空间曲线及其方程
空间曲线及其方程
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定 一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的 投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是 求原曲线上点x,y坐标的关系.
z
o 1y x
要点:
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程:
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
空间曲线可看作两个曲面的交线.
x x(t)
空间曲线的参数方程:
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影: 注意一个点与其投影
点的x,y 坐标相同.
消去变量z 得：H ( x, y) 0 投影柱面
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两个空间曲面的交线.
曲面S1 : F ( x, y, z) 0 曲面S2 : G( x, y, z) 0
曲 线C
:
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
(完整版)第四节空间曲线及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案教研窒： 高等数学教研室编写时间： ________课名：高等数学（上） 班级： _______课题：第四节空间曲线及其方程教学目的及要求：介绍空间曲线的各种表示形式。
为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：1. 空间曲线的一般表示形式2. 空间曲线在坐标面上的投影教学步骤及内容：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。
F(x, y,z) 0G(x, y,z) 0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。
二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：x x(t) y y(t) z z(t)当给定t右时，就得到曲线上的一个点(x,, %, z,)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C 的一般方程为F （x, y, z ） 0G （x,y,z ） 0消去其中一个变量（例如 z ）得到方程H （x,y ） 0（ 2）曲线的所有点都在方程（2）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于xoy 平面）称为 投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线 叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为H (x, y) 0 z 0同理可以求出空间曲线 C 在其它坐标面上的投影曲线。
在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这 时要利用投影柱面和投影曲线。
例1：设一个立体由上半球面 z J 4 x 2成，见下图，求它在 xoy 面上 的投影。
解：半球面与锥面交C ： z J 4 x2 寸z A/3（P __y 1）"消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为:(1)y 2和锥面z . 3(x 2 y 2)所围线为即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。
空间曲线及其方程
1第四节空间曲线及其方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S 2S C空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程2方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 解122=+y x 表示圆柱面，6332=++z y x 表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 交线为椭圆.例13方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 解222yx a z --=上半球面,4)2(222a y a x =+-母线平行于z 轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy 面上的圆, 圆心在点.2),0,2(a a 半径为4⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 曲线关于的投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.投影柱面空间曲线投影曲线56类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线,yoz 面上的投影曲线,xoz ⎩⎨⎧==00),(z y x H 空间曲线在面上的投影曲线xoy7求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x （1）消去变量z 后得,4322=+y x 在面上的投影为xoy ,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 解例38求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 解例3所以在面上的投影为线段.xoz ;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在面上的投影也为线段.yoz .23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z (2) 因为曲线在平面上，21=z9求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z yx z 在xOy 面上的投影.消去z 得：122=+y x ,所求投影为圆周⎩⎨⎧==+0122z y x . 注：所围立体在xy 面上的投影为：122≤+y x .即上半球面与圆锥面的交线.解例4。
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C
xOz面上的投影曲线
T ( x , z ) 0 y 0
R( y , z ) 0 x 0
x y z 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 3 xOy面的 解 (1) 消去变量z后得 x 2 y 2 4 投影柱面
2 2 2
在 xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4 z 0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 1 (2) 因为曲线在平面 z 上，所以在 xOz面上 2
的投影为线段. z 1 3 | x | 2 2 y 0 (3) 同理在yOz面上的投影也为线段.
1 z 2 x 0
3 | y | 2
例5 求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 2 x z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程. 解 交线方程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去z 得投影柱面
选择题
球面 x y z R 与 x z a 交线
2 2 2 2
在xOy面上投影曲线方程是( D )．
( A) (a z)2 y 2 z 2 R2
(a z )2 y 2 z 2 R 2 ( B) z 0
(C ) x 2 y 2 (a x)2 R2
t
x
M
O
x a cos t y a sin t z vt
a
y
螺旋线的 参数方程.
A
M
z
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin z b
v t , b
Байду номын сангаас
P
螺旋线的重要性质：
t
第六节
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
z
S2 S 1
O
空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程, 同时满足两个方程.
C
x
y
满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能
x2 y2 1 例1 方程组 2 x 3 z 6
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 . z 0
在 xoy面上的投影为
2 2 设一个立体 , 由上半球面 z 4 x y 例6
和锥面z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
2 2 z 4 x y , C : 2 2 z 3 ( x y ),
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于xOy的 投影柱面. 投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、 母线垂直于所投影的坐标面.
C
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影)
(即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x , y ) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面) (即为xOy 面) z 0
解
2 2
表示怎样的曲线？
x y 1 表示圆柱面，
2 x 3z 6 表示平面，
z
x y 1 2 x 3 z 6
2 2
C
2
交 线 为 椭 圆
y
O
1
x
z a2 x2 y2 2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a a x y 2 2 4
消去 z 得投影柱面 x y 1,
2 2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
是一个圆,
2 2 x y 1. 所求立体在 xoy 面上的投影为
填空题
2 x 2 y 2 z 2 16 母线平行于x 轴且通过曲线 2 2 2 x y z 0 2 2 3 y z 16 的柱面方程是
x
M
O
上升的高度与转过的角度成正比.即
A
M
y
: 0 0
z : b 0 b 0 b
螺距
2 ,
上升的高度 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
x 2 y 2 (a x ) 2 R 2 ( D) z 0
( x1 , y1 , z1 ), 随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度ω绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升 (其中 , v都是常数), 那末点M 构 成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程.
解
z
取时间t为参数, 动点从A点出发, 经过t时间, 运动到M点. M在xOy面的投影 M ( x , y ,0)
解
z a2 x2 y2
上半球面（如图）
2 a a 2 x y 2 4 2
z
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
O
y
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定t t1时, 就得到曲线上的一个点