线性规划问题解的基本性质和几何意义
1-线性规划的基本性质
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:
第三章线性规划的解法习题解答090426y
第三章线性规划的解法§3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义1．图解法。
线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。
图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。
（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：1）在平面上建立直角坐标系；2）图示约束条件，找出可行域。
具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。
求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；3）图示目标函数直线。
给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。
具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。
对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。
（2）线性规划问题的几种可能结果：1）有唯一最优解；2）有无穷多个最优解；3）无最优解(无解或只有无界解)。
2．重要结论。
（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。
若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。
（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!!()!m n n m n m C =-。
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第2章 线性规划
目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划解的性质
线性规划解的关系图
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
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• 例：求基解、基可行解、最优解。
max
z 2 x1 3 x 2 x 3 x3 5 x1 x 2x x 4 10 1 2 x2 x5 4 xi 0, i 1,2,,...,5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率 C
4 —B
3— 2— 1—
D
最优解 4 x2 16 x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
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• 引理：可行解X为基可行解 X的正分量对应的列向量线性无关 • 定理2：线性规划问题的基可性解X 对应于可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
• 定理3：若可行域有界，线性规划 问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优。
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几点结论：
• 线性规划问题的可行域是凸集。 • 基可行解与可行域的顶点一一对 应，可行域有有限多个顶点。 • 最优解必在顶点上得到。
A
0பைடு நூலகம்
E
| 5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
X X (1) (1 ) X ( 2) 则X为顶点.
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章 线性规划
第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。
教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。
线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。
学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。
2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。
例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。
解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。
设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。
因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。
②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。
约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。
我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。
例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。
问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。
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定理4 线性规划问题（ＬＰ）的可行解集
Ｄ＝｛Ｘ｜ＡＸ＝ｂ，X>=0}
是凸集。 定理5 线性规划问题的可行解集 D中的点x 是顶点( 极点 )的充分必要条件是： x是基础 可行解。(极点与基可行解的等价性定理)
§3线性规划问题的基本性质
3.1解的基本概念
定义4 在(LP)的一个基可行解中，如果它 的所有的基变量都取正值（即非零分量恰为 m个),则称它是非退化的解；反之，如果有的 基变量也取零值，则称它是退化的解。一个 (LP), 如果它的所有基可行解都是非退化的， 就称该问题是非退化的，否则就称它是退化 的。
表3-1
x2
7
D 6 5 C E 4 3 2 1 O B l3 F
l1
l2
G 0 1 2 3 4 5 6
图3-1
A 7 8 9
10
x1
由此例可以看出：（ 1 ）线性规划问题的 每个基本解是原问题两个边界约束方程交点， （2）每个基本可行解对应于可行域的顶点。
3.2 解的基本性质
§4线性规划Байду номын сангаас题解的基本性质
1、凸集定义：设C是n维欧氏空间En的一个集合，若C中的任意两点x(1),x(2) 的连线上的一切点x仍在C中，则称C为凸集。 即：若任意两点x(1),x(2) ∈C，存在0≤λ≤1 使得x=λx(1)+(1- λ)x(2) ∈ C,则称Ｃ 为凸集. x=λx(1)+(1- λ)x(2)∈ C称为x(1),x(2)的凸组合。 凸集 非凸集
定理1:(LP)的可行解 是基可行解的充要条 X 件是它的非基变量所对应的列向量线性无关。
推论 1:(LP) 的满足约束方程组的任意一个解 ___ 是基本解的充要条件是它的非零分量所对应的 X 列向量线性无关。
___
定理2: 若(LP)有可行解，则它必有基可行解。
定理3:若(LP)有最优解，则一定存在一个基 可行解是它的最优解。