最优化方法(线性规划)——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称线性规划及其灵敏度分析
所属课程名称运筹学B
实验类型综合
实验日期2014年10月24日
班级数学1201班
学号************
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
线性规划实验报告
一、实验目的通过本次实验，了解线性规划的基本原理和方法，掌握线性规划模型的建立和求解过程，提高解决实际问题的能力。
二、实验内容1. 线性规划模型的建立2. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解3. 分析求解结果，进行灵敏度分析三、实验步骤1. 建立线性规划模型以某公司生产问题为例，建立线性规划模型。
设该公司有三种产品A、B、C，每种产品分别需要原材料X1、X2、X3，且原材料的价格分别为p1、p2、p3。
公司拥有一定的生产设备，每种产品的生产需要消耗一定的设备时间，设备时间的价格为p4。
设A、B、C产品的生产量分别为x1、x2、x3，原材料消耗量分别为y1、y2、y3，设备使用量分别为z1、z2、z3。
目标函数：最大化利润Z = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)约束条件：（1）原材料消耗限制：y1 ≤ 10x1，y2 ≤ 8x2，y3 ≤ 5x3（2）设备使用限制：z1 ≤ 6x1，z2 ≤ 4x2，z3 ≤ 3x3（3）非负限制：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x3 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0，y3 ≥ 0，z1 ≥ 0，z2 ≥ 0，z3 ≥ 02. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解打开Lingo软件，按照以下步骤输入模型：① 在“Model”菜单中选择“Enter Model”；② 输入目标函数：@max = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)；③ 输入约束条件：@and(y1 <= 10x1, y2 <= 8x2, y3 <= 5x3);@and(z1 <= 6x1, z2 <= 4x2, z3 <= 3x3);@and(x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, y1 >= 0, y2 >= 0, y3 >= 0, z1 >= 0, z2 >= 0, z3 >= 0);④ 在“Model”菜单中选择“Solve”进行求解。
用lingo求解线性规划问题
用lingo求解线性规划问题中国石油大学胜利学院程兵兵摘要食物营养搭配问题是现代社会中常见的问题,其最终的目的是节省总费用.本文通过对营养问题的具体剖析．构建了一般的线性规划模型。
并通过实例应用Lingo数学软件求解该问题.并给出了价值系数灵敏度分析,得出蔬菜价格的变动对模型的影响.关键词线性规划，lingo，灵敏度分析。
一、问题重述与分析营养师要为某些特殊病人拟订一周的菜单，可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这类病人每周所需各种营养成分的最低数量如下表1所示。
有以下规定:一周内所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。
问题一:若病人每周需要14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份，可使生活费用最小.问题二:当市场蔬菜价格发生怎样波动时，所建模型的适用性。
表 1 所需营养和费用营养搭配是一个线性规划问题，在给定蔬菜的情况下,要求菜单所需的营养成分必须达到要求，并在此条件下求出什么样的搭配所花费的费用最少.第一个要求是满足各类营养的充足，根据表中数据列出不等式。
第二要求为问题一中，蔬菜的份数必须为14,第三要求为在一周内,卷心菜不多于2份,其他不多于4份，根据以上条件列出各类蔬菜份数的限定条件，并可表示出费用的表达式.对于第二问，就是价值系数的变化对总费用的影响，模型的适用范围。
三、模型假设第一,假设各蔬菜营养成分保持稳定，满足题干要求。
第二,假设各蔬菜价格在一定时间内保持相对稳定。
第三，假设各类蔬菜供应全部到位，满足所需要求量. 第四,假设所求出最优解时不要求一定为整数。
四、符号约定（1)Z 代表目标函数,此题即为费用。
(2）i c 为价值系数，此题即为每份蔬菜的价格。
下标i 代表蔬菜的种类。
(3）i x 为决策变量，表示各种蔬菜的数量。
(4）i b 为最低限定条件,表示蔬菜最低营养需要。
五、模型建立根据以上各种假设和符号约定，建立模型如下。
所求的值就是min,也就是最优化结果.s 。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LINGO
支持多种线性规划算法，包括单纯形法、网络算法等。
要点二
Gurobi
主要采用高级优化算法，如分支定界法、动态规划等。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO
支持各种类型的约束条件，包括整数约束、非线性约束 等。
Gurobi
特别擅长处理大规模、非线性问题，但对线性问题的处 理能力稍弱。
LINGO
界面简洁，建模语言直观，易于学习和掌握。
Excel
需要结合多个函数和工具进行建模，对于复杂问题操作相对繁琐。
LINGO与Excel的比较
LINGO
针对优化问题进行了优化，求解速度 较快，精度较高。
Excel
求解速度较慢，对于大规模问题可能 无法得到满意的结果。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO软件特点
高效求解
LINGO采用先进的求解算法，能够快速求解大规 模线性规划问题。
灵活建模
