揭阳市2017届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)

绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学（理科）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B =（A ）{1,0,1}- （B ）{1,1}- （C ）{1,1,2}- （D ）{0,1,2}（2）已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =（A ）43 （B ）34 （C ）43- （D ）34- （3）若(cos20,sin 20)a =，(cos10,sin190)b = , 则a b ⋅=（A ）12 （B（C ）cos10 （D）2（4）已知命题:p 存在向量,,a b 使得||||a b a b ⋅=⋅，命题:q的向量a 、b 、c ，若a b a c ⋅=⋅ 则b c =. （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 （A ）66 （B ）33 （C ）16 （D ）8 （6）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-图2（7）在同一坐标系中，曲线x y )31(=与抛物线2y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0(（B ）)21,31(（C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）在421)(1)x ⋅-的展开式中，x 项的系数为（A ）－4 （B ）－2 （C ）2（D ）4（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割， 加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为 （A ）18 （B ）1 （C ） 2 （D ）43π（10）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的 取值范围为 （A ）,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （11）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ,则△APF 周长的最小值为（A）4(1 （B）4+ （C） （D（12）已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x x x sin 2-=（],[ππ-∈x ），设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数为分别为m 、n 、t ，则m n t ++=（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 作为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是 .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 .俯视图ACBA 1C 1B 1DE图3x频率图4（16）在△ABC 中，6B π∠=,1AC =,点D 在边AB 上，且DA=DC ，BD=1，则DCA ∠= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,2123n n a a +=-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=- ，求{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E = ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅰ)求证：BD ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)若1AB =，且1AC AD =⋅，求二面角11B D A B -- 的余弦值．（19）（本小题满分12分）量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完 整），已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60） 的年平均天数为156，一年按364天计． （Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？（20）（本小题满分12分）如图5，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 顶点为B 、C ，右焦点为F ，|AF |=3，且ABC ∆的周长为（I ）求椭圆的离心率；（II ）过点M (4, 0)的直线l 与椭圆相交于不同两点P 、点N 在线段PQ 上．设||||||||QN MQ PN MP ==λ，试判断点是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+xf x x e ax .(a R ∈)（I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，当122+≤x x 时，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．数学（理科）参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（92，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 222x-=，解得12x =，故2x =1，故新工件的体积为1.（10）设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α， 则122211)('tan =+≥≥+==ba ab b a a f α，故42ππα≤<．（11）易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F三点共线时取到，故l 2||24(1AF a =+=.（12）由条件可在函数()f x 的值域为[0,1]，方程()0f x =的根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，π-=)(x f 与()f x π=均无实根，所以方程(())0f f x =的实根个数为3，即3m =；因x x x g sin 2)(-=是奇函数，先考虑],0[π∈x 的图象，因x x g cos 21)('-=，由0)('>x g 得],3(ππ∈x ，可知)(x g 在],3(ππ上递增，在]3,0(π上递减，又0)0(=g ，ππ=)(g ，由图象关于原点对称得)(x g 的示意图如右，极小值为7.033)3(-≈-=ππg ，极大值为7.0)3(≈-πg . 方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或π-=)(x g 或π=)(x g 的根，显然方程()0g x =有3个根，D CB A 方程π-=)(x g 与π=)(x g 各有１个根，从而方程(())0f g x = 实根的个数为5，即n =5；记方程()0g x =除0外的另外两个实根分别为00,x x -，可知10>x ，方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根，显然方程()0g x =有3个根，方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有１个根，从而方程(())0g g x =根的个数为5，即t =5，故m n t ++=13.二、填空题：（15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=h =O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）解法1：设A ACD θ∠=∠=，02πθ<<，则2ADC πθ∠=-，又1AC =,由正弦定理得：1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得：112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠- 55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-，由02πθ<<550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<，得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注：该题若考生漏掉一解扣2分]【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】 解法2：过点C 作CE AB ⊥于E ，AACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt△AEC 中，sin CE θ=，则在Rt △CED 中，θθθ2tansin 2tan -=-=CE DE ，在Rt △CEB 中,tan6CEBE θπ==，由BD=1得sin 1tan 2θθθ=sin cos2sin 2sin 2θθθθθ⇒= cos222cos θθθ⇒=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】三、解答题：EDB 1C 1A 1BCA（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩，解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由11222332n n nn a b a b a b ++++=- ① 当1n =时，1112a b =，所以112b =-----------------------------------------------------------------7分当2n ≥时，11221112132n n n n a b a b a b ---++++=- ②-----------------------------8分①式减去②式得212n n nn a b -=，求得12n n b =，易知1n =也成立，所以数列{}n b 为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==-- ------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）连结ED ，-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED ，-------------------------------------------------------2分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①，--------------------------------3分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分 【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】（Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------6分 ∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，-----------------7如图以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -如图示，则)1,0,1(1A ，)1,0,0(1B ，)0,21,21(D ，得)0,0,1(11=A B ，111(,,1)22B D =- ，设),,(z y x m =是平面A 1B 1D 的一个法向量，1701105x1210频率则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B m A B m 111 ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x B m x A B m ，令z =1，得)1,2,0(=m ，----------9分 设(,,)n a b c = 为平面A 1BD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n BD n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a n ， 令1c =得(1,1,1)n =-， ---------------------------------------------------------------------------10分 依题意知二面角11B D A B --为锐二面角，设其大小为θ，则 |||||||,cos |cos m n m n m n⋅⋅=><=θ515353=⋅=， 即二面角11B D A B --的余弦值为515．