学案辗转相除法
大学辗转相除法教案
教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解辗转相除法的原理和步骤。
2. 掌握运用辗转相除法求解最大公约数的方法。
3. 能够运用辗转相除法解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 辗转相除法的原理。
2. 辗转相除法的步骤。
教学难点：1. 理解辗转相除法的原理。
2. 正确运用辗转相除法求解最大公约数。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学案例3. 练习题教学过程：一、导入新课1. 提问：同学们，你们知道什么是最大公约数吗？请举例说明。
2. 引出课题：今天我们学习一种求最大公约数的方法——辗转相除法。
二、讲授新课1. 介绍辗转相除法的原理- 辗转相除法是一种古老的算法，用于求解两个正整数的最大公约数。
- 其原理是：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
- 例如：求10和25的最大公约数，10除以25商2余5，那么10和25的最大公约数等同于10和5的最大公约数。
2. 讲解辗转相除法的步骤- 第一步：将较大的数除以较小的数，得到余数。
- 第二步：用较小的数除以第一步得到的余数，得到新的余数。
- 第三步：重复第二步，直到余数为0。
- 第四步：最后一步的除数即为这两个数的最大公约数。
3. 举例说明- 以10和25为例，演示如何运用辗转相除法求解它们的最大公约数。
三、课堂练习1. 请同学们完成以下练习题：- 求以下数对的最大公约数：12和18，20和30，45和75。
- 用辗转相除法证明：若a和b互质，则a和b的最大公约数为1。
四、总结与反思1. 总结：通过本节课的学习，同学们掌握了辗转相除法的原理和步骤，能够运用该方法求解最大公约数。
2. 反思：在运用辗转相除法时，要注意每一步的计算准确性，以免出现错误。
五、布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课内容：欧几里得算法。
教学反思：本节课通过讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生掌握了求解最大公约数的方法。
2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学教案
2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握辗转相除法的基本原理和应用。
2. 让学生了解并学会使用更相减损术求最大公约数。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容：1. 辗转相除法的基本原理和步骤。
2. 更相减损术的原理和步骤。
3. 实际案例分析，运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：辗转相除法的基本原理、步骤及应用，更相减损术的原理和步骤。
2. 教学难点：理解和运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解辗转相除法和更相减损术的原理和步骤。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用所学知识解决问题。
3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高学生的逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际案例，引发学生对求最大公约数的兴趣。
2. 讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生理解并掌握。
3. 讲解更相减损术的原理和步骤，让学生了解并学会使用。
4. 开展小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对辗转相除法和更相减损术的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作能力和问题解决能力。
3. 课后作业：布置有关辗转相除法和更相减损术的练习题，检查学生的掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：《算法案例辗转相除法与更相减损术》相关章节。
2. PPT课件：展示辗转相除法和更相减损术的原理、步骤及案例。
3. 网络资源：提供相关的学习网站和视频，方便学生课后自主学习。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍辗转相除法的基本原理和步骤。
2. 第二课时：讲解更相减损术的原理和步骤，并进行案例分析。
3. 第三课时：开展小组讨论，学生运用所学知识解决实际问题。
九、课后作业：十、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
§1.3.1辗转相除法与更相减损术学案
2．两个整数324和135的最大公约数是（ ）
A. 81 B. 54 C. 27 D. 9
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列对辗转相除法的说法错误的是（）
A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早
三、练习
1．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.
2.用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.
3.三个数72,120,168的最大公约数是__________.
34．课本中的辗转相除法主要用到的逻辑结构是（ ）
A．顺序结构 B. 条件结威十六中教学导学案学案
课题：
§1.3.1辗转相除法与更相减损术
学科：
数学
年级：
高一年级
课时：
1课时
主备人：
蒋继荣
使用学生：
使用时间：
年月日
学习目标：
1．了解中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
2．会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
3．能根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序
B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数
C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术
D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写
二、合作探究
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.
例3 求325，130，270三个数的最大公约数.
