2019-2020学年广东省深圳市南山外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷
广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)
广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．如果32x y =，则x y y +=（）A ．12B ．32C ．52D ．252．一元二次方程2650x x -+=配方后可化为（）A ．2(3)4x -=-B ．2(3)14x +=-C ．2(3)4x -=D ．2(3)14x +=3．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段152AC =，则线段AB 的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．55．已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m <-B ．1m >C ．1m <且0m ≠D ．1m >-且0m ≠6．若ABC DEF ∽△△，ABC V 与DEF 的面积比为1:16，则AB 与DE 的比是（）A ．1:4B ．1:8C ．1:16D ．1:327．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为22m ．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为2520m ，求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽度为m x ，根据题意所列方程为（）A ．(402)(22)520x x --=B ．(40)(22)520x x --=C ．(40)(222)520x x --=D ．(40)(22)520x x -+=8．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 、F 分别是BD 、CD 边上一点，连接AE 、AF ，BD 交AF 于点G ，若3BE =，EAFABD ∠=∠，则DG 的长为（）A ．87B ．97C ．107D ．117二、填空题9．一元二次方程240x x a -+=的一个解为1x =，则a =．10．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，则菱形ABCD 的周长为．11．已知m 是方程2410x x -=+的一个根，则(5)(1)m m +-的值为．12．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ．若4AB =，3AE =，则ON 的长为．13．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，AC =6CB =，D 为AC 中点，E 为BC 上一点，连接AE 、BD 交于点F ，若30AFD ∠=︒，则CE的长为三、解答题14．（1）解方程：22450x x +-=；（2）已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，且48a b c ++=，345a b c==，求ABC V 三边的长．15．在44⨯的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与ABC V 相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围）16．根据以下素材，探索完成任务．素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．素该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，材2月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．问题解决任务1求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？17．如图，D 是ABC V 的边AC 上的一点，连接BD ，已知ABD C ∠=∠．(1)求证：ABD ACB∽△△(2)若6AB =，4=AD ，求线段CD 的长18．如图，在矩形ABCD 中，13cm,4cm AB AD==，点E 、F 同时分别从D 、B 两点出发，以1cm/s 的速度沿DC BA 、向终点C 、A 运动，点G 、H 分别为AE CF 、的中点，设运动时间为()s t ．(1)求证：四边形EGFH 是平行四边形．(2)填空：①当t 为______s 时，四边形EGFH 是菱形；②当t 为_____s 时，四边形EGFH 是矩形．19．如图，已知平行四边形ABCD ，AB x ∥轴，6AB =，点A 的坐标为()14-，，点D 的坐标为()34-，，点B 在第四象限，点P 是平行四边形ABCD 边上的一个动点．(1)点B 的坐标为_________；点C 的坐标为________；(2)点G 是AD 与y 轴的交点，求点G 的坐标；(3)若点P 在AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线1y x =-上，求点P 的坐标；(4)若点P 在折线D A B --上，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们交于点M ，将PGM △沿直线PG 翻折，点M 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P 的坐标．20．如图，在菱形ABCD 中，点P 为对角线AC 上的动点，连接DP ，将DP 绕点D 按逆时针方向旋转至DQ ，使QDP CDA ∠=∠，PQ 与CD 交于点E ．(1)请在图中找出与APD △相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下）(2)已知5AD =，8AC =，①当DP AD ⊥时，求PEC 的面积；②连接CQ ，当EQC 为直角三角形时，求AP 的长；③当DC 将DPQ V 分成的两部分的面积之比为1:2时，请直接写出AP 值．。
广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2023-2024 学年第一学期期中调研九年级数学试卷答题时间90分钟，满分100分．一．选择题（共 10 小题，每小题3分，共30分）1. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A 、选项不符合三种视图，不符合题意；B 、选项是主视图，不符合题意；C 、选项是右视图，不符合题意；D 、选项是左视图，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ）A. 10 个B. 15 个C. 20 个D. 25 个【答案】A【解析】【分析】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率是解题的关键．【详解】解：设白球有x 个，则 0.415x x =+，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，∴10x =，故选A ．3. 如图，矩形ABCD 中，对角线 AC BD 、交于点 O ．若608AOB BD ∠=°=，，则 AB 的长为（ ）A. 3B. 4C.D. 5【答案】B【解析】 【分析】题考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质．通过矩形的性质推出ABO 为等边三角形是解题的关键．【详解】∵ABCD 是矩形，∴1842OA OB OC OD BD =====， 又∵60AOB ∠=°，∴ABO 是等边三角形，∴4AB OA ==，故选B ．4. 一元二次方程2430x x −−=的根的情况是（ ）． A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根 【答案】C【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：2430x x −−=，其中a =1，b =-4，c =-3，()224441(3)280=−=−−××−=> b ac ，∴一元二次方程有两个不相等的实数根故选：C .【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 关于反比例函数6y x=，下列说法中不正确的是（ ） A. 点()2,3−−在它的图象上 B. 图象关于原点中心对称C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大D. 它的图象位于第一，三象限 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：A 、当2x =−时，则632y ==--，所以点()2,3−−在它的图象上，故不符合题意； B 、由反比例函数6y x=可知图象关于原点中心对称，故不符合题意； C 、当0x >时，y 随x 的增大而减小，故符合题意；D 、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；故选：C ．6. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度是（ ）A. 7mB. 6mC. 5mD. 4m【答案】A【解析】 【分析】先说明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．【详解】解：如图：AD ＝6m ，AB ＝21m ，DE ＝2m ；∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD BC AB =，即 2621BC =， 解得：BC ＝7m ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，发现并判定△ADE ∽△ABC 是解答本题的关键． 7. 在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min ．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（ ）A. ()2701100x +=B. ()2701100x +=C. ()2100170x −=D. ()2100170x −=【答案】C【解析】 【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长2022=年上学期每天书面作业平均时长(1×−该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率2)，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设根据题意得：()2100170x −=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数()0y kx k k =−≠与y =()0k k x≠的大致图象可能是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k 的符号对函数图象的影响是解题的关键．【详解】解：①当0k >时，y kx k =−过一、三、四象限；y =k x 位于一、三象限； ②当0k <时，y kx k =−过一、二、四象象限；y =k x 位于二、四象限． 观察图形可知，只有D 选项符合题意．故选D ．9. 下列说法正确的是（ ）A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形C. 已知点 C 为线段AB 2AB =，则 1AC =−D. 中午用来乘凉的树影是中心投影【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义，平行投影的含义；本题根据菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义结合线段的黄金分割点有2个，以及太阳光线是平行光线逐一分析判定即可，熟记基础概念是解本题的关键．【详解】解：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A 不符合题意；顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形，表述正确，故B 符合题意；如图，C 是AB 的黄金分割点，则AC AB ′=，则1AC ′=，或BC AB =，则1BC =−，∴)213AC =−−=C 不符合题意； 中午用来乘凉的树影是平行投影，故D 不符合题意；故选B10. 如图，在 ABC 中，9024ACB AC BC ∠=°==，，，ACB 绕顶点C 逆时针旋转得到DEC ，使点 D 落在 AB 边上，连接 EB ，则 BE 的长为（ ）A. B. C. D. 72【答案】A【解析】【详解】现根据旋转证得ECB ACD ，即2BE AD =，然后过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =，根据三角形的面积求出CF 长，然后利用勾股定理求出AF 即可解题．∴AB ，由旋转可知：42EC BC CD AC ====，，90ECD∠=°， ∵90ECB BCD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=°，∴ECB ACD ∠=∠， 又∵2ECBC CD AC==， ∴ECB ACD ∽， ∴2BE BC AD AC==，即2BE AD =， 过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =， ∵1122ABC S AC BC AB CF =×=× ，∴AC BC CF AB ×==∴AF ，∴2AD AF ==，即2BE AD == 故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造“三线合一”是解题的关键．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 已知方程²30x mx ++=的一个根是1，则m 的值是_______【答案】-4【解析】【分析】将x=1代入方程中即可求出m 的值．【详解】解：由题意可知，将x=1代入方程中得到：1²+m+3=0，解得m=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程方程解得概念，告诉方程的解就是将解代入方程中，等号两边相等即可．12. 如图，ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，DE BC ∥，若4=AD ，6BD =，2AE =，则CE 的长是 _____．【答案】3【解析】【分析】根据DE BC ∥，易证AD AE DB EC =，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴AD AE DB EC=， ∵4=AD ，6BD =，2AE =， ∴426CE=， 解得：3CE =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练地掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 13. 如图，甲楼AB 高 16 米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是2:3， 已知两楼相距BD 为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 DE ＝_______米．【答案】8【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识；过E 作EF AB ⊥，利用平行投影的知识物高与影长的比是2:3，求出AF 的长度，进而求得DE BF AB AF ==−即可得出答案．解题的关键是利用平行投影的知识，求出AF 的长度．【详解】如图，过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，在Rt ΔAFE 中，90AFE ∠=°，12EF BD ==∵物高与影长的比是2:3 ∴23AF EF =， ∴8AF =∵16AB =，∴1688DE BF AB AF ==−=−=故答案为：8米14. 如图，在 Rt AOB 中，904AOB OB AB ∠=°=，，∥x 轴，双曲线k y x=经过点B ，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，AB 的对应线段CB 恰好经过点 O ．则 k 的值是_____．【答案】【解析】【分析】先求得BOD 是等边三角形，即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值.