全等三角形的性质和判定的综合PPT精选文档
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三角形全等的判定ppt
边角边定理
两边对应相等，且夹角也相等的两 个三角形全等。
角边角定理
两角对应相等，且夹边也相等的两 个三角形全等。
角角边定理
两角对应相等，且另一组对应角也 相等的两个三角形全等。
运用全等解决实际问题
利用全等解决测量问题
通过测量三角形各边的长度和角度，可以计算出未知量，如 高度、角度等。
利用全等解决设计问题
角边角定理（ASA）
总结词
两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等。
详细描述
角边角定理也是三角形全等的判定方法之一。它表明只要两个三角形的两个角对 应相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这两个三角形就全等。
角角边定理（AAS）
总结词
两角对应相等且一边相等的两个三角形全等。
详细描述
角角边定理是三角形全等的重要判定方法之一。它表明只要两个三角形的两 个角对应相等，并且其中一个角所对应的一条边也相等，那么这两个三角形 就全等。
随着科学技术的发展，全等三角形的判定方法将 会在更多的领域得到应用和发展。
THANKS
谢谢您的观看
结论
全文总结
01
本文介绍了三角形全等的概念和重要性，并详细阐述了三角形 全等的判定方法。
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过对比不同判定方法的优缺点，总结了不同情况下应选择的
判定方法。
重点强调了全等三角形的性质和应用，为解决实际问题提供了
03
基础和保障。
对未来学习的建议
建议学习者在学习本部分内容之前，先了解全 等图形的概念及作用，以便更好地理解全等三 角形的判定方法。
04
与三角形全等相关的定理和推论
重要的定理和推论
SAS定理
全等三角形的性质和判定的综合PPT精选文档
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
∠FGD，即DG平分∠AGF
三、动态中的全等三角形
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
数量关系．(只写结论)
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
三角形全等的判定ppt课件
尺
作图区
规
例题解析
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：∠A=∠C
D
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB
全等, 然后由全等三角形的性质定理得到结论.A
证明:
在△ABD和△CDB中, AB=CD (已知) AD=CB (已知) BD=DB (公共边)
∴△ABD≌△CDB (SSS)
B E CF
＿＿AC＿=DF ( 已知 )
BC=＿E＿F (已证 ) ∴△ABC≌△DEFS(SS )
新知探究
如图,在∠CAB中，AF=DE, DF=DE. 求证:AD是∠CAB的角平分线.
C
1 2
A
D B
例题解析
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD
C
C
作法:
A
D
B
A
B
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点;
注意几何语言规范
2.三角形具有稳定性。房屋的人字架、大桥的钢梁、 起重机的支架、自行车的车座等，采用三角形结构， 起到稳固的作用。
课堂小结
内容
有三边对应相等的 两个三角形全等
边 边边
应用
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四个步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条 件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所 证明的两个三角形中.
A
D
C
B
E
图1
图2
新知探究
如图 ,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动.在转 动过程中,连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如 果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上,那么构成的三角形的形 状、大小就完全确定.
人教版《三角形全等的判定》PPT全文课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
《全等三角形》PPT优秀课件
全等三角形
-.
学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点） 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点）
情境导入
观察下列图形，你有什么发现？
这每些个形图状Байду номын сангаас、中大都小存相在同形的 图状形、放大在小一相起同能的够图完形全。
角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
AB
C
B
C
全等
D
合作探究
归纳总结： 全等变化：
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置 变化了,但形状和 大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形 _全＿等.
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作探究
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
重合吗？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
ppt下载： . /xiazai/
ppt教程： . /powerpoint/
资料下载： . /ziliao/
范文下载： . /fanwen/
试卷下载： . /shiti/
小试牛刀
4、图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， 求∠E的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
-.
学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点） 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点）
情境导入
观察下列图形，你有什么发现？
这每些个形图状Байду номын сангаас、中大都小存相在同形的 图状形、放大在小一相起同能的够图完形全。
角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
AB
C
B
C
全等
D
合作探究
归纳总结： 全等变化：
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置 变化了,但形状和 大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形 _全＿等.
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作探究
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
重合吗？
ppt模板： . /moban/
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ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
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资料下载： . /ziliao/
范文下载： . /fanwen/
试卷下载： . /shiti/
小试牛刀
4、图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， 求∠E的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
全等三角形ppt
全等三角形是几何 证明中的重要工具 。
两个三角形全等时 ，它们的对应边和 对应角都相等。
在代数中的应用
全等三角形可以用来证明代数 恒等式。
可以利用全等三角形的性质来 解方程。
全等三角形的证明方法在代数 中也有着广泛的应用。
在生活中的应用
1
全等三角形的证明方法在生活中的应用非常广 泛。
2
例如，在建筑、工程和设计中需要使用全等三 角形的证明方法。
证明方法
SSS（边边边定理）和AAA（角角角定理）。
THANK YOU.
3
全等三角形的证明方法也可以用于解决日常生 活中的问题。
05
全等三角形的拓展
黄金三角形
特点
两条腰的长度相等，两个底角分别为36度和36度。
证明方法
SSS（边边边定理）。
等腰直角三角形
特点
有一个角是直角，两条腰的长度相等。
证明方法
ASA（角边角定理）。
等边三角形
特点
三个角都相等，三条边都相等。
2023
全等三角形ppt
目录
• 全等三角形的定义和性质 • 全等三角形的证明方法 • 全等三角形的练习题 • 全等三角形的应用 • 全等三角形的拓展
01
全等三角形的定义和性质
定义
两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
性质
全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。 全等三角形的周长、面积分别相等。
题目2
两个三角形全等，其中一个三角形三个角分别为30度、60度和90度，另一个三角形两个角相等，另一个角是多少度？
证明题
总结词
完整版三角形全等的判定ppt课件
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
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八年级上册数学（人教版）
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， BD⊥AC ， 且 AE 平 分
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中 ， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分 ∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的：AD＋BC＝AB.
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠AFE，∴EF∥BC
3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解 ： ∵ AD ， AF 分 别 是 两 个 钝 角 △ ABC 和 △ ABE 的 高 ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE， 即BC＝BE
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是 AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段 BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，
AE ＝ AE ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AB ＝ AF ， ∴ △ ABE≌△AFE(SAS) ，
∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又
∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， BD⊥AC ， 且 AE 平 分
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中 ， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分 ∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的：AD＋BC＝AB.
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠AFE，∴EF∥BC
3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解 ： ∵ AD ， AF 分 别 是 两 个 钝 角 △ ABC 和 △ ABE 的 高 ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE， 即BC＝BE
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是 AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段 BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，
AE ＝ AE ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AB ＝ AF ， ∴ △ ABE≌△AFE(SAS) ，
∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又
∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