习题章节章节件

n n 2
并将 n , n 转化为 j , m
k j , m ( j m 1)( j m 1) j 1, m
k j , m ( j m )( j m ) j 1, m ， k 在 j , m 表象下的矩阵表示为：
j ' , m ' k j , m ( j m 1 )( j m 1 ) j ' , j 1 m ' , m
E
2
1 r2
(r 2
r
r
)
1 r2
1 sin
(sin
)
1 sin 2
Байду номын сангаас
2 2
1 r 2
r
(r 2
R (r)) r
l(l
1) R r2
(r
)
F
( , )
2 2m
1 r 2
(r 2 R (r) )
r
r
2 r2
R
(
r
)
V
(r )R
(r )
ER
(r）
V (r) E 2 1
19 .
k n,n
a
a
n , n
( n 1)( n 1) n 1, n 1
显然 k 使 n 和 n 同时增加 1，即使总量子数
j n n 增加 1， 2
是总量子数的升算符，
同理 k 为总量子数的降算符。
k n,n
nn
n 1, n 1 ，令
j
n n ,m 2
j ' , m ' k j , m ( j m )( j m ) j ' , j 1 m ' , m
22 .
( a ) J J x iJ y , J J x iJ y J y
J J 2i
J j , m ( j m )( j m 1 ) j , m 1 j 1, m 1,0 , 1
j , m ' 1 ( J y ) 2 (1 cos ) i J y sin j , m
d
( j) m 'm
(
)
I ( J y ) 2 (1 cos
) i J y sin
1 0 1
0
I
(1
cos
)1 2
0
2
1 0
0 1
i
1 2
sin
2i 0
1
cos sin
0 2i
2i
0
0 2i 0
2i 0 2i
0
2i
0
2 0 2 1 0 1
1 4
0
4
0
1 2
0
2
0
2 0 2 1 0 1
Jy 3
1 12 0
1
0 2 0
1 0
1012
2i 0
2i 0 2i
0 0
02i12
2i 0
2i 0 2i
0
2i
0
Jy 2n1 Jy ,n0,1,2,...;Jy 2m (Jy )2,m0,1,2,...
sin
)
cot
(
i
)e
i 2
2
sin ]
i
1
e 2 sin 2 cos
(b )
L Y 1 , 1 22
0 , ( i
cot
)Y 1 , 1 22
(
,
)
0,
为了使等式成立，
Y 1 , 1 ( , )中必须有正比于 22
i
1
e 2 sin 2
该形式与 ( a )所得的结果不同， ( a )与 (b )的结果矛盾
i
U (t , t0 ) W i a i , t0 a i , t0 U (t , t0 )
i
U (t , t0 ) (t0 )U (t , t0 )
(b )对于纯相来说， (t )2 (t )
ai , t0 ; t
(t ) 2 U (t , t0 ) (t0 )U (t , t0 )U (t , t0 ) (t0 )U (t , t0 ) U (t,t0 ) (t0 )2U (t,t0 ) 而 (t ) U (t , t0 ) (t0 )U (t , t0 )， (t ) 2 (t )
无关，
s1x有
2
和
-
的几率都为1
2
2
2
1
2
1 cos
2
sin 2
cos
sin 2
1 cos
2 sin
2
1 cos
2
2i 0 2i
0
2i
0
24.
(a)
Ps1
z
2
P , P s1z
2
s1 z
2
1 2
,同理P s1
x
2
1 2
(b)
(i)
s1z
s2 z
0, s1z
2
(ii)
s1x与s1z
第三章习题课详解
10 .
( a ) (t0 ) W i a i , t0 a i , t0 , (t ) W i a i , t0 ; t
i
i
ai,t0;t U (t,t0 ) ai,t0 ,
(t ) W iU (t , t0 ) a i , t0 a i , t0 U (t , t0 )
d 2 ( rR ) 2
2 m rR ( r ) dr 2
mr 2
17 .
L
ie i [ i
cot
],
Y 1,1 22
(
,
)
i
e2
sin
(a )
L
ie i [ i
cot
],
LY 1,1 22
Y 1 , 1 22
Y 1 , 1 22
e i [ i
i
(e 2
15 .
( a ) Y 11 sin e i , Y 1 1 sin e i , Y 10 cos ;
e i cos i sin , ( x ) ( x y 3 z ) f ( r )
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
( x ) ( r sin cos r sin sin 3 r cos ) f ( r )
r
(
Y
11
Y11 ) 2
r ( Y 11
Y11 2i
)
3 rY
10
f
( r ),
2
( x ) 是 L 的本征值为
1的本征函数。
( b ) ( x ) ( r sin cos r sin sin 3 r cos ) f ( r ),
iJy
e
1
i (
Jy)2m
i (
Jy)2n1
m1 2m! n0 (2n1)!
1Jy
2m 1(1 2 )m m !2miJy
(1)n
2n1
n0 (2n1)!
1Jy 2(co s1)i(Jy )si n
(c)d
( j) m 'm
(
)
j , m ' exp( iJ y ) j , m
J y ( j1) j 1, m ' J y j 1, m j 1, m ' J J j 1, m
2i
0
Jy
2
2i 0
2i 0 2i
0 m 1
2
i
m
0
0
m
1
( b ) e iJ y
( i J y
)n ,
n0
n!
0 2i 0
(J y
)2
1
4
2i 0
sin cos sin sin 3 cos
sin ( e i e i ) sin ( e i e i ) 3 cos
2
2i
( 4 3
1
)2
(1
i ) Y 11
2 (1 i ) Y 11
2 3 Y 10
m l 0 被找到的概率为
P0 (
3
)2 9 ,
9 11
11
m l 1 被找到的概率为
P1 (
1
)2 1 ,
9 11
11
m l 1 被找到的概率为
P2 (
1
)2 1 .
9 11
11
( c ) 将 ( x ) R ( r ) F ( , ) 代入薛定谔方程
( 2 ) 2 V ( r ) 2m
2 在球坐标中表示为：