数学建模案例分析回归分析
为剩余方差（残差的方差），
ˆ
2 e
分别与
ˆ0
、
ˆ1
独立.
ˆ e 称为剩余标准差.
2020/6/15
返回数学建模
7
三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验
对回归方程Y 0 1x 的显著性检验，归结为对假设 H 0 : 1 0; H1 : 1 0
进行检验.
假设 H0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
其中 r1
1
1 n 2 F1 1, n 2
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数学建模
10
2．回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α的置信区间分别为
ˆ
0
t1 2
(n
2)ˆ e
1 n
x2 Lxx
, ˆ0
t1 2
(n
2)ˆ e
1
x2
n Lxx
ห้องสมุดไป่ตู้
和
ˆ1
t
1 2
(n
2)ˆ e
/
Lxx
,
ˆ1
t
1
(n
1．用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计；
2．对回归系数 0 、 1 作假设检验；
3．在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
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4
二、模型参数估计
1．回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
故 T t (n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
1
2n
n
其中Lxx (xi x)2 xi2 nx 2
i 1
i 1
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数学建模
9
（Ⅲ）r 检验法
n
(xi x)( yi y)
记
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
当|r|> r1 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
数学建模
返回
13
四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）
例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
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数学建模
8
（Ⅰ）F检验法
当 H 0 成立时，
F
U
~F（1，n-2）
Qe /(n 2)
n
其中 U yˆi y2 （回归平方和） i 1
故 F> F1 (1, n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
（Ⅱ）t 检验法 当 H 0 成立时，T
Lxx ˆ1 ~t（n-2） ˆ e
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数学建模
5
解得
ˆ0 y ˆ1x
ˆ1
xy x2
xy x2
n
xi xyi y
或 ˆ1 i1 n
xi x 2
i 1
其中 x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
， x2
1 n
n i 1
xi 2 , xy
1 n
n i 1
xi yi
.
（经验）回归方程为:
实验目的
1．直观了解回归分析基本内容. 2．掌握用数学软件求解回归分析问题.
实验内容
1．回归分析的基本理论. 2．用数学软件求解回归分析问题. 3．实验作业.
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数学建模
1
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
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检 验 、 预 测 与 控 制
设
yi 0 x1 i ,i 1, 2,..., n
E
i
0, Di
2
且1 2 ,..., n相互独立
n
n
记
Q Q(0 , 1)
2 i
yi 0 1xi 2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 ˆ0 ， ˆ1 使得
Q(ˆ0
,
ˆ1
)
min
0 ,1
Q( 0
,
1
)
只要控制 x 满足以下两个不等式
yˆ (x) y, yˆ (x) y 要求 y y 2 (x) .若 yˆ (x) y, yˆ (x) y 分别有解 x
和 x，即 yˆ (x) y, yˆ (x) y .
则 x, x 就是所求的 x 的控制区间.
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性可 数 回线 学 归性 模 （化 型 曲的 及 线一 定 回元 义 归非 ） 线 数学建模
模 型 参 数 估 计
检 验多 与元 预线 测性
回 归 中 的
逐 步 回 归 分 析
2
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高
143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164
2)ˆ
e
/
2
Lxx
2 的置信水平为 1- 的置信区间为
2 1
2
Qe (n
2)
,
2
2
Qe (n
2)
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数学建模
11
3．预测与控制
（1）预测
用 y0 的回归值 yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 作为 y0 的预测值.
y0 的置信水平为1 的预测区间为
yˆ0 (x0 ), yˆ0 (x0 )
(cm)
腿长
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
(cm)
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xi，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y 0 1x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
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散点图
数学建模
3
一般地，称由 y 0 1x 确定的模型为一元线性回归模型，
记为
y 0 1x E 0, D 2 固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
Y 0 1x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
其中 (x0 ) ˆ et1 (n 2) 2
1 1 x0 x2
n
Lxx
特别，当 n 很大且 x0 在 x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的预测区间近似为
yˆ
ˆ
e u1 2
,
yˆ
ˆ
e u1 2
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数学建模
12
（2）控制
要求： y 0 1x 的值以1 的概率落在指定区间y, y
yˆ ˆ0 ˆ1x y ˆ1(x x)
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数学建模
6
2． 2 的无偏估计
n
记 Qe Q(ˆ0 , ˆ1 )
yi ˆ0 ˆ1xi 2 n ( yi yˆi )2
i 1
i 1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e
Qe
(n 2)
称
ˆ
2 e
数学建模之回归分析
实际帐目数——x2 同类商品竞争数——x3 地区销售潜力——x4
第二十九页，共56页。
X= x1
11
5.5
2
2.5
31
8.0
41
3.0
51
3.0
6
2.9
7.
8.0
8.
9.0
9 10
.
