1最优化方法教案(线性规划)
最优化方法教学大纲
最优化方法教学大纲1.引言-介绍最优化方法的基本概念和应用领域-说明最优化方法的重要性和作用-概述本课程的目标和结构2.线性规划-线性规划问题的定义和基本形式-线性规划问题的几何解释-简单例子的求解方法和步骤-线性规划问题的标准形式和标准形式的转化方法-单纯形法的原理和步骤-单纯形法的改进方法和优化策略3.整数规划-整数规划问题的定义和特点-整数规划问题的求解方法和策略-分枝定界法的原理和步骤-割平面法的原理和应用-整数规划问题的线性松弛和拉格朗日松弛方法4.非线性规划-非线性规划问题的定义和特点-非线性规划问题的求解方法和策略-梯度下降法和牛顿法的原理和步骤-二次规划问题的求解方法和策略-优化问题在非线性约束下的求解方法和技巧5.动态规划-动态规划问题的定义和特点-动态规划问题的求解方法和策略-背包问题和最短路径问题的动态规划解法-多阶段决策问题的动态规划解法-动态规划问题的状态转移和递推关系6.进化算法-进化算法的基本原理和基本操作-遗传算法和粒子群算法的原理和应用-进化算法的优化策略和技巧-进化算法在最优化问题中的求解方法和应用7.模拟退火算法-模拟退火算法的基本原理和基本操作-模拟退火算法的求解步骤和策略-模拟退火算法在最优化问题中的应用和效果8.遗传算法-遗传算法的基本原理和基本操作-遗传算法的求解步骤和策略-遗传算法在最优化问题中的应用和效果9.混合整数规划-混合整数规划问题的定义和特点-混合整数规划问题的优化方法和策略-混合整数规划问题的分支定界法和割平面法解法10.综合案例分析-选取实际问题进行综合分析和求解-用不同的最优化方法来解决实际问题-对比不同方法的求解效果和效率11.总结和展望-回顾本课程的教学内容和方法-总结各种最优化方法的优缺点-展望最优化方法在未来的应用和发展此教学大纲旨在介绍最优化方法的基本理论和应用，培养学生的问题求解能力和优化思维，掌握不同最优化方法的原理和应用，能够独立分析和解决实际最优化问题。
线性规划教案
线性规划教案一、教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解线性规划的基本概念和原理；2. 掌握线性规划模型的建立和求解方法；3. 能够在实际问题中应用线性规划进行决策和优化。
二、教学重点1. 线性规划的基本概念和原理；2. 线性规划模型的建立和求解方法；3. 线性规划在实际问题中的应用。
三、教学难点线性规划模型的建立和求解方法。
四、教学过程1. 导入引入线性规划的概念和背景，与学生分享线性规划的应用案例，激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（1）线性规划的基本概念- 线性规划的定义：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学方法，其目标函数和约束条件都是线性的。
- 最优解的定义：线性规划的最优解是使目标函数达到最大（或最小）值的变量取值。
（2）线性规划模型的建立- 决策变量的定义：根据实际问题，确定需要优化的变量，表示为决策变量。
- 目标函数的定义：确定需要最大化（或最小化）的目标，在实际问题中通常是利润、成本等。
- 约束条件的定义：确定影响决策变量的限制条件，包括等式约束和不等式约束。
（3）线性规划模型的求解方法- 图形法：通过画出约束条件和目标函数所表示的直线或面，找到最优解所在的区域，从而确定最优解。
- 单纯形法：通过运用单纯形表格法，逐步迭代求解线性规划模型，直到得到最优解。
- 整数规划：当决策变量只能取整数值时，需要使用整数规划方法进行求解。
3. 实例演练选择一个简单的线性规划实例，带领学生一起完成模型的建立和求解过程，让学生通过实际操作，进一步理解线性规划的求解方法。
4. 拓展应用从实际生活或工作中的问题出发，引导学生运用线性规划进行决策和优化，培养学生的实际应用能力。
五、教学评价1. 在实例演练中，教师可以针对学生的解题过程和答案，进行实时评价，及时纠正错误。
2. 可以组织小组或个人探究性学习活动，让学生自主构建线性规划模型并求解，评价学生的表现和学习成果。
六、教学延伸可以引导学生进一步深入学习线性规划的应用方法、算法和模型扩展，培养学生在实际问题中的建模和求解能力。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
最优化方法及应用教学设计
最优化方法及应用教学设计最优化方法是一种应用数学的方法，用于找到函数的最佳解决方案。
它通常包括数学建模、问题分析、目标函数和约束条件的定义、算法的选择和实施等步骤。
最优化方法在实际问题的解决中具有广泛的应用，包括经济学、工程学、运筹学等领域。
在教学设计中，可以通过结合理论讲解和实际案例演示，帮助学生理解最优化方法的原理和应用。
以下是一个教学设计示例：1. 引入最优化方法概念（150字）首先引入最优化方法的概念和基本步骤，解释最优化问题的定义和解的概念。
通过举例说明最优化方法的重要性和应用领域。
2. 数学建模与问题分析（300字）介绍数学建模的基本思想和步骤，通过给定实际问题，引导学生提出数学建模的思路和方法。
然后，讲解问题分析的过程和方法，包括确定目标函数、约束条件、自变量和因变量等内容。
通过演示具体案例，让学生理解建模和问题分析的重要性。
3. 目标函数和约束条件的定义（300字）详细讲解目标函数和约束条件的定义，包括约束条件的等式和不等式形式。
通过实例展示目标函数和约束条件的具体定义过程，例如最小化成本、最大化利润等。
引导学生理解目标函数和约束条件在最优化问题中的作用。
