B1
C
B
例6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
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所以EFD 60 ,即二面角C PB D的大小为60.
小结
利用空间向量解决立体几何中的问题, 首先要探索如何用空间向量来表示点、 直线、平面在空间的位置以及它们的关 系.即建立立体图形与向量之间的联系,这 样就可以将立体几何问题转化成空间向 量的问题.解决立体几何中的问题,有三种 常用方法:综合方法、向量方法、坐标方 法,对具体问题要会选用合适得方法.
设点F的坐标为( x, y, z ), 则PF ( x, y, z 1) 因为PF k PB
所以( x , y , z 1) k (1,1, 1) (k , k , k )
Z
即x k , y k , z 1 k
因为PB DF 0
P F
D
G
所以(1,1,1) (k , k ,1 k ) k k 1 k 3k 1 0 1 所以k 3 A
作业
P113 A组 11 12
B组 1 2
3.2立体几何中的向量方法(五)
-----空间的综合问题
用坐标法解决立体几何中问题的一般 步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系； 2.写出相关点的坐标及向量的坐标； 3.进行相关的计算； 4写出几何意义下的结论.
例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 F3 少时，才能提起这块钢板？
1 1 1 1 又DE (0, , ), 故PB DE 0 0 2 2 2 2
所以PB DE
由已知EF PB, 且EF DE E ,
所以PB 平面EFD
Z
P F
D A X
G
E
C B
Y
（3）解：已知PB EF ,由（2）可知PB DF , 故EFD是二面角C PB D的平面角。
A X
E
C B
Y
1 1 且PA (1,0,1), EG ( ,0, ) 所以PA 2 EG，即PA // EG 2 2
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
Z
P F
D A X
G
E
C B
Y
（2）证明：依题意得B(1,1,0), PB (1,1,1得x ,y . 12 2
x
O A
500kg
B
y
2 又因为x y z 1,因此z 3
2 2 2
1 1 2 所以F1 200 ( , , ) 12 2 3 类似地
1 1 2 F2 200 ( , , ) 12 2 3 1 2 F3 200 ( ,0, ) 3 3
F1
O A
x 500kg
F3
C
F2
B
y
设力F1方向上的单位向量坐标为( x, y, z ),
由于F1与 AB, AC的夹角均为60 ，利用向量 1 的数量积运算，得cos 60 ( x, y, z ) (0,1,0), 2 1 cos 60 2 z 3 1 F3 ( x, y , z ) ( , ,0), 2 2 F1
P F E C B
D
A
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2
Z
P F
D
G
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ，) 0 2 2
x
z
F1
O A
F3
C
F2
B
500kg
y
它们的合力F＋F2 F3 1 1 1 2 1 1 2 1 2 200[( , , ) ( , , ) ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 200 (0,0, 6 )
这说明，作用在钢板上 的合力方向向上， 大小为200 6k g, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。
分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ，垂直向下作用在 三角形的中心 O ，如果能将各 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示，求出其合力，A 就能判断钢板的运动状态.
F1 F2 o
C
500kg
B
F2
F3
F1
F1
F3 F2 O C
A
F2 F3 F1
B
500kg
合力就是以 F1 、 F2 、 F3
为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
解：如图，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标 平面， 方向为y轴正方向， 为y轴的单位长度 AB AB 建立空间直角坐标系Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0), C ( , ,0). 2 2 z
x z
F1
O A
F3
C
F2
B
由于200 6 500 ,
500kg
y
例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。 （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
X
E
C B
Y
1 1 2 点F的坐标为( ，， ) 3 3 3
1 1 又点E的坐标为(0, , ) 2 2
1 1 1 所以FE ( , , ) 3 6 6
因为cos EFD FE FD FE FD 1 1 1 1 1 2 1 ( , , ) ( , , ) 3 6 6 3 3 3 61 1 2 6 6 3 6 3