4.0 6.5
11 1
5.5
12 13
1
5.0 6.0
14 1
5.0
15 16
1
3.5 8.0
17 1
问题分析：
钢材消费量--------试验指标(因变量)Y； 国民收入-----------自变量 x；
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)； 作拟合曲线图形分析。
第四页，共56页。
y=a+bx
钢材消费量y与国民收入x的散点图
第五页，共56页。
回归分析是研究变量间相关关系的一种统计分析。
输入：[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y
结果： Y= 22.5243
28.3186 27.0450 22.5243 26.0582 27.0450 24.1689
26.0582 24.1689 27.9896 19.6904
27.9896 19.6904 28.3186
拟合效果图：
假设：
1、因变量Y是随机变量，并且它服从正态分布； 2、f(x1,x2,x3,x4)是线性函数(非线性)；
模型： Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 ~ N (0, 2 )
第三十一页，共56页。
知识介绍
2、多元线性回归模型
多项式回归数学建模实验报告
多项式回归数学建模实验报告一、引言多项式回归是一种常用的数学建模方法，它可以通过拟合多项式函数来描述不同变量之间的关系。
多项式回归在实际问题中广泛应用，例如经济学、生物学、工程学等领域。
本实验旨在通过对一组实验数据进行多项式回归分析，探索多项式回归在模型建立和预测中的应用。
二、数据收集与预处理在实验中，我们收集了一个关于汽车油耗与发动机排量之间关系的数据集。
数据集中包含了不同车型的汽车的油耗和发动机排量的数据。
为了进行多项式回归分析，我们首先对数据进行了预处理，包括数据清洗、去除异常值和缺失值处理等。
三、多项式回归模型建立在多项式回归分析中，我们可以选择不同次数的多项式函数来拟合数据。
在本实验中，我们选择了3次多项式函数来建立模型。
通过最小二乘法将多项式函数拟合到数据上，得到了模型的系数。
四、模型评估与优化为了评估多项式回归模型的拟合效果，我们计算了模型的均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）。
通过观察这些指标的数值，我们可以评估模型的拟合效果，并根据需要进行模型优化。
五、模型预测与应用在模型建立和优化之后，我们可以使用多项式回归模型来进行预测和应用。
通过输入不同的发动机排量，我们可以预测相应的汽车油耗。
这对于汽车制造商和消费者来说都具有重要的实际意义，可以帮助他们做出更好的决策。
六、实验结果与讨论通过对实验数据的多项式回归分析，我们得到了一个拟合效果较好的模型。
模型的MSE较小，R-squared较大，说明模型对数据的拟合效果较好。
通过模型预测，我们可以得到不同发动机排量下的汽车油耗预测值，可以帮助汽车制造商和消费者做出更准确的预测和决策。
七、结论与展望本实验通过对多项式回归模型的建立和应用，探索了多项式回归在数学建模中的实际应用。
实验结果表明多项式回归模型在描述汽车油耗和发动机排量之间关系方面具有较好的效果。
未来的研究可以继续优化模型，探索更高次数的多项式函数或其他回归方法，以提高模型的精确度和预测能力。
数学建模案例分析回归分析实用教案
2021/11/8
14
第第1十4四页页，/共共525页2。页
通常(tōngcháng)选择的六类曲线如下：
2021/11/8
返回(fǎnhuí)
解例 2.由散点图我们选配到指数曲线 y=a eb / x 根据线性化方法，算得 bˆ = 1.1107 , Aˆ = 2.4587
2021/11/8
17
第第1十7七页页，/共共525页2。页
2021/11/8
返回 (fǎnhuí)
18
第1第8十八页页，/共共525页。2页
三、多元线性回归(huíguī)中的检验与 预测
（Ⅰ）F 检验法
（Ⅱ）r 检验法
2021/11/8
第1第9十九页页，/共共525页。2页
(残差平方和)
19
性
逐 步 回 归
回分
归析
中
的
检
1
第第1一页页，/共共525页2。页
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得(suǒ dé)数据如下：
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些(zhèxiē)数据点（xi，yi）在平面直角坐标系上标出.
解答(jiědá)
散点图
2021/11/8
2
第第2二页页，/共共525页2。页
（1）确定多项式系数的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m）
其中 x=（x1，x2，…，xn），y=（y1，y2，…，yn）； p=（a1，a2，…，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.