4. 算法的选择和实施（400字）介绍最优化算法的选择和实施过程，包括线性规划、整数规划、非线性规划等常见的最优化算法。
通过给定实例，引导学生选择合适的算法，并讲解算法的实施步骤，如建立数学模型、求解最优解等。
通过实际操作，让学生熟悉算法的选择和实施过程。
5. 应用案例分析（300字）引导学生分析和解决实际应用问题，如生产优化、资源分配等。
通过给定的应用案例，让学生运用最优化方法进行问题求解，并提出优化建议。
通过实践操作，让学生掌握最优化方法在实际问题中的应用。
6. 总结和讨论（150字）总结教学内容，回顾最优化方法的基本概念和应用步骤。
展开讨论，让学生发表对最优化方法的理解和看法，并提出相关问题。
鼓励学生思考如何将最优化方法应用到其他领域中。
第一讲 线性规划与最优化
第一讲线性规划与最优化厦门六中数学教研组杨福海第一课时一：什么是线性规划方法?线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。
线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。
在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。
该方法的最大优点是可以处理多品种问题。
二：线性规划模型的适用性线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。
对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。
需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。
这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。
三：线性规划模型的结构企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。
如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。
线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。
根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。
（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X l，X2，X3，X mn等。
（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
1最优化方法教案新部编本(线性规划)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校最优化方法一、引言最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科。
它研究某些数学上定义的问题的最优解，即对于给出的实际问题，从众多的方案中选出最优方案。
虽然最优化可以追朔到十分古老的极值问题，然而，他成为一门独立的学科诗在上世纪40年代末，是在1947年Dantzing 提出求解一般线性规划问题的单纯型法之后。
现在，解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速，新方法不断出现，实际应用日益广泛。
在电子计算机的推动下，最优化理论与方法在经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等方面得到了广泛应用，成为一门十分活跃的学科。
现在大多数有代表性的最优化算法已有可以方便使用的软件包，如lindo\lingo 优化软件包。
但有效利用这些成果是以有待解决的问题已被模型化成最优化问题的形式为前提的。
要做到这点，要有深刻的洞察力和综合能力，这需要掌握最优化算法的结构和特点，并与专业知识的结合和兼蓄。
最优化有着丰富的内容和方法，本课我们主要介绍线性规和非线性规划的主要方法与理论他们是最优化理论的重要分支，也是最基本的部分。
第一部分：线性规划第一章：单纯型法第一节问题的引出:例1：某制造公司需要生产n 种产品，生产这n 种产品需要m 种不同的原材料，第i （i=1,2,.....m.。
）种原材料的拥有量为b i 。
实际情况很复杂，我们将其简化或理想化，只关注某个时间点的特定情况，第i 种原材料在某时间点的市场价格为ρi ，生产单位数量的第j 种产品需消耗第i 种原材料a ij 个单位。
第j 种产品在同一时间点上的市场价格为σj 。
考虑问题一：如何安排1，2，…….n 种产品的生产，从而使收益最大设第j 种的产量为j x 单位，第j 种产品的收益与市场销售价i σ有关，也与生产第j 种产品所消耗的原材料费用1mi j i i a ρ=∑有关，因此第j 种单位产品的纯收入为1m j j ij i i c a σρ==-∑，全部纯收入j j c x ∑，此时0j x ≥。
《最优化方法》课程教学大纲
《最优化方法》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：102193课程名称：最优化方法英文名称：Optimization Methods课程类别：专业选修课学时：48学分：3适用对象:大三学生考核方式：考试先修课程：高等代数，数学分析二、课程简介本课程介绍线性规划，非线性规划的优化算法，主要包括：单纯形法，最速下降法，牛顿法，共轭梯度法，拟牛顿法等。