LINGO支持多种建模语言，用户可以根据需要选 择合适的语言进行建模。
图形界面
LINGO提供直观的图形界面，方便用户进行模型 设计和结果查看。
LINGO软件应用领域
生产计划
LINGO可用于制定生产计划，优化资源配置， 提高生产效率。
金融投资
LINGO可以用于金融投资组合优化，帮助投 资者实现风险和收益的平衡。
物流优化
LINGO可以帮助企业优化物流配送路线，降 低运输成本。
资源分配
LINGO可用于资源分配问题，如人员、设备、 资金的分配，以达到最优效果。
2023
PART 02
线性规划基本概念
REPORTING
线性规划定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问 题抽象为数学模型，利用数学方法来寻找最优 解。
利用LINGO进行线性规划问题敏感性分析的报告解读
２ １ ４ ０ ０ ０ ）
根 据 影 子 价 格 的含 义 ， 我 们 马 上 可 以得 出这 样 的结 论 ： 用 ３ ５ 元 可 以买 到 ｌ 桶牛奶 ， 低 于４ ８ 元１ 桶 的影 子 价 格 ， 当然 应 该 做 这项投资 。 进 一 步 追 问 ：根 据 “ Ｒ Ａ Ｎ Ｇ Ｅ Ｓ Ｉ Ｎ ＷＨＩ Ｃ Ｈ Ｔ Ｈ Ｅ Ｂ Ａ Ｓ Ｉ Ｓ Ｉ Ｓ Ｕ Ｎ Ｃ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｅ Ｄ ： ” 中“ ａ ｌ ｌ ｏ ｗ ａ ｂ ｌ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ” 的描述 ， 当“ ＭＩ Ｌ Ｋ 原 料 最 多增加 １ ０ 桶” 时， 是不 是 仍 可 保 证 目标 函 数 是 最 优 值 ？答 案 是 不确定 。 二、 目标 函 数 多 因 素 条 件 改 变 下 的百 分 百 法 则 门窗生产计划 ： 某 工厂要生产 两种新产 品 ： 门和窗 ， 经 测 算 ．每 生 产 一 扇 门需 要 在 车 间 １ 加Ｔ ． １ ４ ， 时 、在 车 间３ 加工３ ４ ， 时： 每生产一扇窗需要在车间２ 和车 间３ 各 加 工２ 小时 。 而 车间ｌ 每 周 可 用 于 生 产 这 两 种 新 产 品 的时 间为 ４ ４ ， 时 、车 间 ２ 为１ ２ ｄ ， 时、 车 间３ 为１ ８ ｄ ， 时 。 已知 每 扇 门 的利 润 为３ ０ ０ 元， 每 扇 窗 的 利 润 为５ ０ ０ 元。 而 且根 据经 市场 调 查 得 到 的这 两 种 新 产 品 的 市 场 需 求 状 况 可 以 确 定 ．按 当前 的定 价 可确 保 所 有 的新 产 品 都 能 销 售 出去 。 如 果 门和 窗 的单 位 利 润 都 发 生 变化 ， 最 优 解 会 不 会 发 生 变 化 ？ 对 总 利 润 又 会 产 生 怎样 的影 响？ 当 目标 函数 的两 个 系 数 同 时改 变 的 时候 。要 判 断 是 否 会 改 变 最 优 解 和 目标 函数 值 。 应通过百分之百法则确定 ， 即 如 果 目标 函 数 系 数 同 时 变 动 。计 算 出每 一 系 数 变 动量 占该 系 数 允 许变动量 （ 允许 的增量或允许 的减量 ） 的百分 比， 然 后 将 各 个 系 数 的 变 动 百 分 比相 加 ， 如果 所 得 的 和 不 超 过 １ ０ ０ ％， 则 最 优 解不变 ； 如果超过 １ ０ ０ ％， 则不能确定最优解是否 改变 ， 只 能 通 过重新规划求解判断。 在 这 里 如 果 我 们 假 定 每 扇 门 的利 润 增 加 到４ ５ ０ 元， 而 每 扇 窗 的利 润 降 到４ ｏ ０ 元， 那 么 利用 百 分 之 百 法 则 。 会有： 每 扇 门的 利 润 变 化 ： ３ ０ ０ － ＊ ４ ５ ０
lingo线性规划
lingo线性规划线性规划（Linear Programming）是一种在数学和运筹学中常用的优化方法，用于求解遵循线性约束条件的最优解问题。
它的应用非常广泛，包括生产计划、供应链管理、资源分配、投资组合和运输调度等领域。
线性规划的目标是找到一组变量的最优值，使目标函数达到最大值或最小值。
这些变量受到各种约束条件的限制，包括线性等式和线性不等式。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max/min Cx约束条件：Ax ≤ b{x ≥ 0}其中，C是一个包含决策变量的向量，表示目标函数的系数；x是一个包含决策变量的向量，表示需要求解的变量；A是一个约束矩阵，表示线性约束条件；b是一个包含常数的向量，表示约束条件的右边值。
线性规划的解决方法通常有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是最常用的方法，它通过不断迭代，从一个解走向下一个更优的解，直到找到最优解。
内点法是一种较新的方法，通过在可行域的内部搜索解，而不是在边界上搜索解。
线性规划的一般步骤可以概括为以下几点：1. 建立线性规划模型：确定目标函数和约束条件，并对其进行数学表示。
2. 求解约束条件的可行域：化约束条件为等式或不等式，画出约束条件所构成的区域。
3. 确定最佳解的可行域：确定目标函数在可行域中的最大值或最小值的位置。
4. 通过单纯形法或内点法求解最优解：找到目标函数的最优解，并得出最优解的数值结果。
5. 解释和应用最优解：根据最优解的数值结果，解释它对问题的意义，并应用于实际决策中。
总之，线性规划是一种强大的数学优化方法，可以有效解决许多实际问题。
它具有明确的数学模型和求解流程，可以通过计算机软件进行自动求解。
然而，在实际应用中，建立准确的数学模型和选择合适的求解方法仍然是一项具有挑战性的任务。
用Lingo软件编程求解规划问题解决方案
Lingo软件具有直观易用的界面，提供丰富的函数库和求解算法， 能够高效地求解大规模复杂规划问题。
Lingo软件应用
Lingo软件被广泛应用于各个领域的规划问题求解，如金融、物流、 制造等。
解决方案目标与意义
解决方案目标
通过Lingo软件编程求解规划问题， 旨在获得满足约束条件的最优解，使 得目标函数达到最优。
要点三
推动软件升级和普及