例4.用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
初中辗转相除法教案
教案：初中数学——辗转相除法教学目标：1. 让学生掌握辗转相除法的概念和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣和积极性。
教学重点：1. 辗转相除法的概念和步骤。
2. 辗转相除法在实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解和掌握辗转相除法的步骤。
2. 解决实际问题中运用辗转相除法的策略。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT课件，展示一些生活中的实际问题，如长度测量、土地划分等，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 引导学生回顾之前学过的除法知识，为新课的学习做好铺垫。
二、新课导入（10分钟）1. 介绍辗转相除法的概念和定义。
2. 讲解辗转相除法的步骤和原理。
3. 通过PPT课件和举例，详细讲解辗转相除法的具体操作过程。
三、案例分析（10分钟）1. 给出一个实际问题，如“已知一根绳子长度为12米，要将其平均分成3段，每段长度是多少？”2. 引导学生运用辗转相除法解决问题，并解释步骤和思路。
3. 让学生分组讨论和合作，尝试解决其他实际问题，如“已知一块土地面积为18平方米，要将其平均分成3块，每块面积是多少？”四、练习巩固（10分钟）1. 出示一些练习题，让学生独立完成，巩固对辗转相除法的理解和掌握。
2. 引导学生总结解题思路和经验，分享解决实际问题的方法和技巧。
五、拓展延伸（5分钟）1. 引导学生思考：辗转相除法在实际生活中有哪些应用？2. 介绍一些与辗转相除法相关的数学问题和趣味知识，激发学生的学习兴趣。
六、总结反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辗转相除法的概念、步骤和应用。
2. 鼓励学生分享自己的学习心得和收获，提出疑问和建议。
教学评价：1. 课后收集学生的练习作业，评估对辗转相除法的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简易的测验，检验学生对知识的记忆和运用能力。
3. 关注学生在课堂上的参与度和合作情况，了解学习效果。
算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A版必修3
1．辗转相除法 (1)辗转相除的原理： 设m， n是两个整数 (不妨设m>n)，用m除以n，若商为 q1 ，余数为 r1(0≤r1<n) ，则 m ＝ n· q1 ＋ r1 ，显然若 x 是 m 和 n 的 公约数，即x能整除m和n，则x也必然能整除r1，这样x也是 n 和 r1 的公约数，故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数； 同理，用n除以r1，得n＝r1· q2＋r2(0≤r2<r1)，故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 ， … ， 依 次 下 去 ， 由 于 m>n>r1>r2>… ，所以到某一步必然有 ri ＝ ri ＋ 1· qi ＋ 2 ，即 ri 恰 能被ri＋1整除，这时ri＋1是ri和ri＋1的最大公约数，它也必然 是ri－1和ri、ri－2和ri－1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数．
此编写的算法，也称作“欧几里得算法”．
3．对于正整数m与n(m>n)，总能找到整数q和r(0≤r<n)
使得m＝nq＋r成立，这个除法称为带余除法．通常记r＝ mMODn.
重点：算法案例的原理、算法设计及算法思想的体 会． 难点：理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步
骤．
一、弄清算法原理，掌握算法程序，经历算法设计过 程，体会算法设计的关键环节，领悟算法思想．
(1)更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计． 对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着 把得到的差与较小的数比较，用这时两个数中较大的数减 去较小的数，继续这样的操作 ( 大数减小数 ) ，直到所得的
数相等为止，那么这个数 ( 相等数 ) 就是所求的最大公约
数．
显然，上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过
精品导学案：辗转相除法与更相减损术
精品导学案：辗转相除法与更相减损术1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.2. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，.知识探究（一）:辗转相除法思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？思考4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m ，n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m ，n(m>n).第二步，第三步，第四步，思考5:该算法的程序框图如何表示？思考6:该程序框图对应的程序如何表述？思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？知识探究（二）:更相减损术思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？思考2:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，第三步，第四步，思考3:该算法的程序框图如何表示？思考4:该程序框图对应的程序如何表述？知识探究（三）:辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
初中辗转相除法教案
初中辗转相除法教案教学目标：1. 让学生掌握辗转相除法的基本概念和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 引导学生运用辗转相除法解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学内容：1. 辗转相除法的定义和原理。
2. 辗转相除法的步骤和技巧。
3. 辗转相除法在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的除法知识，如长除法、短除法等。
2. 提问：有没有除法可以解决两个较大的数相除的问题呢？3. 引入辗转相除法，激发学生的兴趣。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辗转相除法的定义和原理。
2. 演示辗转相除法的步骤和技巧。
3. 通过例题讲解辗转相除法的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用辗转相除法解决实际问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：除了辗转相除法，还有其他方法可以解决两个较大的数相除的问题吗？2. 讲解其他方法（如欧几里得算法）并与辗转相除法进行比较。
3. 让学生运用所学知识解决实际问题，如计算两个较大数的最大公约数等。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辗转相除法的特点和应用。
2. 引导学生思考如何更好地掌握和运用辗转相除法。
教学评价：1. 课后作业：布置有关辗转相除法的练习题，检查学生对知识的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和问题解决能力。
3. 实际应用：评估学生在实际问题中运用辗转相除法的效果。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了辗转相除法的基本概念和应用。
在教学过程中，要注意引导学生运用逻辑思维解决问题，培养学生的数学素养。
同时，结合实际问题，提高学生的应用能力。
在今后的教学中，可以尝试引入其他相关算法，拓展学生的知识面，提高学生的综合素质。
《1.3.2辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法》导学案