This course will introduce optimization methods in linear programming, and nonlinear programming, including: simplex method, steepest descent method, Newton's method, Conjugate gradient method and quasi Newton method et al.三、课程性质与教学目的本课程是面向大三数学与应用数学，信息与计算科学专业学生开设的专业选修课。
课程目的是介绍最优化的一些方法，作为人工智能的重要辅助课程，培养和增强学生解决实际数据分析问题中优化算法设计的能力。
四、教学内容及要求第一章最优化简介（一）目的与要求介绍最优化的研究内容和框架（二）教学内容最优化的研究范畴1．主要内容最优化方法的发展历程，分类2．基本概念和知识点最优化方法方法的简史.3．问题与应用（能力要求）了解最优化方法的发展历程.（三）思考与实践思考最优化方法所涉及的基础预备知识。
（四）教学方法与手段课堂讲授第二章凸优化（一）目的与要求介绍凸优化的基本概念和研究内容（二）教学内容1.主要内容凸集，凸包，凸函数，方向导数，上图2.基本概念和知识点凸集，凸函数3.问题与应用（能力要求）凸函数的判别（三）思考与实践上图的应用（四）教学方法与手段课堂讲授第三章一维优化（一）目的与要求掌握一维优化问题的可微性，凸性判别条件。
线性规划教案
线性规划教案标题：线性规划教案一、引言线性规划是数学中的一种优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、解题步骤和应用案例，帮助学生理解和掌握线性规划的基本原理和应用技巧。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和特点；2. 掌握线性规划的解题步骤和方法；3. 能够运用线性规划解决实际问题。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和基本形式；1.2 目标函数和约束条件的表达方式；1.3 可行解和最优解的概念。
2. 线性规划的解题步骤2.1 问题分析和建立数学模型；2.2 线性规划的标准形式转换；2.3 单纯形法的基本原理和步骤；2.4 单纯形法的应用和计算实例。
3. 线性规划的应用案例3.1 生产计划问题；3.2 资源分配问题；3.3 运输问题；3.4 投资组合问题。
四、教学方法1. 理论讲授结合实例分析的方式，增强学生的理解和应用能力；2. 案例分析和小组讨论，培养学生的问题解决能力和团队合作精神；3. 课堂练习和作业布置，巩固学生的知识掌握和解题能力。
五、教学资源1. 教材：线性规划教材；2. 平台：电子教学平台，提供教学资料和练习题。
六、教学评价1. 课堂表现：学生的参与度、回答问题的准确性和深度；2. 作业成绩：学生的作业完成情况和解题能力；3. 考试成绩：学生对线性规划理论和应用的掌握程度。
七、教学进度安排本教案共分为8个课时，具体安排如下：1. 第一课时：线性规划的基本概念；2. 第二课时：线性规划的解题步骤（问题分析和建立数学模型）；3. 第三课时：线性规划的解题步骤（标准形式转换）；4. 第四课时：线性规划的解题步骤（单纯形法的基本原理和步骤）；5. 第五课时：线性规划的解题步骤（单纯形法的应用和计算实例）；6. 第六课时：线性规划的应用案例（生产计划问题）；7. 第七课时：线性规划的应用案例（资源分配问题和运输问题）；8. 第八课时：线性规划的应用案例（投资组合问题）和复习总结。
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
高中生数学线性规划教案
高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。
2. 掌握线性规划的解题思路和方法。
3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。
教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。
2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。
3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。
2. 线性规划模型的建立和求解方法。
3. 实际问题中线性规划的应用。
教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。
2. 运用线性规划方法解决问题的能力。
教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。
2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。
3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。
4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。
5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。
教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。