数学建模案例分析
数学建模案例分析数学建模是将现实问题转化为数学模型，并利用数学方法对模型进行求解的过程。
它是数学与实际问题结合的重要手段，能够帮助人们深入理解问题的本质，提供科学的决策依据。
以下是一个数学建模案例分析。
市有4个城区，现准备改造城市供水系统，以满足未来的供水需求。
根据过往的数据分析，每个城区的用水量与其人口数量、平均收入以及大型工厂的数量有关。
现在的问题是如何设计供水系统，使得满足各城区的用水需求，并且降低总成本。
为了解决这个问题，我们需要进行数学建模。
首先，我们需要确定影响用水量的因素。
1.人口数量：根据过往数据，我们可以得到人口数量与用水量之间的关系。
假设每增加1个人口，用水量增加A升，其中A为一个常数。
2.平均收入：平均收入的提高可能会促使人们增加用水量。
假设平均收入每提高1个单位，用水量增加B升，其中B为一个常数。
3.大型工厂数量：大型工厂对水的需求较大，可能对城区的用水量产生较大的影响。
假设每增加1个大型工厂，用水量增加C升，其中C为一个常数。
通过对过往数据的分析和回归分析，我们可以得到A、B和C的具体数值。
然后，我们可以建立供水系统的数学模型：设城区1、城区2、城区3和城区4的人口分别为x1、x2、x3和x4，平均收入分别为y1、y2、y3和y4，大型工厂数量分别为z1、z2、z3和z4设城区1、城区2、城区3和城区4的用水量分别为w1、w2、w3和w4根据前述的假设，我们可以得到数学模型：w1=A*x1+B*y1+C*z1w2=A*x2+B*y2+C*z2w3=A*x3+B*y3+C*z3w4=A*x4+B*y4+C*z4此外，由于我们希望降低总成本，我们还需要引入成本模型。
假设供水系统的建设成本与每个城区的用水量成正比，并且平均每增加1升用水量，建设成本增加D元，其中D为一个常数。
设城区1、城区2、城区3和城区4的建设成本分别为cost1、cost2、cost3和cost4根据成本因素，我们可以得到成本模型：cost1 = D * w1cost2 = D * w2cost3 = D * w3cost4 = D * w4接下来，我们需要优化这个数学模型。
数学建模案例分析回归分析55页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉60、生活的道路一旦选定来自就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
数学建模案例分析回归分析
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
数学建模：子女身高对父母身高的 回归分析
广东财经大学华商学院HUASHANG COLLEGEGUANGDONG UNIVERSITY OF FINANCE&ECONOMICS论文题目：子女身高对父母身高的再回归分析姓名：李涛学号：413240126班级： 13市场营销5班姓名：赖伟成学号：413060219 班级： 13市场营销5班姓名：黄超学号：413060212 班级：13市场营销5班目录一、摘要 (1)二、问题的提出 (1)三、问题的重述 (2)四、问题的假设....................................................................五、定义与符号说明......................................................六、模型的建立与求解....................................................................七、模型的检验......................................................八、模型的评价与改进........................................................九、参考文献..................................................................子女身高对父母身高的再回归分析摘要在现实生活中, 人们都知道父母身高对子女身高是有影响的, 但是以分析为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线再回归分析模型等方法成功解决了这三个问题，通过这个方程分析出, 子女身高有回归平均身高的倾向, 人们利用“回归”的思想和方法在自然科学和社会科学的许多领域通过建立回归模型, 揭示了一个又一个问题的内在规律, 并使其得到了深入广泛的应用, 从而也推动了科学和社会的进步。
数学建模——线性回归分析82页PPT
2019/11/15
zhaoswallow
2
表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）
方案\机组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
120
73
180
80
125
125
81.1
90
133.02 73
180
80
125
125
81.1
90
3 -144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32
4 119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84
5 135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06
6 157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26
ˆ0
ˆ1 xi )2
min
0 ,1
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
多元线性回归数学建模经典案例
多元线性回归黄冈职业技术学院数学建模协会胡敏作业：在农作物害虫发生趋势的预报研究中,所涉及的5个自变量及因变量的10组观测数据如下,试建立y对x1-x5的回归模型，指出那些变量对y有显著的线性贡献，贡献大小顺序。
x1 x2 x3 x4 x5 y9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.1559.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.1468.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.84110.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.3565.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.8635.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.9036.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.1148.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.8988.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.9307.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104编写程序如下：data ex;input x1-x5 y@@;cards;9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.8635.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.9036.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.9307.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 ;proc reg;model y=x1 x2 x3 x4 x5/cli;run;运行结果如下：（1）回归方程显著性检验.Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares S quare F Value Pr > FModel 5 2.252070.45041 11.63 0.0170Error 4 0.154970.03874Corrected Total 9 2.40704Root MSE 0.19683 R-Square 0.9356Dependent Mean 1.13100 Adj R-Sq 0.8551Coeff Var 17.40333由Analysis of Variance表可知，其F Value=11.63，Pr > F的值0.0170小于0.05，故拒绝原假设，接受备择假设，认为y与x1 x2 x3 x4 x5之间具有显著性相关系；由R-Square的值为0.9356可知该方程的拟合度高，样本观察值有93.6%的信息可以用回归方程进行解释，故拟合效果较好，认为y与x1 x2 x3 x4 x5之间具有显著性的相关关系。
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
192 0
S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：