【详解】∵ AB x 轴,ABO BOD ∴∠=∠，ABO CBD ∠=∠ ，BOD OBD ∴∠=∠，OB BD = ，BOD BDO ∴∠=∠，BOD ∴ 是等边三角形，如图，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，60BOD ∴∠=°，∴30OBE ∠=°， ∴114222OE OB ==×=，∴BE(2B ∴，∵双曲线 k y x=经过点B ，2k ∴=×=故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 BOD 是等边三角形是解题的关键．15. 如图，四边形ABCD F 是边AB 上的一点，连接DF ，点E 是边BC 延长线上的一点，且 DF DE ⊥，连接AC 交EF 于点Q ，若53AQ QC =，1AF =，则EF 的长为_____．【解析】【分析】过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，则有ADF CDE ≌，即可得到1AF CE EG ===，再证得QCP QGE QAF ∽∽，可以得到14EC GC BC CA ==，求出BF 和BE 长，利用勾股定理解题即可．【详解】解：过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，∵ABCD 是正方形，DF DE ⊥，∴90B DAF DCB DCE CEG ADC EDF ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=°，AD DC =，45ACB ECG ∠=∠=°，AB CD ， ∴ADF CDE ∠=∠， ∴ADF CDE ≌， ∴1AF CE ==， 又∵45ECG ∠=°， ∴1EC EG ==， ∵EG AB ，AB CD ， ∴EG AB CD ，∴G CAB ∠=∠，B BEG ∠=∠， ∴QCP QGE QAF ∽∽， ∴35QC PC PC PQ QG EG AF QF ====， ∴2184GC CA ==， 又∵EG AB CD ， ∴14ECGC BC CA ==， ∴4BC AB ==， ∴35BF BE ==，，∴EF ，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共55分）16. 解方程：（1）24120x x −−=； （2）22210x x −−=．【答案】（1）16x =，22x =−（2）112x =+，212x =−【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，关键是熟练掌握各自的解题方法． （1）利用因式分解法求解，“因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，也就是把原方程进行了降次转化为解一元一次方程”；（2）利用配方法解方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，然后开平方求解即可． 【小问1详解】 解：24120x x −−=，()()260x x +−=， ∴20x +=或60x −=， ∴12x =−，26x =；【小问2详解】解： 22210x x −−=，∴2221x x −=，则212x x −=，∴222111222x x −+=+， 221324x x −+= ，即21324x−=，则12x −，∴112x =+，212x =． 17. 小红爸爸积极参加社区志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到A 组（清除小广告）、B 组（便民代购）和C 组（环境消杀）． （1）小红爸爸被分到B 组概率是____________；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率． 【答案】（1）13（2）13【解析】【分析】（1）小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组，根据概率公式可得答案； （2）通过画树状图，得出一共有多少种情况，再从中选出满足条件有多少种情况，最后根据概率公式可得答案． 【小问1详解】解：∵小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组， ∴小红爸爸被分到B 组的概率为13； 故答案为：13【小问2详解】解：小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：的的由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，分别是()()(),,,,,A A B B C C ，∴()3193P ==小红爸爸和王老师被分到同一组． 【点睛】本题考查了利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在通过画树状图法，得出一共的情况数和满足条件的情况数．18. 已知：ABC 三个顶点的坐标分别为()()()225415A B C −−−，-，，-，，-．（1）画出ABC 关于 x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标______；（2）以点 O 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到222A B C △，请在网格中画出222A B C △，并写出点2B 的坐标为______，222ABC A B C S S = ∶______． 【答案】（1）见解析，()115C −， （2）加解析，()2108B ，，14∶【解析】【分析】此题考查了作轴对称图形及位似图形，（1）分别确定对称点111A B C ，，，顺次连线即可；（2）分别连接AO BO CO ，，并延长二倍，确定点222A C B ，，，顺次连线即可得到222A B C △，利用位似图形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图：111A B C △即为所求，()115C −，；故答案为：()115C −，； 【小问2详解】 解：如图：222A B C △即为所求，由图可知：()2108B ，， ABC 与222A B C △位似，位似比12∶，2221ABC A B C S S ∴= ∶∶4． 故答案为：()2108B ，，14∶．19. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x 元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？【答案】19. 32；320 20. 5元 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克.即可得出结论;（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．是【小问1详解】解： 由题意得：销售数量为202632+×=千克；利润为()()402462620320−−××+=元； 故答案为：32；320； 【小问2详解】由题意得:()()4024202330x x −−+=， 解得： 1,5,x x ==₁₁ ∵让顾客得到实惠，5x ∴=， 答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．20. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF =BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD （2）连接OE ，若AD =5，EC =2，求OE 的长度． 【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD =AB =BC =10，由勾股定理求出AE =4，AC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC 且AD =BC ， ∵BE =CF ， ∴BC =EF ， ∴AD =EF ，是∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEF =90°，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AD =5， ∴AD =AB =BC =5， ∵EC =2， ∴BE =5-2=3， 在Rt △ABE 中，4AE ===，在Rt △AEC 中，AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA =OC ，∴OE =12AC【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF 是解题的关键．21. （1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()1,2A 和()2,B m −．①直接写出=a ____，b =____，k =____； ②请直接写出不等式kax b x+>的解集____；连接OA 、OB ，则AOB S =△_______．（2）如图 2，直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点，点 M 是双曲()40y x x=>上一点，分别连接MA 、MB ．在双曲线上是否存在点 M ，使得以BM 为斜边的MAB △与AOB 相似？若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）①1，1，2；②20x −<<或1x >；32；（2）()4,1M 【解析】【分析】（1）①将()1,2A 代入k y x=求出k 的值，得到2y x =，然后将()2,B m −代入2y x =求出()2,1B −−，然后利用待定系数法将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+求解即可； ②根据图象结合A ，B 两点的坐标即可求出不等式kax b x+>的解集；设直线AB 与y 轴交于点C ，首先求出点C 的坐标，得到1OC =，然后利用AOBAOC COB S S S =+ 代数求解即可； （2）首先根据题意求出OB m =，2m=，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，根据相似三角形的性质得到2mAO AF ==，OE OA AE m =+=，然后证明出BOA AEM ∽ ，进而得到,4m M m，然后代入()40y x x =>求解即可．【详解】（1）①根据题意得， 将()1,2A 代入k y x=得，21k=，解得2k =， ∴2y x=， 将()2,B m −代入2y x =得，212m ==−−， ∴()2,1B −−，将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+，得221a b a b +=−+=−，解得11a b = = ；故答案为：1，1，2； ②∵()1,2A ，()2,1B −−， ∴根据图象可得，不等式kax b x+>解集20x −<<或1x >； 如图所示，设直线AB 与y 轴交于点C ，∵1a =，1b =， ∴1y x =+，∴当0x =时，11y x =+=， ∴()0,1C ， ∴1OC =，∴1131121222AOB AOC COB S S S =+=××+××= ； 故答案为：20x −<<或1x >；32；（2）∵直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点， ∴当0x =时，2y x m m =−+=， ∴OB m =，当0y =时，02x m =−+，解得2mx =， ∴2m AO =， 如图所示，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，的∵BOA BAM ∽ ，∴ABO ABF ∠=∠，∵AF BM ⊥，AO BO ⊥， ∴2m AO AF ==， ∵BOA BAM ∽ ，∴BAO BMA ∠=∠，90BAM AOB ∠=∠=°， ∴90BAO MAE ∠+∠=°，∵ME x ⊥轴，∴90AME MAE ∠+=°，∴BAO AME ∠=∠，∴BMA AME ∠=∠，∵AF BM ⊥，ME x ⊥轴， ∴2m AF AE ==， ∴OE OA AE m =+=，∵BAO AME ∠=∠，90BOA AEM ∠=∠=°，∴BOA AEM ∽ ， ∴OB AE OA ME =，即2m AE m ME =， ∴124m ME AE ==， ∴,4m M m， ∵点 M 是双曲()40y x x =>上一点， ∴44m m=，即216m =， 解得4m =或4−（舍去），∴()4,1M ．【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，相似三角形的性质和判定等知识，数形结合是解题的关键．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．22. 综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．【问题发现】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，6AB BC ==，F 为BC 边的中点，E 为 AB 边上一点，连接 DE DF 、，分别将ADE 和 CDF 沿 DE DF 、翻折，点 A 、C 的对应点分别为点 G 、H ，点 G 与点 H 重合，则EDF ∠=____°，AE =_____；【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，54AB BC ==，，F 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点，连接DE DF 、，分别将ADE 和CDF 沿 DE DF 、翻折，点A 、C 的对应点分别为点G 、H ，且D 、H 、G 三点共线，求AE 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在菱形ABCD 中，660AB D ∠==°，，F 为CD 边上的三等分点，E 为BC 边上一点，连接AE AF 、，分别将ABE 和ADF 沿 AE AF 、翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，点G 与点H 重合，直线GE 交直线AB P ，请直接写出PB 的长．【答案】（1）45°，2 （2）45°，127 （3）125或34【解析】 【分析】（1）由翻折可得,3AEEG CF FG ===，在Rt EBF 中利用勾股定理解题即可； （2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，由翻折可得FGM FBM ≌，即可得到GM BM =，在Rt ADM 中运用勾股定理解题；（3）分2DF =和4DF =两种情况解题解题，如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则有FQG EQC ≌，即FQ QE =，再在Rt ENQ 中利用勾股定理求出CQ ，最后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，6,90AD AB BCD ∴==∠=°，∵F 为AD 的中点,3CF BF ∴==，∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、翻折, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,3AE EG CF FG ∴===，设 ,AE x =则 6,BE x =−3EF x ∴=+，²²²EF BE BF =+ ，()()3?6?3?x x ∴+=−+，解得2x =2AE ∴=， ∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,ADE GDE CDF GDF ∴∠=∠∠=∠，90BCD ∠=° ，11904522EDF ADC ∴∠=∠=×°=°， 故答案为: 45°，2；（2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，∵F 为BC 边的中点，∴2CF BF ==由翻折可得：2FG CF BF ===，90DGF C B A DHE ∠=∠=∠=∠=∠=°，5DG DC AB ===，AE EH =，又∵FM FM =，∴FGM FBM ≌，∴GM BM =，设MB x =，则5DM x =+，5AM x =−，在Rt ADM 中，222AD AM DM +=，即()()222455x x +−=+， 解得：45x =， ∴295DM =，215AM =， ∵1111122222ADM S AM AD AE AD DM EH AE AD DM AE =×=×+×=×+× ∴21412529745AM AD AE AD DM ××===++；（3）①如图，当点F 为DC 2DF =，则4FC =，设直线GE 交CD 于点Q ， ∵ABCD 是菱形，∴120DAB DCB ∠=∠=°，6AD DC BC ===，60D ABC ∠=∠=°，由翻折可得：DAF GAF ∠=∠，BAE GAE ∠=∠，D AGF ∠=∠=60ABC AGE ∠=∠=°，FG FD =，∴120FGQ QCE ∠=°=∠，60EAF ∠=°连接AC ，则ACD 是等边三角形，60ACE D EAF CAD ∠=∠=∠=∠=°，∴DAF CAE ∠=∠，AD AC =，∴ADF ACE ≌，∴2EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，， ∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴112CN CE ==，∴EN =设CQ x =，则4FQ QE x ==−，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即()()22214x x ++=−， 解得：65x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴2BP EB CQ EC==， ∴6122255BP CQ ==×=； ②如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，由①可得，ADF ACE ≌，∴4EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，，∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴122CN CE ==，∴EN ，设CQ x =，则()422FQ QE x x ==−−=+，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即(()()22222x x +−=+， 解得：32x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴12BP EB CQ EC ==， ∴11332224BP CQ ==×=； 综上， BP 长为125或34． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形和菱形的性质，能作出辅助线构造直角三角形应用勾股定理计算是解题的关键．。