----------------------------------------------------12分 其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71，①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 （20）解：（I ）由2222||a c b AF =+=，得3=a ，--------------------------1分ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ，即722=++a a b ，得72=b ，所以2=c ，椭圆的离心率为32=e ；---------------------------------------------4分 （II ）显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 由||||||||QN MQ PN MP =，得022101y y y y y y -=-，化简得)(221021y y y y y +=①，-----6分 由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，----------------------------------------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ，---------------------------------------10分因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．------------------------------------------12分【法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，不妨设0>k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，12y y <， 由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得022101y y y y y y -=-=λ，化简得)(221021y y y y y +=①，6分 由)(101y y y -=λ，)(022y y y -=λ，得)(1221y y y y -=+λ②，由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，)79(25622,1+∆±-=k k y ，----------------------8分 代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，---------------------------------------9分 由②式得79562+-k k 792+∆-⋅=k λ，得341341425622≥-=-=kk k k λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．--------------------------------------12分】 【法三：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，21x x <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ， 得,,MP PN MQ QN λλ==------------------------------------------------------------------------5分所以01010*********x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分 上面两式相减化简得490=x0110101744||4119||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---，因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．----------------------------------12分】（21）解法1：（I ）函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根，由(2)0-+=xx e ax 得(2)=-xax x e ，令()(2)=-xg x x e ， 则'()(2)(1)=-+-=-xxxg x e x e x e ，--------------------2分由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增，由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，----3分∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，又当1x <时，()g x >0，当→-∞x 时()0→g x ；当2<x 时()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时，ax y =与()g x 只有一个公共点，从而函数()f x 有一个零点；---------- 5分 当0<a 时，ax y =与()g x 有两个公共点，从而函数()f x 有两个零点．-----------------6分 （II ）设12<x x 由（I ）知0<a 且120,2<>x x ，由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ，得111(2)-=-x x e a x （10<x ） 由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ，得222(2)-=-x x e a x （22>x ）-----------------------8分 ∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=， -------------------------9分 ∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ， ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，----------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e ea x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．--------------------------------------------------------------------------------12分【解法2：（I ）∵02)0(≠-=f ，0=∴x 不是函数的零点； 当0≠x 时，由0)2()(=+-=ax e x x f x 得x e x a x)2(--=，------------------------------1分 设x e x x g x )2()(--=，则0)22()('22<+--=xe x x x g x，----------------------------------2分 所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减，-----------------------------------------------------3分 当0>x 且0→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，-∞→)(x g ；当0<x 且0→x 时，-∞→)(x g ；当-∞→x 时，0)(→x g ；当0<x 时，由0)(<x g ，有)0,()(-∞∈x g ，当0>x 时，有0)2(=g ，),()(∞+-∞∈x g ，所以当0≥a 时，曲线a y =与)(x g 只一个公共点，函数)(x f 有一个零点； -----------5分 当0<a 时，曲线a y =与()g x 有两个公共点，函数)(x f 有两个零点； -----------------6分 （II ）不妨设21x x <，由（I ）得0<a ，且01<x ，22>x ，由0)(1=x f ，0)(2=x f ，得)(1x g a =，)(2x g a =，∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=，-----8分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ，----------------------------------------------------10分 ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，------------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e ea x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．------------------------------------------------12分】选做题： （22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分 （II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，-----------------------------------------------------------------6分 设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+，---------8分 由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，--------------------------------9分 当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分 【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =-----------------------------------------------------6分 ∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，---------------------------------8分 当(,)2παπ∈时，t a n 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当t a n 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM ≤即||OM 的最大值为2．------------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤------------------------------2分 当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤ =2{|}3x x ≤-------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分 4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ，------------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分。