考点05+函数的基本性质-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

考点05 函数的基本性质（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反；（4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；②b y ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数．③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数 【答案】C【解析】∵f (x )为增函数，g (x )为减函数，∴f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝12x ＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴不能确定．故选C.典例2 已知函数()f x =()739f =.（1）判断函数()y f x =在R 上的单调性，并用定义法证明； （2）若()121f f x ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，求x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由已知得3321719m -=+，38m =， ∴2m =.∴()2121x x f x -=+21221x x +-=+2121x =-+.任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()212122112121x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭12222121x x =-++()()()21122222121x x x x -=++， ∵()()12210,210x x+>+>，∴()()1221210x x++>，又∵21x x >， ∴2122x x >，∴21220xx->， ∴()()()211222202121x x x x ->++，即()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()y f x =在R 上为单调增函数. （2）∵()121f f x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，且由（1）知函数()y f x =在R 上为单调增函数，312x <≤， ∴x. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由()739f =，代入解析式即可得2m =，进而得()2121x f x =-+，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数()y f x =在R 上为单调增函数，所以得121x ≥-，求解不等式即可. 用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A ．2xy -= B ．3y x -=C ．sin xy x=D ．()()lg 2lg 2y x x =--+考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D【解析】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，因为013<<，所以()()()310f f f <<，故选D ．典例 4 已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >．（1）求()1f 的值；（2）解不等式()(32)f x f x -+≥--.【解析】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由题意知()f x 为(0,)+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <.∵()()()f xy f x f y =+，,0,()x y ∈+∞且1()12f =，∴()(32)f x f x -+≥--可化为321()()()2f x f x f -≥--+，即11()()()()0223f x f x f f -+-++≥＝()()()331()()1()12222x x x xf f f f f f --⇔-+≥⇔-⋅≥，则31022x x x <⎧--⋅≤⎪⎨⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-． 解法二：由()()()1()21221f f f f =⇒+=-， ∴()()()4222f f f =+=-，∴()()()34f x f x f -≥-+，即()3]4[()f x x f -≥-，则030(3)4x x x x -->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．2．设函数()262f x x x=-++，则不等式()()231f x f -<成立的x 的取值范围是 A ．()1,2B ．()(),12,-∞+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2m i n 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，（1）当1≥t ＋2，即1t ≤-时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.（2）当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4. （3）当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.（4）当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩ ，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．若函数()21f x x=在{|1||9,}x x x ≤≤∈R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -= A ．24181 B ．24281 C ．269D ．319考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．典例8 下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B．函数()f x x =CD ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数.对于B，()f x x =()f x x -=-+.对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.当0x >时，2211()()1(1)()22f x x x f x -=---=-+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-.综上可知，函数()f x 是奇函数.对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.4．若函数()3121xf x x a ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为偶函数，则a 的值为__________． 考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9 已知定义在R 上的奇函数满足()()220f x x x x +≥=，若2()(32)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－3,1)【解析】由题意可得()()220f x x x x +≥=在[0)+∞,上为增函数，又()f x 为定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在R 上为增函数．由2()(32)f a f a ->得232a a ->，即2230a a +-<，解得31a -<<. 故实数a 的取值范围是(－3,1).典例10 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =. 