广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷含答案
2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）如图所示的工件的主视图是（）A ．B ．C ．D ．2．（3分）反比例函数y ＝﹣的图象在（）A ．第一、三象限C ．第二、四象限B ．第一、二象限D ．第三、四象限3．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两条直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．则下列比例式不正确的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝4．（3分）下列说法不正确的是（）A ．所有矩形都是相似的B ．若线段a ＝5cm ，b ＝2cm ，则a ：b ＝5：2C ．若线段AB ＝cm ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝cmD ．四条长度依次为lcm ，2cm ，2cm ，4cm 的线段是成比例线段5．（3分）根据下面表格中的对应值：xax +bx +c 2 3.24﹣0.022 3.250.01 3.260.03判断关于x 的方程ax +bx +c ＝0（a ≠0）的一个解x 的范围是（）A ．x ＜3.24C ．3.25＜x ＜3.26B ．3.24＜x ＜3.25D ．x ＞3.266．（3分）下列说法不正确的是（）A ．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B ．一组邻边相等的菱形是正方形C ．有三个角是直角的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形7．（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A ．红球比白球多C ．红球，白球一样多B ．白球比红球多D ．无法估计8．（3分）如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．229．（3分）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a +b +ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣210．（3分）如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3＝20，则S 2的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．1211．（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．3.2+x ＝6C ．3.2（1+x ）＝6B ．3.2x ＝6D ．3.2（1+x ）＝6212．（3分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、AD 上的中点，连接AF 、DE 交于点M ，连接GM 、CG ，CG 与DE 交于点N ，则结论①GM ⊥CM ；②CD ＝DM ；③四边形AGCF 是平行四边形；④∠CMD ＝∠AGM 中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（每题3分，满分12分）13．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为形．14．（3分）已知点A （x 1，3），B （x 2，6）都在反比例函数y ＝或“＞”或“＝”）15．（3分）如图，在Rt △ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC ＝24cm ，则这个展开图可折成的正方体的体积为cm ．3的图象上，则x 1x 2（填“＜”16．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为；三、解答题：（17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9分，共52分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣2）﹣16＝0（2）5x +2x ﹣1＝0．18．（6分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm ，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1：2；（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC 相似（树干对应BC 边），22求原树高（结果保留根号）19．（7分）阅读对话，解答问题：（1）分别用a 、b 表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a ，b ）的所有取值；（2）求在（a ，b ）中使关于x 的一元二次方程x ﹣ax +2b ＝0有实数根的概率．20．（8分）已知，如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两线交于点P ．①求证：四边形CODP 是菱形．②若AD ＝6，AC ＝10，求四边形CODP 的面积．221．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），已知A 点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x ＞的解集；（3）将直线l 1：y ＝x 沿y 向上平移后的直线l 2与反比例函数y ＝在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为30，求平移后的直线l 2的函数表达式．22．（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数不超过30件超过30件销售价格单价40元每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元23．（9分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为lcm /s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ ＝，BP ＝；（用含t 的代数式表示）②设△PBQ 的面积为y （cm ），试确定y 与t 的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△PBQ 的面积为△ABC 面积的二分之一？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPQ 为等腰三角形？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由．22018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）如图所示的工件的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．2．（3分）反比例函数y ＝﹣的图象在（）A ．第一、三象限C ．第二、四象限B ．第一、二象限D ．第三、四象限【分析】根据反比例函数y ＝（k ≠0）的图象是双曲线；当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大进行解答．【解答】解：∵k ＝﹣1，∴图象在第二、四象限，故选：C ．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象的性质．3．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两条直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．则下列比例式不正确的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．【解答】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴，，，，故选：D ．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．4．（3分）下列说法不正确的是（）A ．所有矩形都是相似的B ．若线段a ＝5cm ，b ＝2cm ，则a ：b ＝5：2C ．若线段AB ＝cm ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝cmD ．四条长度依次为lcm ，2cm ，2cm ，4cm 的线段是成比例线段【分析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．【解答】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A 不正确，符合题意；若线段a ＝5cm ，b ＝2cm ，则a ：b ＝5：2，B 正确，不符合题意；线段AB ＝则AC ＝cm ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝（cm ），C 正确，不符合题意；四条长度依次为lcm ，2cm ，2cm ，4cm 的线段是成比例线段，D 正确，不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．5．（3分）根据下面表格中的对应值：xax +bx +c 2 3.24﹣0.022 3.250.01 3.260.03判断关于x 的方程ax +bx +c ＝0（a ≠0）的一个解x 的范围是（）A．x＜3.24C．3.25＜x＜3.262B．3.24＜x＜3.25 D．x＞3.26【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x＝3.24时，ax+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax+bx+c＝0.01，∴关于x的方程ax+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：B．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．6．（3分）下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．7．（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多C．红球，白球一样多B．白球比红球多D．无法估计222222【分析】计算出摸出红球的平均数后分析，若得到到的平均数大于5，则说明红球比白球多，反之则不是．【解答】解：∵5位同学摸到红球的频率的平均数为∴红球比白球多．故选：A ．【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到红球可能的情况数．8．（3分）如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）＝7，A ．B ．C ．D ．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a +b +ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣222【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：∵a △b ＝a +b +ab ，∴（x +2）△x ＝（x +2）+x +x （x +2）＝1，整理得：x +2x +1＝0，即（x +1）＝0，解得：x 1＝x 2＝﹣1．故选：C ．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．10．（3分）如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3＝20，则S 2的值为（）222222A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】由条件可证明△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S 2．【解答】解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB ＝BD ＝CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP ＝∠DMK ＝∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG∴∠BPQ ＝∠DKM ＝∠CNH ，∵△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ，∴＝＝，＝＝，∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，∴＝，∴＝，＝，∴S 2＝4S 1，S 3＝9S 1，∵S 1+S 3＝20，∴S 1＝2，∴S 2＝8．故选：B ．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11．（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．3.2+x ＝6C ．3.2（1+x ）＝6B ．3.2x ＝6D ．3.2（1+x ）＝62【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为x ，根据题意可得，2015的投入资金×（1+增长率）2＝2017年的投入资金，据此列方程．【解答】解：设这两年投入资金的年平均增长率为x ，由题意得，3.2（1+x ）＝6．故选：D ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．12．（3分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、AD 上的中点，连接AF 、DE 交于点M ，连接GM 、CG ，CG 与DE 交于点N ，则结论①GM ⊥CM ；②CD ＝DM ；③四边形AGCF 是平行四边形；④∠CMD ＝∠AGM 中正确的有（）个．