最优化方法-线性规划
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
最优化方法-线性规划的基本定理
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
决策优化方法
决策优化方法在当今信息爆炸的社会中，决策是各个领域中不可或缺的环节。
无论是企业管理、政策制定，还是个人生活中的抉择，决策都直接关系到成败与否。
因此，如何有效地进行决策就成为了研究的焦点。
随着计算机科学和数学的发展，决策优化方法应运而生，极大地提高了决策的准确性和效率。
本文将介绍以下几种主要的决策优化方法：线性规划、整数规划、动态规划和遗传算法。
一、线性规划线性规划是一种基于线性数学模型的最优化方法。
它的决策变量和目标函数都是线性的，并且满足一定的约束条件。
线性规划在管理、经济学和运筹学等领域具有广泛的应用。
通过确定目标函数和约束条件，并结合线性规划算法，可以求得最优解，从而做出最佳决策。
线性规划方法简单有效，但对于非线性问题的处理能力有限。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，在决策变量中引入了整数约束条件。
整数规划可以更准确地刻画现实世界中的问题，并且适用范围更广。
在许多实际问题中，决策变量只能取整数值，比如生产批量、货物配送路线等。
整数规划求解复杂度较高，需要采用专门的算法和工具进行求解。
但整数规划方法能够提供更可行、更实际的解决方案。
三、动态规划动态规划是一种寻找最优决策序列的方法，适用于问题具有重叠子问题和最优子结构的情况。
动态规划通过将原问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划方法通常用于具有多阶段、多决策的问题，比如资源分配、项目管理等。
动态规划方法能够充分利用已知信息，避免重复计算，从而提高决策的效率。
四、遗传算法遗传算法是一种模拟自然生物进化过程的启发式搜索方法。
它通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等操作，生成新的解，并通过适应度函数评估解的适应性。
遗传算法可以应用于多种决策问题，特别适合于复杂的优化问题。
遗传算法方法具有良好的全局搜索能力和较强的鲁棒性，但求解过程较为复杂，需要充分考虑问题的特点和约束条件。
在实际应用中，根据问题的特点和需求，可以综合运用以上几种决策优化方法，以获得更好的决策结果。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
最优化方法—线性规划问题
称xj为决策变量，cj为价值系数和费用系数， aij为约束系数或技术系数，bi为资源系数。
线性规划有关的问题
• 4.运输问题 ：m个物资产地B1, B2, …, Bm，n个物资销地A1, A2,…, An，si为 产地Bi产量，dj为销地Aj的销量，cij表 示把物资从产地Bi运到销地Aj的单位 运价，xij表示把物资从产地Bi运到销 地Aj的运输量，问应如何运输才能使 运费最小？
j 1 n
n aij x j bi i 1, , m s.t. j 1 x 0 j 1, , n j
min f C T X AX b s.t. X 0
min{CT X | AX b, X 0}
求线性规划方法－软件
LINDO软件包首先由Linus Schrage开 发，现在，美国的LINDO系统公司 （LINDO System Inc.）拥有版权，是 一种专门求解数学规划（优化问题）的 软件包。它能求解线性规划、（0，1） 规划、整数规划、二次规划等优化问题， 并能同时给出灵敏度分析、影子价格以 及最优解的松弛分析，非常方便实用。
线性规划问题
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备， 生产甲、乙两种产品，每种产品在生产中需 要占用的设备机时数，每件产品可以获得的 利润以及三种设备可利用的机时数如下表
产品甲 设备A 设备B 3 2 产品乙 设备能力（h） 2 1 65 40
设备C
利润（元/件）
0
1500
3
2500
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x0
(2) (3)
可行解：满足（2）、（3）式的解x ( x1 , x2 , , xn )T 称为 (LP )的可行解。
可行域：D { x| Ax b , x 0}。
定理 线性规划问题的可行域D是凸集。 证明： 任取 x1, x2 D, 0 1。
A( x1 (1 )x2 ) Ax1 (1 )Ax2 b (1 )b
定理3 线性规划问题(LP )如果有最优解，则必有最优 的基本可行解。
定理4 线性规划问题(LP )的解 x 是基本可行解的 充分必要条件是 x 是 可行域 D的顶点。
五. 单纯形算法
1. 算法思路：从一个基本可行解开始，判断其是否为最优解。 是则算法结束。不是，则转换到另一个更好的基本可行解， 直到找到最优解，或者判断出不存在最优解。
2x1 u2 v2 3x3 x4 x5 3
s.t .
