【高考解读】2017年高考全国卷(坐标系与参数方程)分析与启示

2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示

一、特色解读

2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.

近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：

根据（2012—2017）的考查统计，可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关系为主要考查形式.

知识：极坐标方程?普通方程?参数方程之间转化；

方程 椭圆 表示出椭圆上的点（??sin ,cos b a ）； 离（最值）等问题；

抛物线 表示出抛物线上的点（22,2pt pt ）； 2．能力

（1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力.

（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.

3．思想方法

（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想.

（2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想.

二、亮点扫描

【例题一】（2016课标Ⅱ）

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=??=?

（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．

【解析】（Ⅰ）C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.

（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；

由 2+12cos 110θαρρθ=??+=? 得2+12cos 110ρρα+=,

22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.

【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=??=?

（t 为参数）代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=， 得2+12cos 110t t α+=,

22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-.

【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==,

由22(6)25

y kx x y =??++=? 得22(1)12110k x x +++=, 222121212214411()4441AB k x x k x x x x k

=+-=++-=-+. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.

（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为2121212()4ρρρρρρ-=+-.

（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为2121212()4t t t t t t -=+-.

（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为

22212121211()4k x x k x x x x +-=++-.

【例题二】（2017全国课标Ⅱ）

在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ= 14cos OM ρθ

==，||||16OM OP ?=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=

（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ?面积 213.sin 4cos sin(

)2sin(2)2332

S OA AOB ππρααα=∠=-=--. 知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理. 【例题三】（2017全国课标III ） 在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,

x t y kt =??=?（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+???=??

（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)写出C 的普通方程；

(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，

M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．

【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k

=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+???=-??

，消去k 得224(0)x y y -=≠.

(Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点322()22

M 求得M 的极径. 【解法二】直线3l 的参数方程为22222

y y t ?=????=??代入曲线C 的普通方程224x y -=，得

1t =-，322(,)M -

求得M 的极径. 【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直

线3l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )20

ρθρθρθθ?-=??+-=??，5ρ=. 知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用， 方法：求直线与曲线的交点坐标问题.

（1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.

（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标.

（3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，

【例题四】（2017江苏高考）

在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82

t t y =-+???=??(t 为参数),曲线C 参数方程为22,22x s y s ?=??=??

(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ， 点P 到直线l 的的距离2222|2428|

2(2)45

(1)(2)s s s d -+-+==-+-，

知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.

方法：抛物线的普通方程为2

2y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ?=?=?(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.

三、佳题欣赏

【例题一】（2017年厦门市第二次检测）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?

??+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其

中πα<≤0.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C ：θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.

（Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值；

（Ⅱ）已知点)02(，Q ，直线l 与2C ：132

2=+y x 交于B A ，两点，求ABQ ?面积. 【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为042

2=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t t αα，0?=6π

α=∴

（Ⅱ）将直线l 的参数方程为31132

x y t ?=????=??代入曲线得063852=++t t

21221214)(t t t t t t AB -+=-=.

考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.

【例题二】（2017年福州市第一次检测）

在平面直角坐标系xOy 中，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23

,0,24sin()6:C ρθππ

θ=∈-．

（Ⅰ）求1C 的一个参数方程；

（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．

【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22

(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα

=+??=?（α为参数）

（Ⅱ）【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x y --= 因为直线2C ：22330x y --=与曲线1C ：22

(2)1x y -+=相交于A 、B 两点， 所以圆心到直线的距离为14

d =

，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2，倾斜角为6π，曲线2C 的参数方程为332212x t y t ?=+????=?? 代入1C ：22

(2)1x y -+=，得242330t t --=， 2121212()4t t t t t AB t -==+-.

考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.

【例题三】（2017年三明市第二次检测）

在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极

坐标系，若直线2cos()204

π

ρθ--=，曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）1C .

（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．

【解析】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为222y x =-. （Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=，(2,0)P 在l 上，l 参数方程为22222

x y t ?=-????=??

(t 为参数）代入曲线1C 方程得22240t t +-=,120,0t t ><，

212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-.

考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=

+-四、复习启示

1. 重视基础知识的复习

①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；

②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；

③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法

较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：

①极坐标ρ的几何意义；

②直线标准参数t 的几何意义；

③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识.

3. 重视知识的交汇联系

①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；

②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.

教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.