2A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】要证以上问题，需证CN 是DN 是垂直平分线，即证N 点是DM 中点，利用中位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可．【解答】解：∵AG ∥FC 且AG ＝FC ，∴四边形AGCF 为平行四边形，故③正确；∴∠GAF ＝∠FCG ＝∠DGC ，∠AMN ＝∠GND在△ADE和△BAF中，∵，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AEM＝90°∴∠EAM+∠AEM＝90°∴∠AME＝90°∴∠GND＝90°∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．∵G点为AD中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；在△GDC和△GMC中，∵，∴△GDC≌△GMC（SSS），∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，∴GM⊥CM，故①正确；∵∠CDG＝∠CMG＝90°，∴G、D、C、M四点共圆，∴∠AGM＝∠DCM，∵CD＝CM，∴∠CMD＝∠CDM，在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，∴DM＜AD，∴DM＜CD，∴∠DMC≠∠DCM，∴∠CMD ≠∠AGM ，故④错误．故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及平行四边形的性质的运用．在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形知识解决问题．二、填空题：（每题3分，满分12分）13．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF ＝GH ＝AC ，FG ＝EH ＝BD ，再根据矩形的对角线相等可得AC ＝BD ，从而得到四边形EFGH 的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．【解答】解：如图，连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 的AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，∴EF ＝GH ＝AC ，FG ＝EH ＝BD （三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD 的对角线AC ＝BD ，∴EF ＝GH ＝FG ＝EH ，∴四边形EFGH 是菱形．故答案为：菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．14．（3分）已知点A （x 1，3），B （x 2，6）都在反比例函数y ＝或“＞”或“＝”）【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k ＝﹣3，图象位于第二象限，或第四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∵3＜6，的图象上，则x 1＜x 2（填“＜”∴x 1＜x 2，故答案为＜．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．15．（3分）如图，在Rt △ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC ＝24cm ，则这个展开图可折成的正方体的体积为27cm ．3【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm ，然后延长FE 交AC 于点D ，根据三角函数的性质，可求得AC 的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm ，延长FE 交AC 于点D ，则EF ＝2xcm ，EG ＝xcm ，DF ＝4xcm ，∵DF ∥BC ，∴∠EFG ＝∠B ，∵tan ∠EFG ＝∴tan B ＝＝，＝，∵BC ＝24cm ，∴AC ＝12cm ，∴AD ＝AC ﹣CD ＝12﹣2x （cm ）∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ACB ，∴即＝＝，，解得：x ＝3，即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm ，∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm ．3故答案为：27．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为y＝；【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO ≌△BCE （AAS ），∴OA ＝BE ＝4，CE ＝OB ＝3，∴OE ＝BE ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴点C 的坐标为（3，1），∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象过点C ，∴k ＝xy ＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y ＝．故答案为：y ＝．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D 的坐标是解题的关键．三、解答题：（17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9分，共52分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣2）﹣16＝0（2）5x +2x ﹣1＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x ﹣2）﹣16＝0，∴（x ﹣2）＝16，∴x ﹣2＝4或x ﹣2＝﹣4，2222解得：x 1＝﹣2，x 2＝6；（2）∵a ＝5，b ＝2，c ＝﹣1，∴△＝2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，则x ＝即x 1＝＝，x 2＝，．2【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（6分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm ，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1：2；（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC 相似（树干对应BC 边），求原树高（结果保留根号）【分析】（1）在OA ，OB ，OC 上分别截取OA ′＝OA ，OB ′＝OB ，OC ′＝OC ，首尾顺次连接A ′，B ′，C ′即为所求；（2）先得出OB ＝OC ＝4，BC ＝4代入求出EF 即可得答案．【解答】解：（1）如图1所示，△A ′B ′C ′即为所求．，∠ABC ＝∠DEF ＝45°，从而由△DEF ∽△ABC 知＝，（2）∵OB ＝OC ＝4，∴∠OBC ＝∠DEF ＝45°，BC ＝∵△DEF ∽△ABC ，∴＝，即＝，米．，＝4，∴EF ＝2答：原树高为2【点评】此题考查了位似三角形的作法和勾股定理等知识，得出位似图形的对应点的坐标是解题关键．19．（7分）阅读对话，解答问题：（1）分别用a 、b 表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a ，b ）的所有取值；（2）求在（a ，b ）中使关于x 的一元二次方程x ﹣ax +2b ＝0有实数根的概率．【分析】（1）用列表法易得（a ，b ）所有情况；（2）看使关于x 的一元二次方程x ﹣ax +2b ＝0有实数根的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）（a ，b ）对应的表格为：ab1234（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）22123（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（2）∵方程x ﹣ax +2b ＝0有实数根，∴△＝a ﹣8b ≥0．∴使a ﹣8b ≥0的（a ，b ）有（3，1），（4，1），（4，2），∴．222【点评】如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝．注意本题是放回实验；一元二次方程有实数根，根的判别式为非负数．20．（8分）已知，如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两线交于点P ．①求证：四边形CODP 是菱形．②若AD ＝6，AC ＝10，求四边形CODP 的面积．【分析】①根据DP ∥AC ，CP ∥BD ，即可证出四边形CODP 是平行四边形，由矩形的性质得出OC ＝OD ，即可得出结论；②根据勾股定理可求CD ＝8，由S△COD ＝S △ADC ＝××AD ×CD ＝12＝S 菱形CODP ，可求四边形CODP 的面积．【解答】证明：①∵DP ∥AC ，CP ∥BD∴四边形CODP 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，OD ＝BD ，OC ＝AC ，∴OD ＝OC ，∴四边形CODP 是菱形．②∵AD ＝6，AC ＝10∴DC ＝∵AO ＝CO ＝8∴S △COD ＝S △ADC ＝××AD ×CD ＝12∵四边形CODP 是菱形，∴S △COD ＝S 菱形CODP ＝12，∴S 菱形CODP ＝24【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC ＝OD 是解决问题的关键．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），已知A 点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x ＞的解集；（3）将直线l 1：y ＝x 沿y 向上平移后的直线l 2与反比例函数y ＝在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为30，求平移后的直线l 2的函数表达式．【分析】（1）直线l 1经过点A ，且A 点的纵坐标是2，可得A （﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k 的值；（2）依据直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，即可得到不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，依据CD ∥AB ，即可得出△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，求得D （15，0），即可得出平移后的直线l 2的函数表达式．【解答】解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，∴B （4，﹣2），∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30，∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D （15，0），设平移后的直线l 2的函数表达式为y ＝﹣x +b ，把D （15，0）代入，可得0＝﹣×15+b ，解得b ＝，．∴平移后的直线l 2的函数表达式为y ＝﹣x +【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，得到D 点的坐标为（15，0）．22．（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数不超过30件超过30件销售价格单价40元每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40＝1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x [40﹣（x ﹣30）×0.5]＝1400，解得：x 1＝40，x 2＝70，∵x ＝70时，40﹣（70﹣30）×0.5＝20＜30，∴x ＝70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．23．（9分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为lcm /s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ ＝5﹣2t ，BP ＝t ；（用含t 的代数式表示）②设△PBQ 的面积为y （cm ），试确定y 与t 的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△PBQ 的面积为△ABC 面积的二分之一？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPQ 为等腰三角形？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由．2【分析】（1）①先利用勾股定理求出AB ，即可得出结论；②先作出高，进而得出△BDQ ∽△BCA ，表示出DQ ，最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）先求出△ABC 的面积，再利用△PBQ 的面积为△ABC 面积的二分之一，建立方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①在Rt △ABC 中，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，根据勾股定理得，AB ＝5cm ，由运动知，BP ＝t ，AQ ＝2t ，∴BQ ＝AB ﹣AQ ＝5﹣2t ，故答案为：5﹣2t ，t ；②如图1，过点Q 作QD ⊥BC 于D ，∴∠BDQ ＝∠C ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△BDQ ∽△BCA ，∴∴，，∴DQ ＝（5﹣2t ）∴y ＝S △PBQ ＝BP •DQ ＝×t ×（5﹣2t ）＝﹣t +t ；（2）不存在，理由：∵AC ＝3，BC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，由（1）知，S △PBQ ＝﹣t +t ，22∵△PBQ 的面积为△ABC 面积的二分之一，∴﹣t +t ＝3，∴2t ﹣5t +10＝0，∵△＝25﹣4×2×10＜0，∴此方程无解，即：不存在某一时刻t ，使△PBQ 的面积为△ABC 面积的二分之一；（3）由（1）知，AQ ＝2t ，BQ ＝5﹣2t ，BP ＝t ，∵△BPQ 是等腰三角形，∴①当BP ＝BQ 时，∴t ＝5﹣2t ，∴t ＝，②当BP ＝PQ 时，如图2过点P 作PE ⊥AB 于E ，∴BE ＝BQ ＝（5﹣2t ），∵∠BEP ＝90°＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△BEP ∽△BCA ，∴，22∴∴t ＝，③当BQ ＝PQ 时，如图3，过点Q 作QF ⊥BC 于F ，∴BF ＝BP ＝t ，∵∠BFQ ＝90°＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△BFQ ∽△BCA ，∴，∴∴t ＝，，即：t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
深圳市南山外国语学校2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)