Lingo软件作为一款优秀的数学规划 求解工具，未来可以进一步推动其升 级和普及工作。例如，可以增加更多 实用的功能、提高软件的易用性和稳 定性等，以吸引更多的用户使用该软 件解决规划问题。
THANKS
感谢观看
Lingo编程环境介绍
Lingo是一款专门用于求解线性、非线性和整数规划问题的软件，它提供了一个直观易用的编程环境。
Lingo支持多种类型的数学模型，如线性规划、目标规划、整数规划等，并内置了大量的函数和算法， 方便用户快速构建和求解模型。
Lingo还提供了丰富的数据输入/输出功能，支持Excel、数据库等多种数据格式，方便用户进行数据处理 和分析。
结果分析
根据求解结果，分析每种产品的生产量是否符合预期，并评估总成本是否达到最小化。 同时，可以对不同方案进行比较，选择最优方案。
敏感性分析
通过改变某些参数或约束条件，观察求解结果的变化，以评估方案的稳定性和可行性。
06
总结与展望
研究成果总结
成功构建了规划问题的数学模型
通过深入研究规划问题的本质，我们成功构建了能够准确 描述问题的数学模型，为后续的求解工作奠定了坚实的基 础。
学习和使用。
02
Lingo语言基本语法
学习Lingo语言的基本语法和规则，如变量定义、函数定义、约束条件
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lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。
一、用lingo 软件求解线性规划例1：m a x 23..43103512,0z x ys t x y x y x y =++≤+≤≥在模型窗口输入：model:max=2*x+3*y;4*x+3*y<=10;3*x+5*y<12;! the optimal value is :7.454545 ;End如图所示：运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）：Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值）Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2（迭代次数）Variable （最优解） Value Reduced CostX 1.272727 0.000000Y 1.636364 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.454545 1.0000002 0.000000 0.9090909E-013 0.000000 0.5454545例2：12123124125m a x 54..39028045z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2;x1+3*x2+x3=90;2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve ）结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 215.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 35.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 25.00000 0.000000X4 0.000000 1.000000X5 0.000000 3.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 215.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 3.000000例323123234235m in 2..22312z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=-+=-+=≥在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3;x1-2*x2+x3=2;x2-3*x3+x4=1;x2-x3+x5=2;end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: -1.500000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX2 2.500000 0.000000X3 0.5000000 0.000000X1 6.500000 0.000000X4 0.000000 0.5000000X5 0.000000 0.5000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -1.500000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.5000000例4：（非线性）m in ..124x y zs t x y x z +++≤+= 在模型窗口输入：model :min =@abs (x)+@abs (y)+@abs (z);x+y<=1;2*x+z=4;@free (x);@free (y);@free(z);End求解器状态如下：（可看出是非线性模型！）