又当0x <时，0x ->，∴2()4f x x x -=+.又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()240f x x x x --<=，∴()220,04,04,0x x x f x x x x x ->--<⎧⎪==⎨⎪⎩.当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >； 当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<.综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞ ．5．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，若()22f =-,则满足()12f x -≥-的x 的取值范围是 A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞ C ．[]1,3--D ．(,2][2,)-∞-+∞考向六 函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③【解析】由()()20f x f x ++=得()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+()f x =，所以4是()f x 的一个周期，8也是()f x 的一个周期，①正确；由()()4f x f x -=得()f x 的图象关于直线2x =对称，②正确；由()()4f x f x +=得()()4f x f x -=-，所以()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，③正确．所以正确的序号是①②③．6．已知()f x 为定义在R 上周期为2的奇函数，当10x -≤<时，()()1f x x ax =+，若512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则a =A ．6B ．4C ．1425-D ．6-考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D【解析】因为()f x 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则(25)(1),(80)(0),(11)(3)f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x -=-，得(11)(3)(1)(1)f f f f ==--=.因为()f x 在区间[02]，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在区间[22]-，上是增函数，所以(1)(0)(1)f f f -<<，即(25)(80)(11)f f f -<<.7．设函数()f x 是以2为周期的奇函数，已知()0,1x ∈时，()2xf x =，则()f x 在()2017,2018上是A ．增函数，且()0f x >B ．减函数，且()0f x <C ．增函数，且()0f x <D ．减函数，且()0f x >1．函数()2ln 23y x x =-++的减区间是A ．(]1,1- B ．[)1,3 C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．下列函数是偶函数的是 A ．sin y x x =B ．244y x x =++C ．sin cos y x x =+D ．())3log f x x =3．下列函数中，与函数3xy =-的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是 A ．21y x =- B ．2log y x = C ．1y x=-D ．31y x =-4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数解析式可能是A ．2x xy =B ．22xy =- C ．e ||xy x =-D ．22xy x =-5．函数1()()cos (ππf x x x x x=--≤≤，且0)x ≠的图象可能．．为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且()f x 在()2,+∞上单调递增，则 A ．()()()136f f f -<< B ．()()()316f f f <-< C ．()()()613f f f <-<D ．()()()631f f f <<-7．已知函数()f x 为偶函数，且函数()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，若()23g =，则()3f -= A ．2- B ．2 C ．3-D ．38．已知函数32()log (,f x x x a b =+∈R ，则“()()0f a f b +>”是“0a b +>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数x 都有()()33f x f x +=-，()()f x f x -=，且[]3,0x ∈-时，()()12log 6f x x =+，则()2018f 的值为A ．3-B ．2-C ．2D ．310．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 A ．1-B ．13-C ．12-D ．1311．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()2xf x m =+，则()3f -=__________． 12．已知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，则()30f x -<的解集为__________．13．已知()f x 是定义在[]11-，上的奇函数，且()11f -=，若[],1,1x y ∈-，0x y +≠时，有()()0f x f y x y+<+成立.（1）判断()f x 在[]11-，上的单调性，并证明； （2）解不等式()()2113f x f x ->-；（3）若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.14．若函数y =f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g (x )=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ，n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 的乘积mn 的取值范围；（3）已知函数f (x )=(x –a )2(a 在定义域4]上为“依赖函数”．若存在实数x 4]，使得对任意的t R ，有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立，求实数s 的最大值．1．（2018年高考浙江卷）函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．2．（2018年高考新课标I 卷理科）设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =3．（2018年高考新课标II 卷理科）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．504．（2017年高考浙江卷）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关5．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数7．（2017年高考天津卷理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l og 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．（2016年高考山东卷理科）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)= A ．−2 B ．−1 C ．0D ．29．（2015年高考湖北卷理科）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-10．