深圳市南山外国语学校2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm 2．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)4．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°5．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90 B ．90，90C ．88，95D ．90，956．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ） A ．45B ．34C ．43D ．357．下列方程有两个相等的实数根是（ ） A ．x 2﹣x +3＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2﹣2x +1＝0D ．x 2﹣4＝08．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)（a >0,b >0），若AB=2且∠ACB 最大时，b 的值为（ ）A ．226+B ．226-+C ．242+D ．242 9．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定10．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( ) A ．在⊙O 的内部 B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm 12．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6 13．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣1＝0B ．x 2+x +1＝0C ．x 2+1＝0D ．x 2+2x +1＝014．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2 15．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）A ．11B ．12C ．9D ．10二、填空题16．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．17．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.18．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.19．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ．20．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）21．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.22．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．23．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．24．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．25．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______． 26．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______.27．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．28．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．29．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．30．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．三、解答题31．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅； （2）若3AB =8AD =，求DG 的长.32．如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，求山高AD 的长度．（测角仪高度忽略不计）33．如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3tan 4BCD ∠=，求EF 的长. 34．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ． 35．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？四、压轴题36．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．37．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．38．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（13D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C 但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，（1）求证：AE=DE；（2）若PB=2，求AE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．（1）求m，n的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【解析】【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝12AB，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝12AB＝4cm，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．∴该输水管的半径为5cm；故选：B．【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用. 2．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．3．C解析：C【解析】令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.5．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．6．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴2222AB AC BC345=+=+=,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值. 7．C解析：C【解析】【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．【详解】A、x2﹣x+3＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、x2﹣2x+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；D、x2﹣4＝0，△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．解析：B【解析】【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可.【详解】解：∵AB=42，A(0,2)、B(a ,a +2)∴22(22)42a a ++-=， 解得a =4或a =-4（因为a >0，舍去）∴B(4,6)，设直线AB 的解析式为y=kx+2，将B(4,6)代入可得k =1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值. 如下图，G 为AB 中点，()2,4G ，设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+，将()2,4G 代入可得6m =，所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+，由FC FB =，可知()()()2226466b b b -+=-+-+-，解得262b =（已舍去负值）.故选：B.本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.9．C解析：C【解析】【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.10．D解析：D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r 的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，解得d≤1，∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.11．B解析：B【分析】由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．12．C解析：C【解析】【分析】二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．【详解】∵1a =，4b =，c n =，根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，解得：n =4，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿＜0时，抛物线与x 轴没有交点．13．A解析：A【解析】逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：在x 2﹣x ﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；在x 2+x +1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B 不符合题意； 在x 2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C 不符合题意； 在x 2+2x +1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D 不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．14．D解析：D【解析】【分析】根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．【详解】解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=12AD ， ∴12EF FC =． 故选D ．15．D解析：D【解析】【分析】利用平均数的求法求解即可．【详解】这组数据10，9，10，12，9的平均数是1(10910129)105++++=【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．二、填空题16．6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．解析：6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵点D坐标为(4，3)，∴OD22345，∵Rt△ABO中，OE＝12AB＝12×4＝2，∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．17．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=15 2AB= ,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=15 2MN,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=13 2BC=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=14 2AC,∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴∴由勾股定理得，CN=∴sin∠DEC=25 CNCE.25. 【点睛】 本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.18．【解析】【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出D E=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根 31【解析】【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.【详解】如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD,∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,∵AN=BN,∴△EAN ≌BMN,∴AE=BM,EN=MN,∵90DNM ∠=︒,∴DN ⊥EM,∴DE=DM,∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF∴△ABM ≌△DCF,∴BM=CF,设BM=x,则DE=DM=4+x,在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,∴(4+x)2-42=4 2-x 2, 解得，x 1=232-,x 2=232（不符合题意，舍去） ∴DM=232+，∴90DNM ∠=︒∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM,∴其外接圆的半径长为1312DM .31.【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X 字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.19．2－2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP=AB ，代入运算即可．【详解】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP=4×=cm ，故答案为解析：52【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP=12AB ，代入运算即可． 【详解】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点，且AP 是较长线段；则=)21cm ，故答案为：（2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的12，难度一般． 20．【解析】抛物线的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .故答案为>解析：12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为> 21．24【解析】【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交A C 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根解析：24【解析】【分析】根据题意做图，圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值，作EK ⊥BC 于K 点，利用△BEK ∽△BHC ，求出BK 的长，即可求出EF 的长，再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ，即可求出△EFG 的面积.【详解】 如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ．∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，∴AB=2212915+=根据圆的性质可知BH 平分∠ABC∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2即AH 2=HM 2+AM 2（12-x ）2=x 2+62解得x=4.5∵EK ∥AC ，∴△BEK ∽△BHC ，∴EK BK HC BC =，即14.59BK = ∴BK=2，∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ， ∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ，∴△EFG ∽△ACB ，故EF FG BC AC =,即6912FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=12×8×6=24, 故答案为24.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.22．【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，三月份的产量为：.