炎德 英才大联考长沙市长郡中学高三月考试卷(三)

炎德英才大联考长沙市长郡中学2016届高三月考试卷（三）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1、已知i 是虚数单位，若31i i z
+=-，则z 的共轭复数为（）
A ．12i -
B ．24i -
C -
D ．12i +
2、已知函数()(sin cos )cos f x x x x =+，则下列说法正确的为（）
A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．()f x
C ．()f x 的图象关于直线8x π=-
对称 D ．将()f x 的图象向右平移
8π，在向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 3、已知()221,x x a f x a +>=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（）
A ．10x -<<
B ．21x -<<
C ．10x -<≤
D ．01x <<
4、设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式25()a x x
+展开式中3x 项的系数为（） A ．-2-B ．20C ．-160D ．160
5、长郡中学数学组有实习教师共5名，现将他们分配到高二年级的90，91,92三个班级实
习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）
A ．30种
B ．90种
C ．180种
D ．270种
6、双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12A A ，过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为（）
A ．12
±B ．22±C ．1±D ．2± 7、公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积V 与它的直径D 的立
方成正比”，此即3
V kD =，欧几里得未给出k 的值，17世纪日本数学家对求球的体积的方
法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，
对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱
中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为
a ），等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ）的？玉积率“分别为123,,k k k ，那
么123::k k k =（） A ．
111::46πB ．::264ππC ．2:3:2πD ．::164ππ 8、在ABC ∆总，M 是AB 边所在直线上任意一点，若2CM CA CB λ=-+u u u u r u u u r u u u r ，则λ=（） A ．1B ．2C ．3D ．4
9、已知函数()sin f x x π=的图象的一部分如右图，
则右图的函数所对应的函数解析式为（）
A ．1(2)2
y f x =-B ．(21)y f x =-
C ．(1)2x y f =-
D ．1()22
x y f =- 10、已知抛物线28,y x P =为其上一点，点(5,0)N ，点M 满足1,0MN MN MP =⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，则MP u u u r 的最小值为（）
A 3．4C 23．26
11、一个四面体的四个顶点在空念直角坐标系O xyz -中的坐标分别是
(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1)，
则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（） A ．3B ．52C ．2D ．72
12、已知函数()2log ,02sin(),2104
x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则3412
(2)(2)x x x x --的取值范围是（） A ．()0,12B ．()4,16C ．()9,21D ．()15,25
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
13、已知向量,a b r r 满足2,3a b ==r r
，且2a b -=r r a r 在向量b r 方向上的投影为
14、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中雀巢4本赠送给4为朋友，每位朋
友1本，则不同呢的赠送方法共有 种。

15、已知函数()2
1y f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且()01f =-，若()()11g x f x =-+，
则()3g -=
16、定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足
()()()()12,f b f a f x f x b a
-''==- ()()f b f a b a
--，则称函数()f x 在[],a b 上的“双中值函数“，已知函数()32f x x x a =-+
是[]
0,a上的“双中值函数“，则实数a的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知数列{}n a和{}n b满足1232()
n n
a a a a n N*
=∈
L，若{}n a为等比数列，且132
2,3
a b b
==+。

（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；
（2）设()
n n
n
n n
b a
c n N
a b
*
-
=∈
⋅
，记数列{}n c的前n项和为n S，求n S。

18、（本小题满分12分）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1：2(如图1)，将∆AEF沿EF折起到1A EF
∆的位置，使二面角
1
A EF B
--成直二面角，连接11
,
A B A P(如图2)
（1）求证：
1
A E⊥平面BEP;
（2）求二面角
1
B A P F
--的余弦值的大小。

19、（本小题满分12分）
已知函数()log(0,1)
a
f x m x a a
=+>≠的图象过点(8,2)，点(3,1)
P-关于直线2
x=的对称点Q在()
f x的图象上。

（1）令函数()f x 的解析式；
（2）令()()()21g x f x f x =--，求()g x 的最小值及取得最小值是x 的值。

20、（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线25y x =的焦点重合。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知经过定点(2,0)M 且斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问在x
轴上是否另存在一个定点P 使得PM 始终平分APB ∠？，若存在求出P 的坐标，若不存在请说明理由。

21、（本小题满分12分）
已知函数()2ln(1)(0,2ax f x ax a a x =+-
>+为常数） （1）当102
a <≤时，求()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，不等式()32ln 22
f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围。

请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线与点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点D 、E 、F ，若PA=2PB=10.
（1）求证:AC=2AB ；
（2）求AD DE ⋅的值。

23、（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线：
2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l
的参数方程22(42
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值。

24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设函数()214f x x x =+--
（1）解不等式()0f x >；
（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围。