运行结果为：Linearization components added:Constraints: 12Variables: 12Integers: 3Global optimal solution found.Objective value:（最优解函数值） 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Variable(最优解) Value Reduced Cost X 2.000000 0.000000Y -1.000000 0.000000 Z 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3.000000 -1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 -1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例例5：m a x 603020864842 1.5202 1.50.585,,0S x y zx y z x y z x y z y x y z =++++≤++≤++≤≤≥ 在模型窗口输入：Lingo 模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end（一）求解报告（solution report ）通过菜单Lingo →Solve 可以得到求解报告（solution report ）如下：Global optimal solution found at iteration: 0Infeasibilities: 0.000000Objective value: 280.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX 2.000000 0.000000Y 0.000000 5.000000Z 8.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.0000 1.0000002 24.00000 0.0000003 0.000000 10.000004 0.000000 10.000005 5.000000 0.000000分析Value,Reduced Cost ，Slack or Surplus ，Dual Price 的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value 所在列给出了问题的最优解。
由于基变量取值非零，因此Value 所在列取值非零的决策变量x,z 是基变量。
2、差额成本Reduced Cost （或opportunity cost ）所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个单位时，目标函数值的减少量。
例如：第2个数5表示当变量y 增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。
例如：当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。
可通过如下模型可检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;y=1;end注：（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数至少增加5，那么生产y才会有利！（2）基变量的Reduced Cost值为0，只有非基变量的Reduced Cost值才可能不为0；故由value,和Reduced Cost值分析可知y为非基变量。
3、松弛变量取值Slack or Surplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。
目标函数行的Slack or Surplus 值没啥意义，不用考虑。
可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z+s1=48;4*x+2*y+1.5*z+s2=20;2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;y+s4=5;end4、对偶价格（影子价格）Dual Price所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的增加量。
注，只有紧约束行的Dual Price值不为0。
例如：要检验第三行约束，可通过如下模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<21;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end（二）灵敏度分析报告首先设置：Lingo→Options→General solver→Dual computations→Prices and Range。
当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单Lingo→Range，可得灵敏度分析报告：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX 60.00000 20.00000 4.000000 Y 30.00000 5.000000 INFINITY Z 20.00000 2.500000 5.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 48.00000 INFINITY 24.000003 20.00000 4.000000 4.0000004 8.000000 2.000000 1.3333335 5.000000 INFINITY 5.000000分析Objective Coefficient Ranges ，Righthand Side Ranges 的意义如下：（不必控制变量，可以同时改变多个值）1、目标函数中系数的变化对最优基的影响Objective Coefficient Ranges 表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。
以变量x 的系数为例：当x 的系数在()6046020-+（开区间）内取值时，最优基保持不变。
此时，最优解不变，最优目标函数值变了。
例如：可通过如下模型检验：model:max=56.0001*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end2、约束条件右端常数变化对最优基的影响Righthand Side Ranges 表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不变。