（2018年高考江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πc o s ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________．11．（2017年高考浙江卷）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．1．【答案】D【解析】2xy -=在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，3y x -=在其定义域上是奇函数,在(),0-∞和()0,+∞上是减函数，sin xy x=在其定义域上是偶函数, ()()lg 2lg 2y x x =--+在其定义域上既是奇函数又是减函数.因此选D.【名师点睛】逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定即可.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系． 2．【答案】B【解析】易得f （x ）为偶函数，且x ≥0时，()262f x x x=-++单调递减； ∴由f （2x −3）＜f （1）得：f （|2x −3|）＜f （1），∴|2x −3|＞1，解得x ＜1，或x ＞2. ∴x 的取值范围是（−∞，1）∪（2，+∞）．故选B ．【名师点睛】处理抽象不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．求解本题时，首先判断出f （x ）为偶函数，并且f （x ）在[0，+∞）上单调递减，从而由f （2x −3）＜f （1）得到f （|2x −3|）＜f （1），进而得到|2x −3|＞1，解该绝对值不等式即可求出x 的取值范围．【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 4．【答案】12【解析】因为函数()3121xf x x a ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为偶函数， 所以由()()f x f x =-可得()33112121x x x a x a -⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 则11212121x x a -=--=--，∴12a =，故答案为12.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由()()+0f x f x -=恒成立求解，偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f =求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 5．【答案】B【解析】由题设知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增， 若()22f =-,则()()()()()121212f x f x f f x f -≥-⇔-≥⇔-≥，即12,x -≥ 解得1x ≤-或3x ≥.故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．由题意结合函数的性质脱去f 符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果． 6．【答案】A【解析】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511111122222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=---+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得6a =，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题.在本题中，应用函数的周期性和奇偶性解题是关键.求解时，利用已知条件，将函数的自变量变到[)1,0-内，再求出函数值，由512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出a 的值.【名师点睛】根据函数的奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.1．【答案】B【解析】令t =−x 2+2x +3＞0，求得−1＜x ＜3，故函数的定义域为（−1，3），且y =ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t =−（x −1）2+4在定义域内的减区间为[1，3）， 故选B ． 2．【答案】A【解析】对于选项A,令()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==，所以该函数是偶函数.故选A.【名师点睛】（1）本题主要考查函数奇偶性的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. （2）判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则该函数是偶函数，如果有()f x -=−()f x ，则该函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.3．【答案】A【解析】函数3xy =-为偶函数,且在(),0-∞上为增函数，对于选项A,函数21y x =-为偶函数，且在(),0-∞上为増函数，符合题意； 对于选项B,函数2log y x =是偶函数，且在(),0-∞上为减函数，不符合题意； 对于选项C,函数1y x=-为奇函数，不符合题意； 对于选项D,函数31y x =-为非奇非偶函数，不符合题意. 只有选项A 符合题意，故选A ．【名师点睛】逐一判断选项中函数奇偶性、单调性，从而可得结果.函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现. 4．【答案】D【解析】由函数图象可知，函数图象关于y 轴对称，∴函数是偶函数. 对于A ，()()f x f x -≠，函数不是偶函数； 对于B ，()()f x f x -≠，函数不是偶函数； 对于C ，()()f x f x -≠，函数不是偶函数； 对于D ，()f x -=()f x ，是偶函数， 故选D ．【名师点睛】由函数图象可知，函数图象关于y 轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可得结果.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．【答案】B【解析】∵f （2+x ）=f （2−x ），∴f （x ）的图象关于直线x =2对称，∴f （−1）=f （5），又f （x ）在()2,+∞上单调递增，∴f （3）<f （5）=f （−1）<f （6）． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数单调性的应用，考查对称性的应用，属于中档题．求解时，首先由f （2+x ）=f （2−x ）得到f （x ）的图象关于直线x =2对称，再利用f （x ）在()2,+∞上单调递增，可判断f （−1），f （3），f （6）的大小关系．7．【答案】B【解析】∵f （x ）与g （x ）的图象关于直线y =x 对称，且g （2）=3, ∴f （3）=2, ∵f （x ）为偶函数,∴f （−3）=f （3）=2． 故答案为B.【名师点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性、函数图象关于直线y =x 的对称性等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）注意这个结论：点A （x ,y ）关于直线y =x 对称的点B 图像坐标为（y ,x ）,知道这个结论再解答本题就简单了. 8．【答案】C【解析】由题得函数32()log (f x x x =++的定义域为R .则()()22333222log log log f x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-+=--()f x =-,所以函数32()log (f x x x =++是奇函数.当x ≥0时，3y x =是增函数，)2log y x =是增函数，所以函数32()log (f x x x =+在[)0,+∞上是增函数.又因为函数32()log (f x x x =+是奇函数，所以函数。