教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。
教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。
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最优化方法一、引言最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科。
它研究某些数学上定义的问题的最优解，即对于给出的实际问题，从众多的方案中选出最优方案。
虽然最优化可以追朔到十分古老的极值问题，然而，他成为一门独立的学科诗在上世纪40年代末，是在1947年Dantzing 提出求解一般线性规划问题的单纯型法之后。
现在，解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速，新方法不断出现，实际应用日益广泛。
在电子计算机的推动下，最优化理论与方法在经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等方面得到了广泛应用，成为一门十分活跃的学科。
现在大多数有代表性的最优化算法已有可以方便使用的软件包，如lindo\lingo 优化软件包。
但有效利用这些成果是以有待解决的问题已被模型化成最优化问题的形式为前提的。
要做到这点，要有深刻的洞察力和综合能力，这需要掌握最优化算法的结构和特点，并与专业知识的结合和兼蓄。
最优化有着丰富的内容和方法，本课我们主要介绍线性规和非线性规划的主要方法与理论他们是最优化理论的重要分支，也是最基本的部分。
第一部分：线性规划第一章：单纯型法第一节问题的引出: 例1：某制造公司需要生产n 种产品，生产这n 种产品需要m 种不同的原材料，第i（i=1,2,.....m.。
）种原材料的拥有量为b i 。
实际情况很复杂，我们将其简化或理想化，只关注某个时间点的特定情况，第i 种原材料在某时间点的市场价格为ρi ，生产单位数量的第j 种产品需消耗第i 种原材料a ij 个单位。
第j 种产品在同一时间点上的市场价格为σj 。
考虑问题一：如何安排1，2，…….n 种产品的生产，从而使收益最大设第j 种的产量为j x 单位，第j 种产品的收益与市场销售价i σ有关，也与生产第j 种产品所消耗的原材料费用1mi ji i aρ=∑有关，因此第j 种单位产品的纯收入为1mj j ij i i c a σρ==-∑，全部纯收入jjc x∑，此时0j x ≥。
而我们不可能超出原材料的拥有量生产产品。
生产n 种产品时，所消耗的第i（i=1,2,.....m.。
）种原材料的总量为11221ni i in n ij jj a x a x a x a x =+++=∑11i nij j j b i m a x =≤ =∴ ∑综上所述，我们为达到收益最大，就建立了这样的数学规划问题：1122111221max .(1)01nj j n nj nij j i i in n i j j c x c x c x c x s t a x a x a x a x b x j n== =+++ =+++≤ ≥ =∑∑这是一个资源配制问题（资源分配问题），也是一个线性规划问题。
从另一种角度考虑上述问题：假若由于某种原因，该制造单位打算放弃这些生产项目，而另一家企业希望收购这些资源。
那么如何确定这m 种原材料的转让价格，同时照顾到买卖双方的利益使买卖有可能成交？设这m 种原材料的单位定价为ω1……ωm。
全部损失机会成本为1mi i i b w=∑，定价要不低于市场获利,即1,1mi i jj i w aj n σ=≥=∑。
令,1i i i y w i m ρ=-=是当前市场价格的提升价格，全部机会损失值变为11mi ii m i ij ji b y y a c y == ≥ ≥∑∑约束从卖方角度看，希望以尽可能低的价格收购这些资源，即总费用最小，于是得到min .(2)0i ii ij j b y s t y a c y ≥ ≥∑∑这两个角度考虑问题得到了两个线性规划问题（LP 问题） 前例问题中，有些变量决定了问题的最优值，称为决策变量，LP 问题中总是要求极大化或极小化由决策变量构成的线性函数，此函数称为目标函数。
第二节：线性规划问题的标准型（ｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒｍ）A ．线性规划问题的标准型LP 的标准型是指如下形式的优化问题11min .(3)0,1nj jj nij j i j j c x s t a x b x j n== = ≥=∑∑例如（1）（2）都很容易化成标准型先看（1），引入变量1n n m x x ++，使1122i i in n n i i a x a x a x x b +++++= ，则有11121min ().,,,,,,0nj jj nij j n i ii n n n m c x s t a x x b x x x x x =+=++ - += ≥∑∑此时1n n mx x ++称为松弛变量。
对（2）1miji j i ay c =≥∑增加变量1m m n y y ++使1miji m j j i ay y c +=-=∑，此时1m m n y y ++称为剩余变量。
由此看任一个LP 问题都可以化为标准型（3）。
