材料力学第9章压杆稳定
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材料力学第四版课件 第九章 压杆稳定
µl —相当长度 µ —长度因数
5.说明 5.说明 （1）相当长度 µ l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就 压杆失稳时， 是压杆的相当长度 是压杆的相当长度µ l . µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时， 是各种支承条件下，细长压杆失稳时 失稳时， 挠曲线中相当于半个波长的正 曲线的一段长 相当于半个波长的正弦 挠曲线中相当于半个波长的正弦曲线的一段长 度. （2）惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球 若杆端在各个方向的约束情况相同（ 应取最小的形心主惯性矩， 铰）， I 应取最小的形心主惯性矩，即在 Iy 、 Iz 中选取较小的一个计算临界力. 中选取较小的一个计算临界力.
x x
880 1000
y y z
z
880
x
x
F
880 1000
880 z F
l
y y z
分析： 分析： 1）杆件在两个方向的约束情况不同； 杆件在两个方向的约束情况不同； （ （2）计算出两个方向的临界压力；最 计算出两个方向的临界压力； 后取较小的一个作为压杆的临界压力. 后取较小的一个作为压杆的临界压力.
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些 构件具有足够 的强度、刚度, 的强度、刚度, 却不一定能安 全可靠地工作. 全可靠地工作.
二、工程实例
三、失稳破坏案例 案例1 20世纪初 世纪初， 案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库 Cooper） 柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁 比克大桥(Quebec Bridge)1907年 29日 比克大桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生 稳定性破坏，85位工人死亡 位工人死亡， 稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大 工程惨剧之一. 工程惨剧之一.
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学课件——压杆稳定计算
第九章 压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
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解：
I
D 4
64 64 32.17106 mm4
mm mm
1604
F
F
l 0 a l 0.7 7000 4900
l 0b l 0.5 9000 4500
(a)
(b)
2 EI 2 EI F cr 2 2 ( l ) l0
a杆临界压力 2 200103 32.17106 F cr 49002
2 2
格构式受 压构件之 应用案例
例9-1
压杆下端固定，上端与水平弹簧相联，如图所示。试 判断该杆长度系数的范围。
F
A >2
B < 0.5
C 0.5 < < 0.7
D 0.7 < < 2
解：
上端约束介于自由与铰支之间
所以长度系数介于0.7~2.0之间
答案 为D
例9-2
图示细长压杆，材料相同，直径相同，计算其欧拉临界 压力。已知E=200 GPa, D=160 mm。
i I/A
有
或
I Ai2
cr
2 EAi2
2 l0 A
2E 2 2 (l0 / i)
2E
l0 l i i
称为杆件的长细比（柔度），拉压杆的刚度条件 由此参数控制，见9.5节 欧拉公式的适用条件
失稳构件类型
受压杆件 薄壁结构
结构失稳案例——魁北克大桥
1907年建造过程中悬臂结构下弦失稳坍塌 75名施工人员遇难 15000多吨金属结构成废铁
9.2.1 两端铰支压杆的临界压力
微弯状态
弯矩与挠度有关 求最小压力
M ( x) Fv
EIv M ( x) Fv
9.1.1 刚体的稳定性
稳定平衡具有保持原 有平衡状态的能力
随遇平衡、不稳定平衡 不能保持原有平衡状态
刚性杆的稳定性
刚性杆是否稳定与外力有关 也与约束性质有关
F
F
刚性压杆，若两端铰支，则无 论压力多大，都是稳定的。 图示刚性压杆，B端为弹性支承，弹 簧系数为k，给微小水平干扰位移
kl F kl F kl F
l0=l ：压杆计算长度
支承形式 两端铰支 一端固定，另一端自由 一端固定，另一端铰支 一端固定，另一端定向支承（固定）
1 2 0.7 0.5
l0 l 2l 0.7l 0.5l
2 EI 2 EI F cr 2 2 l0 (l )
：压杆长度系数，与支座形式有关
l0=l ：压杆计算长度
B 1.57 D 0.78
解：
本题临界压力之比，即惯性矩之比
a 4 3 0.59 临界压力比 64 12 16
a 4
答案：C
9.3.1 细长压杆的欧拉临界应 力 欧拉临界应力公式
Fcr 2 EI 2 cr A l0 A
F cr
2 EI
2 l0
引进惯性半径i
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
稳定的基本概念 理想压杆欧拉临界压力 理想压杆临界应力 实际压杆稳定计算 拉杆与压杆的刚度条件
结构或构件受力后 保持原有平衡状态 的能力称为稳定性 刚体的平衡状态
稳定平衡（势能极小） 不稳定平衡（势能极大） 随遇平衡（临界平衡）
结构或构件受力后 不能保持原有平衡 状态则称为失稳
2645103 N
2645 kN
F
F
b杆临界压力 2 200103 32.17106 F cr 45002
3136
kN
N
例9-3
两端铰支的细长压杆，长度和材料相同，分别采用 直径为a的圆截面和边长为a的正方形截面，其临界 压力之比为（ ）。
A 3.14 C 0.59
压杆稳定性与外力的关系
压力较小（F<Fcr）直线平衡，稳定平衡 压力较大（F>Fcr）微弯平衡，不稳定平衡 压力F=Fcr，直线、微弯均能平衡，随遇平衡
压杆的临界压力
临界压力Fcr 是直线平衡状态的最大值 临界压力Fcr是微弯平衡状态的最小值
9.1.3 受压构件的失稳破坏
对应于直线状态 对应于微弯状态
x l, v 0 :
n v A sin x l 挠曲线为正弦曲 线，但A未知。
sin kl 0
kl n , (n 0,1,2,...)
n k l
n=0直线状态
临界压力
2
2 2 F n 2 2 n EI k 2 F EI l l2 2 EI F cr Fn1 2 l 欧拉临界压力：与材料有关 与截面形状和尺寸有关 Iy Iz时，绕临界 与杆件长度有关 压力小的轴失稳 与支承形式有关
9.2.3 提高压杆稳定性的措施
合理的截面形状，I ( )
空心截面比实心截面合理 格构式优于实腹式
减小压杆长度，
减小实际长度 增加中间支座
l ()
增强端部约束， ( ) 合理选用材料， E ( )
非细长压杆，材料强度 越高，临界2 ( l ) l0
F kl F kl F kl
干扰去除后能回到原始 平衡位置=稳定平衡 不稳定平衡 此时荷载称为 临界荷载Fcr 随遇平衡
9.1.2 受压构件的稳定性
稳定性
构件在外力作用下，保持其原始 平衡状态的能力。 压杆保持直线平衡的能力。
失稳
受力后构件突然由一种变形状态 变成另一种变形状态。 压杆由直线（压缩变形）平衡状 态突然变成曲线（微弯变形）平 衡状态。
若各个方向的约束情 况相同，则绕弱轴失 稳，I=min(Iy, Iz)
各个方向的约束情况不 相同时，可能绕弱轴失 稳，也可能绕强轴失稳
9.2.2 压杆临界压力的通用公式
对于其他支座形式，临界压力公式可以写成
2 EI 2 EI F cr 2 2 l0 (l )
：压杆长度系数，与支座形式有关
F v v0 EI
令
F k EI
2
则有 v k 2v 0
2 v k v 0 微分方程的通解为 v A sin kx B cos kx
边界条件定常数 x 0, v 0 :
0B 0 A sin kl B cos kl A sin kl A0