【详解】二月份的产量为：，三月份的产量为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟解析：2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 23．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n 行n 个数，故前n 个数字的个数为：1+2+3+…+n ＝(1)2n n +， ∵当n ＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4， ∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.24．【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．【详解】解：∵解析：2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．25．-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m 是关于x 的方程x2解析：-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m 2-2m-3=0，变形得m 2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m 2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，∴m 2-2m-3=0，∴m 2-2m=3，∴4m-2m 2+2= -2（m 2-2m ）+2= -2×3+2= -4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．26．.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的 解析：mx ny m n++. 【解析】【分析】 根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】 平均数等于总和除以个数，所以平均数mx ny m n+=+. 【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法. 27．10【解析】【分析】当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：∵∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．则OA解析：【解析】【分析】当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．则．故答案是：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．28．【解析】【分析】分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100解析：9π【解析】【分析】分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算SS半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，∴P（飞镖落在圆内）=100==9009SSππ半圆正方形，故答案为：9π.【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．29．8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，∴0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝3，解析：8【解析】【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，∴0＝x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0），∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4），∴△ABC 的面积＝12×4×4＝8， 故答案为8．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中． 30．y ＝﹣（x+1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】解析：y ＝﹣（x +1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为()212y a x +-=，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），设平移后函数的解析式为()212y a x +-=，∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），∴﹣3＝a ﹣2，解得a ＝﹣1，∴平移后函数的解析式为()212y x +=--，故答案为()212y x +=--．本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。
2019-2020学年广东省深圳市南山区第二外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省深圳市南山区第二外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A．B．C．2a＝3b D．3a＝2b2．（3分）关于x的一元二次方程的两根分别为x1＝﹣3，x2＝2，则这个方程可以为（）A．（x﹣3）（x﹣2）＝0B．（x+3）（x+2）＝0C．（x﹣3）（x+2）＝0D．（x+3）（x﹣2）＝03．（3分）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线相等的四边形是矩形C．平行四边形的对角线互相平分D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形4．（3分）△ABC中，∠C＝90°，sin A，则tan A的值是（）A．B．C．D．5．（3分）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣26．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若AC＝6，则DE的长为（）A．3B．3C．2D．47．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3B．4C．5D．69．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+2）2+5D．y＝（x﹣4）2+5 10．（3分）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A．B．C．2D．11．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）如图，一个物体沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时物体距离地面的高度为m．14．（3分）如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝2：3，则AF：AC＝．15．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＜，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两个根，则x1*x2＝．16．（3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则．三、解答题（共52分）17．（9分）计算题。
广东省深圳市百合外国语学校2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷
广东省深圳市百合外国语学校2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．2356x x -= B ．120x-=C ．224x y +=D ．610x +=2．若34a b =，则下列等式错误的是（ ） A ．43a b = B ．:4:3a b =C ．34a b =D ．74a b b += 3．如图，在正方形ABCD 外侧作等边ADE V ，则AEB ∠的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．20°D ．10°4．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A ．四边相等B ．对角线相等C ．对角相等D ．邻角互补5．一元二次方程2430x x +-=中一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，3-B ．0，3-C ．1，3-D ．1，06．如图，点D 是ABC V 的边AB 上的一点，连接DC ，则下列条件中不能判定ABC ACD V V ∽的是（ ）A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC ABCD BC= D ．AC ABAD AC=7．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为（ ）A ．1(1)2312x x +=B ．2(1)231x x -=C ．(1)2312x x -=⨯D ．(1)231x x -=8．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ．则下列结论：①90AME ∠=︒，②BAF EDB ∠=∠，③23AM MF =，④ME MF +．其中正确结论的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则实数c 的值为． 10．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是（结果精确到0.1）． 11．如图，直线a ∥b ∥c ，则图中x 的值为 ．12．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，DE AB ⊥于点E ，则DE 的长为．13．如图，在矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点E 为直线BC 下方一点，且以BC 为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC ，点F 是CD 的中点，则EF 的最大值为．三、解答题 14．解下列方程： (1)2210x x --=； (2)()()3121x x x -=-15．数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A ，B ，C ，D ，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；(2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．16．已知：关于x 的一元二次方程()2223320x k x k k -++++=．(1)证明无论k 取何值时方程总有两个实数根．(2)ABC V 中，=5BC ，AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，求k 为何值时，ABC V 是等腰三角形？17．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，,DE AC CE BD ∥∥，连接BE ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若60,4DCA DC ∠=︒=，求EBC V 的面积．18．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 19．问题引入： 如图①，AB CD ∥，AB CD >，90ABD??，E 是线段AC 的中点，连接DE 并延长交AB 于点F ，连接BE ．则BE 与DE 之间的数量关系是______；问题延伸：如图②，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，点G 在BC 上，P 是线段DF 的中点，连接PC 、PG ．（1）判断PC 与PG 之间的数量关系，并说明理由；（2）连接CF ，若3AB =，PC =CF 的长为 ．20．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数a ，b ，可作如下变形： ∵a b +22=+22=+-2=+又∵20≥∴20++即a b +≥根据上述内容，回答问题：23+______143+______66+______(用“=”“>”“<”填空) 【思考验证】如图1，ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，CO 为AB 边上中线，2AD a =，2DB b =，试根据图形验证a b +≥【探索应用】(1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图2所示，为了围成面积为2300m 的花圃，所用的篱笆至少为多少米？(2)如图3，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB V ，COD V 的面积分别是5和16．试问四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出．．．．四边形ABCD面积的最小值；若不存在，请说明理由．。
广东省深圳市坪山区同心外国语学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试卷(解析版)
2022—2023学年广东省深圳市坪山区同心外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G 基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G 网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）A. 21.610×B. 51.610×C. 61.610×D. 71.610×【答案】C【解析】【分析】科学记数法表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解答：解：160万=1600000=61.610×，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A 、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；B 、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；C 、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；D 、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．的3. 如图，直线AB CD EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF的值是（ ） A. 34 B. 43 C. 37 D. 47【答案】C【解析】【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．详解】解：∵AB CD EF ∴BD AC BF AE= ∵AC =3，CE =4 ∴37BD BF =， 故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例． 4. 关于方程2310x x −−=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断 【答案】A【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵方程2310x x −−=中的1a =，3b =−，1c =−，∴()()2243411130b ac ∆==−−××−=>﹣，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式24b ac ∆=−来判断，若0∆>，则有两个不相等的实数根；=0∆，则有两个相等的实数根；Δ0<，则无实数根．5. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 对角线相等的菱形是正方形D. 一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．