前面对不等式约束化成了等式约束再看决策变量：12120,,0,0j j j j j j j j j j j j jj jx x x x x x x x x x x x x x x ββαααβαβ ≤→=-≥ ≥→=-≥ ≤≤→≤≤ →=-≥≥若无限制一组取定的决策变量的值称为一个解。
在（3）中，记11{(),0,1}nTn ij ji j j S x x x a xb x j n ====≥=∑称为可行域。
1,n x x x Sx ⎛⎫⎪∀=∈ ⎪ ⎪⎝⎭称为（3）的一个可行解。
若存在*x S ∈使 x S ∀∈，都有*cx cx ≥，则称*x是（3）的最优解。
当Sφ=时，问题（3）无可行解，称（3）是不可行的。
如12121212min 54.29,0x x s t x x x x x x + +≤ -2-2≤- ≥ 。
另一种极端的情形是称为无界的情况，即对任意大的目标值都有解。
如12121212min 4.12,0x x s t x x x x x x -+ -2+≤- --2≤- ≥ ，解121(,)(,0)x x x =,112x ≥ 可以任意大。
B ．线性规划问题的图解法当3n ≤时的线性规划问题可以用图解法求其最优解。
例2：求解下列LP 问题12121212min 3.628,0x x s t x x x x x x -- +≤ -+≤ ≥例3：112121212max .6210,0z c x x s t x x x x x x =+ +≤ +≤ ≥试用图解法分析问题的最优解随11()c c -∞<<+∞，取值的不同的变化情况。
1111()()(1,1)()(1,1)()(1,1)(2,4)112112-f x f x AB f x BC f x B c c c c ∇ ∇= ∇= ∇= ==<<值对应的最优值点线段线段11()(1,1)(0,6)()(1,1)(0,6)121f x C f x A c c ∇= ∇= ∞<< <<+∞C ．线性规划的图表法（单纯形图表法）例4：123123123123123min 543.23542113428,,0x x x s t x x x x x x x x x x x x --- ++≤ ++≤ ++≤ ≥ 解：引入松弛变量将原问题化为标准形123123412351236126min 543.235425(4)3425,,,0f x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =--- +++ = ++ + = ++ += ≥观察到一个可行解123456(,,,,,)(0,0,0,5,11,8)x x x x x x =，此时0f =显然不是最小值。
当10c <是1x 的系数，当1x 改变时，f也改变。
当1x 变大，而23,x x 不动时，456,,x x x 也改变。
必须得保证4151615201140830x x x x x x =-≥=-≥=-≥，而又希望1x 尽可能大。
52411541125111831615201140830x x x x x x x x x x =-≥≤⎫⎫⎪⎪=-≥⇒≤⇒≤⎬⎬⎪⎪≤=-≥⎭⎭当521x ≤时，改进最大，且可以看出是否需继续改进。
做恒等变形。
这样得到改进解5122123456(,,,,,)(,0,0,0,1,)x x x x x x =，此时252f =-5214,0x x == 将14,x x 的位置互换，并将目标函数中的变量1x 用4x 替换。
2345212342452346min 12.5 3.50.5 2.5. 1.50.50.5(5)5210.50.5 1.50.5f x x x s t x x x x x x x x x x x =-+-+ +++ = - - + = -+- +=从目标函数看，此时3x 前的系数30.50c =<。
当3x 由0→∞时，目标函数能进一步得到改善。
当3:0x 时，第1和3个约束的数量发生改变，为保证各决策变量的非负性，需满足5213360.50.50.5x x x x +≥+≥，得521312630.500.50x x x x =-≥=-≥，即333511x x x ≤⎧⇒≤⎨≤⎩，3x 最大能由01→，此时60x =。
得到改善解123456(,,,,,)(2,0,1,0,1,0)x x x x x x =。
在（5）式中将3x 变为单位变量，且目标函数行视为同样地位化简。
得到24612462452346min 13322221321f x x x x x x x x x x x x x x =- + + + ++2 + -= -5 -+ = -+ - += 再看如何改善f ，由目标行看到246,,x x x 前的系数均为正，而246,,x x x 的取值已达到下界，所以f 已不能再获得改善，即达到最优。
其最优解是(2,0,1,0,1,0)，所求原问题的最优解为(2,0,1)，最优解min 13f =-。
总结：11min .(0)0min .0j jij j i i j nij j n i ij nj j j f c x s t a x b b x fs t a x x b f c x +==⇓= ≤ ≥ ≥ += -=∑∑∑∑标准化这时若有一初始可行解111(,,,,,)(0,,0,,,)n n n m m x x x x b b ++=，选目标行系数>0。
若k x ↗（当有多个时，选最大的）以改善目标函数值。
为保证可行性，需要满足1122000k k k k m mk k b a x b a x b a x ⎫-≥⎪-≥⎪⎬⎪⎪-≥⎭，由此解出kx 的取值，min 0k i r k ik r ik b b x a a a ⎧⎫⎪⎪==>⎨⎬⎪⎪⎩⎭。