x1
3x1 2u2 2v2 2x4 4u2 4v2 3x3 x4
7 x7
6
x1 , x3 , x4 , x5 , x7 , u2 , v2 0
三. 图解法
例 2 求解线性规划 max z 4x1 3x2
s.t .
x2 1
且 x2 1时，x3 0。即x2变为基变量，x3变为非基变量。
x2 x1
1 2
2
3 1
3
x3 x3
1
3 2
3
x4 x4
25 z 11 3 x3 3 x4
令 x3
x4
0,则
x1 x2
2 1
基本可行解 x3 ( 2 ,1, 0 , 0 )T 。目标函数值 z3 11。
问题： (1) 如何得到第一个基本可行解？ (2)最优解的判定法则？
(3) 如何从一个基本可行解变换到另一个基本可行解？
2. 单纯形算法分析
例1 求解线性规划问题 (LP ) min s.t .
解：系数矩阵A 1 2 1 0。 2 1 0 1
Z 4x1 3x2
2x1x12
x2 x2
x3 x4
16
9 14
9
x2 ( 16 ,0,0,14 )T 是基本可行解。
9
9
可行解
基本可行解 基本解
基本解数量 Cnm
是否在基本可行解中一定存在最优解？
退化：称 非 零 分 量 个 数 小 于m的 基 本 解 为 退 化 的 基 本解 ；
否 则 称 非 退 化 的 基 本 解。 如 果( LP)的 所 有 基 本 解 都 是 非 退 化 的 ， 称( LP)是 非 退 化 的 。
4. 数学模型
min S 4 x1 5 x2 7 x3
s.t .
2
x1 x1
1.5x2 2x2 2
3x3 100 x3 150
xi 0, i 1,2,3
线性规划模型：
(1) 一组决策变量； (2)一个线性目标函数； (3)一组线性的约束条件。
线性规划模型( LP )的一般形式：
A
x1 x2 2 C
不存在最大值。
原问题无界。
x1
o
B
x1 x2 2
结果：
在顶点取到唯一最优解
线性规划问题的解
有最优解 无最优解
有无穷多最优解
解无界 可行域为空集
四. 线性规划解的概念和性 质
1. 线性规划解的概念
( LP )
min z cT x (1)
s.t .
Ax b
max 2 x1 3 x2 x3 3 x4
2x1 x2 3x3 x4 3
s.t .
3 x1 x1
2x2 4x2
2x4 3x3
7 x4
6
x1 , x3 , x4 0 , x2无约束
解： 令x2 u2 v2 ,则
min 2 x1 3u2 3v2 x3 3 x4
基本可行解：满足非负条件 的基本解称为基本可行解。
例 给定(LP)问题 min z x1 2x2 x3 2x4
s.t .
2xx1122xx22x23x3
4 x4 x4
8 2
x1 , x2 , x3 , x4 0
求此问题的一个基本解和一个基本可行解。
解： 系数矩阵A 1 2 1 4 。 2 2 2 1
解：分析同例 2。
x2
等值线：x1 2x2 z。
A
B
极大值点为线段AB 上的 任一点。
x1
o
C x1 2 x2 4
2 x1 x2 5
例4 求解线性规划 max s.t .
解：分析同例 2。
z 4 x1 3 x2
x1 x1
x2 x2
2 2
x1 , x2 0
x2
等值线：4x1 3x2 z。
1. 标准型
min
n
ci xi
i 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t .