【详解】解：A 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A 选项不符合题意；B 、矩形的对角线相等，故B 选项不符合题意；C 、对角线相等的菱形是正方形，故C 选项符合题意；D 、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键．6. 点()43，−在反比例函数k y x=的图象上，则在此图象上的是点（ ） A. ()43，B. ()26−−，C. ()26−，D. ()34−−，【答案】C【解析】 【分析】根据点()43，−在反比例函数k y x=的图象上，求出k ，再根据=k xy 判断即可． 【详解】解：∵点()43，−在反比例函数k y x =的图象上， ∴()4312xy k ==×−=−，∴只有12=−xy 才符合要求，∴只有C 符合要求：2612−×=−．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7. 一次函数1y ax =+与反比例函数a y x=−在同一坐标系中的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】A 选项可以根据一次函数与y 轴交点判断，其他选项根据图象判断a 的符号，看一次函数和反比例函数判断出a 的符号是否一致；【详解】一次函数与y 轴交点为（0，1），A 选项中一次函数与y 轴交于负半轴，故错误；B 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者一致，故B 选项正确；C 选项中，根据一次函数y 随x 增大而增大可判断a >0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者矛盾，故C 选项错误；D 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过二、四象限，则-a <0，即a >0，两者矛盾，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．8. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸，问井深几何？”它的题意可以由如图获得，则井深BC 为多少尺．（1尺=10寸）（ ）A. 40B. 45C. 50D. 55【答案】B【解析】 【分析】根据题意可知∽ ABF ACD ，根据相似三角形的性质可求AC ，进一步得到井深．【详解】解：依题意有∽ ABF ACD ，∴::AB AC BF DC =，即5:0.5:5AC =，解得50AC =，∴50545BC AC AB −−（尺）．故选：B ．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到∽ ABF ACD ．9. 如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作的∠BAD 平分线交BC 于点E ，若AE=8，AB=5，则BF 的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据尺规作图可得四边形ABEF 为菱形，故可根据勾股定理即可求解.【详解】连接EF ，设AE 、BF 交于O 点，∵AE 平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE ，又AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB,∴∠AEB=∠BAE ，∴AB=BE ，故AF=BE ，又AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是菱形，故AE ⊥BF ，∵AE=8，AB=5∴BF=2BO=6=故选C【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用.10. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE ，AD 于点N ，H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=°；②2N P O D H H =⋅；③Q OAD ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有（ ）个．.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】①由“ASA ”可证ANO DFO △≌△，可得ON OF =，由等腰三角形的性质可求45AFO ∠=°；④由外角的性质可求NAO AQO ∠=∠；②由“AAS ”可证OKG DFG △≌△，可得GO DG =；③通过证明AHN OHA △∽△，可得，进而可得结论2N P O D H H =⋅． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AO DO CO BO ===，AC BD ⊥，∵90AOD NOF ∠=∠=°，∴AON DOF ∠=∠，∵90OAD ADO OAF DAF ADO ∠+∠=°=∠+∠+∠，∵DF AE ⊥，∴90DAF ADF DAF ADO ODF ∠+∠=°=∠+∠+∠，∴OAF ODF ∠=∠，∴()ASA ANO DFO ≌，∴ON OF =，∴45AFO ∠=°，故①正确；如图，过点O 作OK AE ⊥于K ，∵2CE DE =，∴3AD DE =， ∴1tan 3DE DF DAE AD AF ∠===， ∴3AF DF =，∵ADO DFO △≌△，∴AN DF =，∴2NF DF =，∵ON OF =，90NOF ∠=°， ∴12OKKN KF FN ===， ∴DF OK =， 又∵OGK DGF ∠=∠，90OKG DFG ∠=∠=°，∴()AAS OKG DFG ≌，∴GO DG =，故④正确；∵45DAO ODC ∠=∠=°，OA OD =，AOH DOP ∠=∠，∴()ASA AOH DOP ≌，∴AH DP =，45ANH FNO HAO ∠=∠=°=∠，AHN AHO ∠=∠，∴AHN OHA △∽△， ∴AH HN HO AH=， ∴2AH HO HN =⋅，∴2N P O D H H =⋅，故②正确； ∵45NAO AON ANQ ∠+∠=∠=°，45AQO AON BAO ∠+∠=∠=°，∴Q OAD ∠<∠，故③错误．综上，正确的是①②④．故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题11. 已知235a b c ==，则a b c +的值为_____． 【答案】1【解析】 【分析】由比例的性质，设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，设235a b c k ===， ∴2a k =，3b k =，5c k =， ∴2315a bk k c k++==， 故答案为：1．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12. 在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，他们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次实验发现摸到红球的频率稳定在0.2附近，据此估计袋中黄球的个数约为 ___个．【答案】20【解析】【分析】设袋中黄球的个数有x 个，根据摸到红球的频率稳定在0.2附近，列出方程即可解决问题．【详解】设袋中黄球的个数有x 个，根据题意，得：50.25x=+， 解得20x =，经检验20x =是原方程的解，∴估计袋中黄球的个数约为20个．故答案为：20．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式的简单运用，理解用频率估计概率是解题的关键． 13. 在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m ，高1.4m 的竹竿在水平地面的影子长1m ，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离CD 为2m ，那么这棵大树高___________m ．【答案】9【解析】【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE ，再求AB 即可．【详解】解：延长AD 交BC 延长线于E ，根据同一时刻影长与物高成比例可得CE ：CD=1：1.4，∵CD=2m ，∴CE=107m ， ∴BE=BC+CE=5+107=457m ， ∴BE ：AB=1:1.4，∴AB=9m ．故答案为：9．【点睛】本题考查平行投影问题，掌握平行摄影的原理是同一时刻影长与物高成比例是解题关键．14. 对实数a ，b 定义新运算“*”如下：()()a a b a b b a b ≤ ∗= > ，如322∗=，(，若2560x x +−=的两根为1x ，2x ，则12x x ∗=__________． 【答案】6−【解析】【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：2560x x +−=，()()160x x −+=， 解得：11x =，26x =−，∵12x x >，∴根据题中的新定义得：126x x ∗=−．故答案为：6−．【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．15. 如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴上滑动，8AB =，3BC =．当OD 最大时，点D 的坐标是__________．【答案】 【解析】【分析】取AB 的中点M ，连接MO ，MD ，OD ，则OM MD OD +≥，故当OM MD OD +=时，OD 取得最大值，所以当O 、M 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，证明ADF DOF △∽△，可得3193DF AD OF OD ===，所以3OF DF =，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB 的中点M ，连接MO ，MD ，OD ，则OM MD OD +≥，故当OM MD OD +=时，OD 取得最大值，所以当O 、M 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，∵3AD BC ==，142AM AB ==，∴5DM ==，∴549OD DM OM =+=+=，∵90FDA FAD ∠+∠=°，90FAD OAB∠+∠=°， ∴FDA OAB ∠=∠，∵M 为AB 的中点，90AOB ∠=°，∴AM OM =，∴FOD OAB ∠=∠，∴FDA FOD ∠=∠，∵AFD OFD ∠=∠，∴ADF DOF △∽△， ∴3193DF AD OF OD ===， ∴3OF DF =，∵222DF OF OD +=，∴21081DF =，∴DF =，∴OF =，∴D ．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．三、解答题16. 解方程：（1）2230x x +−=（2）()()3121x x x −=−．【答案】（1）x 1=-3，x 2=1；（2）x 1=1，x 2=23−【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）移项后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+2x -3=0，∴（x +3）（x -1）=0，则x +3=0或x -1=0，解得x 1=-3，x 2=1；（2）∵3x （x -1）=2（1-x ），∴3x （x -1）=-2（x -1），∴3x （x -1）+2（x -1）=0，则（x -1）（3x +2）=0，∴x -1=0或3x +2=0，解得x 1=1，x 2=23−． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,2A −−，()5,4B −−，()1,5C −−．（1）画出ABC 关于原点对称的111A B C △；（2）以点O 为位似中心，将ABC 放大为原来的2倍得到222A B C △，请在已有网格中画出222A B C △，并直接写出点2B 的坐标__________．【答案】（1）详见解析（2）图见解析，()10,8【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标找出1A 、1B 、1C 的坐标，然后顺次连接1A 、1B 、1C 即可；（2）把A 、B 、C 的横纵坐标都乘以2−得到2A 、2B 、2C 的坐标，然后顺次连接2A 、2B 、2C 即可．【小问1详解】解：如图，111A B C △为所作；【小问2详解】如图，222A B C △为所作，点2B 的坐标为()10,8． 故答案为：()10,8．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k −．也考查了关于原点的中心对称变换．18. 电子政务、数字经济、智慧社会……一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表 组别成绩x （分） 人数 A6070x ≤< 10 B 7080x ≤<m C 8090x ≤< 16D 90100x ≤≤4请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m =__________；统计图中n =__________，D 组的圆心角是__________度．（2）D 组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D 组随机抽取2名学生参加5G 体验活动，请你画出树状图或用列表法求恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G 体验活动的概率．【答案】（1）20，32，28.8；（2）23 【解析】【分析】（1）由A 组的人数除以所占百分比求出该校八年级参加竞赛的学生人数，即可解决问题； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G 体验活动的结果有8种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）该校八年级参加竞赛学生人数为：10÷20%=50（人），∴m =50-10-16-4=20，n %=16÷50×100%=32%，D 组圆心角为：360°×450=28.8°， ∴n =32，故答案为：20，32，28.8；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G 体验活动的结果有8种，∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G 体验活动的概率为82123=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布统计表和扇形统计图． 19. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020的的年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【答案】（1）平均下降率为10%（2）单价应降低15元【解析】【分析】（1）设平均下降率为x ，利用2021年该类电脑显卡的出厂价2019=年该类电脑显卡的出厂价×（1−下降率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设单价应降低m 元，则每个的销售利润为()38m −元，每天可售出()202m +个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值即可得出结论．【小问1详解】解；设平均下降率为x ，依题意得：()22001162x −=， 解得：10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%；【小问2详解】解：设单价应降低m 元，则每个的销售利润为()()20016238m m −−=−元，每天可售出()2062023m m +×=+个，依题意得：()()382021150m m −+=， 整理得：2281950m m −+=，解得：115m =，213m =，∵为了减少库存，∴15m =，答：单价应降低15元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，已知ABCD Y 的对角线AC 、BD 交于点O ，且∠1=∠2．（1）求证：ABCD Y 是菱形．