1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法》导学案学习目标】1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．学习重点】算法步骤及程序框图和算法程序课前预习案知识链接】1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？2.观察下列等式8 251 = 6 105X 1 + 2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2146的公约数有什么关系？知识梳理】1 .辗转相除法( 1 )辗转相除法.①算法步骤：②程序框图如图所示.③程序：2、更相减损术问题：设两个正整数m>n(m>n),若m—n = k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少？算法分析：3．秦九韶算法(1)概念：求多项式f(x) = a n x n+ a n—i x n—1+…+ a i x+ a。
的值时，常用秦九韶算法，这种多项式的算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求值,共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：( 2) 算法步骤：( 3) 程序框图如图所示．( 4) 程序：自主小测用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是3. 用更相减损术可求得 78与 36的最大公约数是()课上导学案教师点拨:更相减损术与辗转相除法的区别与联系【例题1】(1)用辗转相除法求8251与6105的最大公约数; (2)用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用.除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数. 1、 2、 A. 顺序结构B. 条件结构C. 循环结构D .以上都有 A . 24B . 18C . 12辗转相除法的操作是较大的数反思：(1) 利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．( 2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．【例题2】用秦九韶算法求多项式f( X) = X5+ x4+ X3+ X2+ X+1当x= 5时的值.当堂检测】1•用秦九韶算法计算f(x) = 3X6+4X5+ 5x4+ 6x3+ 7x2 3+ 8x +1当x = 0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )C. 6, 5A. 6, 6D. 6, 122.利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是_____________________.3 .用秦九韶算法求多项式f(x) = x5+ 5x4+ 10x3+ 10x2+ 5x + 1在x=- 2时的值为4.用辗转相除法求242与154的最大公约数.2 36勿r 恥，故36与60的最大公约数为3| 9 153 52 X 2 X 3= 12.2、【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251【问题与收获】【知识链接】的约数，故 8 251与 6 105的最大公约数也是 6 105与2 146的最大公约数．自主小测答案： 1、 用2约简 由于294和84都是偶数,先用 2约简.2、3. D 先用 2约简得 39, 18；然后辗转相减得 39— 18 = 21, 21 - 18= 3, 18- 3= 15, 15 —3= 12, 12— 3= 9, 9— 3 = 6, 6 — 3 = 3.所以所求的最大公约数为 3X 2= 6.当堂检测答案：1. A 改写多项式 f(x) = ((((( 3x + 4)x + 5)x + 6)x + 7)x + 8)x + 1,则需进行 6次乘法和 6次加法运算.2. 3 869= 2 628X 1 + 1 241 第一步：6 497= 3 869X 1 + 2 628,第二步：3 869 = 2 628 X 1+ 1 241.3.— 1 改写多项式为 f(x) = (((( X + 5)x + 10)x + 10)x + 5)x + 1,当 x =— 2 时, v 0= 1 ； v 1= 1 X ( — 2) + 5= 3；v 2=3X(—2)+10=4；v 3= 4X (— 2)+ 10= 2；v 4= 2X(— 2)+5=1；v 5= 1X(— 2)+1=— 1；故 f( — 2) =— 1.4.解： 242= 154X 1 + 88,154= 88X 1+ 66,88= 66X 1 + 22,66= 22X 3.所以 242与154的最大公约数是 22. 1、【提示】 先用两个数公有的质因数连续去除, 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于。
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学案1-3-1：辗转相除法与更相减损术
学习目标：
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
重点与难点：
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
学习过程：
预习导航
引例：1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎
样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？
知识导航：
辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的___________古老有效的算法。
更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的______算法。
典型例题：
一.辗转相除法
例1 。
求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：辗转相除→余数为零→得到结果）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
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148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
1。
为什么用这个算法能得到两个数的最大公约数？
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。
2。
辗转相除法包含重复操作的步骤，因此我们可用_________结构来构造算法，利用辗转相除法求最大公约数的步骤：
3。
程序框图如下：
当型循环结构框图直到型循环结构框图
4。
程序如下：
当型循环结构程序直到型循环结构程序
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二。
更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2。
用更相减损术求392与252的最大公约数.
解：由于392与252都是偶数，需约简，除以4得：98与63
由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
392与252的最大公约数为4*7＝28。
1。
用更相减损术能求出两个数的最大公约数的原理是什么？
练习：用更相减损术求两个正数576与246的最大公约数。
2。
请根据更相减损术设计一个程序，求两个正整数m，n的最大公约数？
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自我评价
1、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）
A、16和12的最大公约数是4
B、78和36的最大公约数是6
C、85和357的最大公约数是34
D、105和315的最大公约数是105
2、用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：（1）228，1995 （2）5280，12155
3、用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是___________.
4、求375与85的最小公倍数，并设计一个程序求正整数m与n的最小公倍数。
5、算法
Ｓ１输入，ｘ，ｙ
Ｓ２ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}
Ｓ３ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}
Ｓ４若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）
则执行Ｓ9，否则执行Ｓ５
Ｓ５ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ
Ｓ６ｍ＝ｎ
Ｓ７ｎ＝ｒ
Ｓ８执行Ｓ４
Ｓ９输出ｎ
上述算法的含义是。
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