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
xi 0,i 1,2, ,n
记 c ( c1 , c2 , , cn )T , b ( b1 , b2 , , bm )T 0, x ( x1 , x2 , , xn )T , A (aij )mn 。则线性规划
x3 x4
0 0
x1 4
x1
5 2
x1
5 2
且
x1
5 2
时
，x
4
0。
即
x1变
为
基
变
量
，x
变
4
为
非
基
变量
。
x3 x4
4 5
x1 2x2 2x1 x2
x3
x1
3
2 5
2
3
2 1
2
x2 x2
1
2 1
2
x4 x4
z 10 x2 2x4
令
x2
x4
0,则
x1
x
3
5
产品
资源
A
B
C
资源总量
原材料 2
1.5
3
100
工时
1
2
2
150
解：1. 确定决策变量
设 A、B、C的产量分别为x1、x2、x3。
2. 确定目标函数
设总利润为S，则
S 4 x1 5 x2 7 x3 3. 确定约束条件
2 x1 1.5 x2 3 x3 100 x1 2x2 2x3 150 xi 0, i 1,2,3
是否为最优解？利用目标函数分析。
z 0 4x1 3x2 目标函数中非基变量x1 和 x2 的系数为负数，因此若x1 和 x2 的 取值可以增大为正数，则目标函数值就可以减小。
固定 x2 不变，考察x1 是否可以增大？
x3 x4
4 5
x1 2x2 2x1 x2
x3 x4
4 x1 5 2x1
标准型可记为
min cT x
s.t .
Ax b
x0
2. 化标准型 (1)目标函数：
原问题目标函数 : max cT x min cT x
(2)约束条件：
(i) 原问题条件： ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1
ai2 x2
ain xn xni 0
因为
Ax b
即
P1 x1 Pm xm Pm1 xm Pn xn b
所以
P1 x1 Pm xm b Pm1 xm Pn xn
令非基变量xm1 xn 0,解得 ( x1 , , xm )T B1b
基本解：取定线性规划问题的基B，令非基变量取零，求得基 变量的取值B1b, 称解(B1b , 0)T 为对应于基B的基本解。
2x1x12
x2 x2
4 5
x1 , x2 0
解 ：(1) 画出可行解的范围。
(2) 利用等值线平移的方法求极值点。 x2
以 z 为参数，则方程4x1 3x2 z
表示一族等值平行线。
A
B
极大值点为顶点 B。
x1
o
C x1 2 x2 4
2 x1 x2 5
例3 将例2中的目标函数改为z x1 2x2 。
b
所以x1 (1 )x2 D。即D是凸集。
顶点：设S为凸集，x S。如果不存在x1 x2 S，及0 1。 使 x x1 (1 )x2 ，则称 x为S的一个顶点。
x
x2
x1
基 : 设 A为m n的系数矩阵,秩为m。若B为A中m m阶的非 退化子阵，则称B为A的(或( LP )问题)一个基。
设基 B ( Pi1 , Pi2 , , Pim ) , 称 Pik (k 1, , m ) 为基向量，称 Pik 对应的变量 xik (k 1, , m )为基变量，不是基变量的变量称为 非基变量。
已知r( Amn ) m，不妨设 A的前m列向量线性无关，则可取 B ( P1 , P2 , , Pm )为基，则x1 , , xm 为基变量。
2. 线性规划解的性质
定理1 设x ( x1, x2 , , xn )T 是Ax b的一个解，则x是基本 解的充要条件是x的非零分量xi1 , xi2 , , xir 对应的A的列向量 pi1 , pi2 , , pir 线 性无 关 。 定理2 线性规划问题(LP )如果有可行解，则必有基本 可行解。
取 B 1 2
2 2
，则令非基变量x3
x4
0,得
2xx1122xx22
8 2
x1 x2
10
3 7
3
x1 ( 10 , 7 ,0,0 )T 是基本解，但不是基本可行解。 33