（2）F 为AD 上一点，连接BF 交AC 于E ，且AE =AF ，若AF =3，AB =5，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6BD =【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形来证明即可求出答案；（2）根据三角形中等边对等角找出菱形中对角线AB 的长，再根据菱形的性质得到对角线相互垂直找出直角三角形ABO ，最后利用勾股定理即可求出答案．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ，∴AD BC ∥，∴2ACB ∠=∠ ，∵12∠=∠ ，∴1ACB ∠=∠ ，∴BA BC =，且四边形ABCD 是平行四边形 ，故ABCD Y 是菱形．【小问2详解】解：∵ABCD Y 是菱形，5AB = ，∴AD BC ∥ ，OA OC =，OB OD =，5AB BC ==，AC BD ⊥，∴AFE EBC ∠=∠，∵3AF AE ==，∴AEF AFE ∠=∠，∵AEF CEB ∠=∠，∴CBE CEB ∠=∠ ，∴5CB CE ==，∴8AC AE CE =+=， ∴142OA AC ==， ∵AC BD ⊥，∴90AOB ∠=°，在Rt AOB 中，根据勾股定理得，22222543OB AB OA =−=−=，∴26BD OB ==．故6BD =．【点睛】本题主要考查菱形的判断和性质．在平行四边形中根据角和边的关系证明平行四边形是菱形，再根据菱形的性质找出直角三角形，最后解直角三角形即可求出答案，理解和掌握菱形的判断、性质、勾股定理是解题的关键．21. 如图，直线32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A B ，两点，点A 的坐标为(),3m −，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD =．（1）求k 的值并直接写出点B 的坐标；（2）点G 是y 轴上的动点，连接GB GC ，，求GB GC +的最小值；（3）P 是x 轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P Q ，，使得A B P Q ，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6k =，()2,3（2）（3）存在，点P 的坐标为13,02或13,02 −或()或)【解析】 【分析】（1）将点A 的坐标为(),3m −代入直线32y x =中，可求得()2,3A −−，即可求得6k =，解方程组，即可求出点B 的坐标； （2）如图1，作BE x ⊥轴于点E ，CF x ⊥轴于点F ，则BE CF ∥，DCF DBE △∽△，利用相似三角形性质即可求得()6,1C ，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接B C ′交y 轴于点G ，则B C ′即为BG GC +的最小值，运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：当点P 在x 的正半轴上时，当点P 在x 的负轴上时，如图2，设点1P 的坐标为(),0a ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，通过1OBE OPB △∽△，建立方程求解即可．【小问1详解】解：将点A 的坐标为(),3m −代入直线32y x =中， 得332m −=，解得：2m =−，∴()2,3A −−，∴()236k =−×−=， ∴反比例函数解析式为6y x=， 由326y x y x= = ，得23x y =− =− 或23x y = = ， ∴点B 的坐标为()2,3；【小问2详解】如图1，作BE x ⊥轴于点E ，CF x ⊥轴于点F ，∴BE CF ∥，∴DCF DBE △∽△， ∴DC CF DB BE=， ∵2BC CD =，3BE =， ∴13CD DB =， ∴133CF =， ∴1CF =，∴()6,1C ，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接B C ′交y 轴于点G ， 则B C ′即为BG GC +的最小值，∵()2,3B ′−，()6,1C ，∴B C ′=，∴BG GC B C ′+==；【小问3详解】存在．理由如下：当点P 在x 的正半轴上时，如图2，设点1P 的坐标为(),0a ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵190OEB OBP ∠=∠=°，1BOE POB ∠=∠， ∴1OBE OPB △∽△， ∴1OB OE OP OB =， ∵()2,3B ，∴OB == ∴132a =， ∴点1P 的坐标为13,02， 当点P 在x 的负轴上时，如图2，设点2P 的坐标为(),0a ，过点A 作AH x ⊥轴于点H ，同理证得点2P 的坐标为13,02 −， 当四边形33AP BQ 或是矩形四边形44AP BQ时，4OA OP ==∴点P 的坐标为()或)，综上所述，点P 的坐标为13,02 或13,02 − 或()或)． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．22. 如图，已知：在矩形ABCD 中，3cm AB =，4cm BC =，点P 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为2cm/s ；与点P 同时，点Q 从D 点出发，沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；过点Q 作QE AC ∥，交DC 于点E ，设运动时间为()s t ，()02t <<，解答下列问题：（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQ 平分APC ∠？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（2）设五边形APCEQ 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使PQE V 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t =（2）()23312028y t t t =−−+<< （3）存在，t 的值为2823或712时，PQE V 是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质，得AP AQ =，运用勾股定理建立方程求解即可；（2）根据QE AC ∥，可得DQE DAC △∽△，分别用含t 的代数式表示出ABP S △，QDE S △，ABCD S 矩形，再利用ABP QDE ABCD APCEQ yS S S S ==−−△△矩形五边形，即可解决问题； （3）分三种情况讨论：①当90QEP ∠=°时，先证明QDE ECP △∽△，根据相似三角形性质建立方程求解即可；②当90PQE ∠=°时，过点P 作线段PI AD ⊥于点I ，根据QDE PIQ △∽△，建立方程求解；③当90QPE ∠=°，不满足题意．【小问1详解】解：如图1，当PQ 平分APC ∠，有APQ CPQ ∠=∠，∵矩形ABCD 中，3cm AB =，4cm BC =，∴AD BC ∥，4cm AD BC ==，3cm ==AB CD ，90B??，∴CPQ AQP ∠=∠，∴APQ AQP CPQ ∠=∠=∠，∴AP AQ =，∴22AP AQ =，由题意知：2cm BP t =，cm DQ t =，∴()4cm AQ AD DQ t =−=−，∵90B ??，∴()2222232AP AB BP t =+=+，∴()()222324t t +=−，解得：1t =2t =，∵02t <<，∴t =∴当t =PQ 平分APC ∠；【小问2详解】解：如图2，当P 、Q 运动时间为t s 时，2cm BP t =，cm DQ t =，∵QE AC ∥，∴DQE DAC △∽△， ∴DQ DE DA DC =， ∴43t DE =， ∴3cm 4DE t =， ∴()211323cm 22ABP S AB BP t t =⋅=××=△， ()22133cm 248QDE S t t t =×=△， ∵()23412cm ABCD AB B S C =⋅=×=矩形， ∴()23123028ABP QDE ABCD APCEQ y S S S S t t t −−−−<<△△矩形五边形，∴y 与t 的函数关系式为：()23312028y t t t =−−+<<； 【小问3详解】解：①当90QEP ∠=°，如图3，∵90QED EQD °∠+∠=，90QED CEP∠+∠=°，∴CEP EQD ∠=∠， ∵90QDE ECP ∠=∠=°， ∴QDE ECP △∽△，当运动时间为t s 时，∵cm QD t =，由（2）可知，3cm 4DE t =， ∴33cm 4EC DC DE t =−=−， ∵2cm BP t =， ∴()42cm CPt =−， ∴QD DE EC CP =， ∴3434234t t t t =−−， 解得：2823t =或0=t （舍去）， ∴2823t =； ②当90PQE ∠=°时，如图4，过点P 作线段PI AD ⊥于点I ，∵90EQD PQI ∠+∠=°，90QED EQD °∠+∠=，∴PQI QED ∠=∠， ∵90QDE PIQ ∠=∠=°， ∴QDE PIQ △∽△，当运动时间为t s 时，∵cm QD t =，由（2）可知，3cm 4DE t =， ∵2cm BPAI t ==， ∴()4243cm QI AD QD AI t t t =−−=−−=−，∵3cm PIAB ==， ∴PI IQ QD DE=， ∴34334t t t −=， 解得：712t =或0=t （舍去）， ∴712t =； ③当90QPE ∠=°，不满足题意， 综上所述，t 的值为2823或712时，PQE V 是直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，二次函数解析式，直角三角形性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用方程思想和分类讨论思想思考问题是解题关键．。
2019-2020学年天津外国语大学附属外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)
2019-2020学年天津外国语大学附属外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列安全标志图中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.已知1≤x≤52，那么函数y=−x2+4x−3的最大值为()A. 0B. 34C. 1 D. 523.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得抛物线的解析式是()A. y=(x−1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=x2+1D. y=x2+34.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y35.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=bx2+ax的图象可能是()A. B.C. D.6.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3,60°)或P(3,−300°)或P(3,420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是()A. Q(3,240°)B. Q(3,−120°)C. Q(3,600°)D. Q(3,−500°)7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的有()个①abc>0②4ac−b2<0③3b+2c<0④a−b+c>0A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.一条抛物线的对称轴是直线x=−1，点A(−3,3)，B(1.5,5.25)，C(−1,−1)在该抛物线上，当−3≤x≤1.5时，则下列说法正确的是()A. 有最小值−1，有最大值3B. 有最小值−1，有最大值5.25C. 有最小值3，有最大值5.25D. 有最小值−1，没有最大值9.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac>0；②a+b+c<0；③a=c−2；④方程ax2+bx+ c=0的根为−1.其中正确的结论为()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④10.如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB−BA、CD−DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t(s)，△AEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=．12.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．13.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y=0时，x的值是___．x…−1012…y…0343…14.x2215.如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n−1B n都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点)，则△A2011B2010B2011的腰长=______．16.如果二次函数y=x2+2kx+k−4的图象的对称轴为x=3，那么k=________．17.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BO′，下列结论正确的有.(填序号) ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到; ②点O与点O′的距离为4; ③∠AOB=150∘; ⑤S△AOC+S△AOB=6+9√3 418.“龟、蟹赛跑趣事”：某天，乌龟和螃蟹在同一直线道路上同起点、同方向、同时间出发，分别以不同的速度匀速跑500米．当螃蟹领先乌龟300米时，螃蟹停下来休息并睡着了，当乌龟追上螃蟹的瞬间，螃蟹惊醒了(惊醒时间忽略不计)，立即以原来的速度继续跑向终点，并赢得了比赛．在比赛的整个过程中，乌龟和螃蟹的距离y(米)与乌龟出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，则螃蟹到达终点时，乌龟距终点的距离是_______米．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.县城某茶叶专卖店经销一种茶叶，该种茶叶的成本价是240元/kg，已知每月的销量y与销售单价x之间满足一次函数关系．且茶叶的销售单价不得低于成本价．下面是某段时间销售单价与销量之间的关系对应表．销售单价(x元/kg)…360370…每月的销售y(kg)…10095…(2)受物价上涨因素和销售其他因素的影响，茶叶专卖店想把该种茶叶的销售单价x控制在不低于440元/kg，不高于500元/kg，当销售单价定为多少时，当月销售获得的利润最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共3小题，共28.0分）20.已知关于x的方程x2−2mx+3m=0有两个实数根是x1，x2，且(x1−x2)2=16，如果关于x的另一个方程x2−2mx+6m−9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值．21.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，过A(1,0)作x轴的垂线，交抛物线y=−43x2+133x于点C，D(3,a)为抛物线上一点，点M为线段OD上的一个动点，MN//AC交抛物线于点N．(1)求直线OD的解析式；(2)若四边形ACNM为平行四边形，求点M的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】此题考查中心对称的概念，根据中心对称的概念求解．【解答】解：A.不符合中心对称图形的概念，故此选项错误；B.符合中心对称图形的概念，故此选项正确；C.不符合中心对称图形的概念，故此选项错误；D.不符合中心对称图形的概念，故此选项错误．故选B2.答案：C解析：【分析】本题考查了二次函数的最值．属于基础题．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1．∴该抛物线的对称轴是x=2，∵1⩽x⩽5，2∴当x=2时，y最大=1．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先利用二次函数的性质得到抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，再根据点平移的规律得到点(0,2)平移后所得对应点的坐标为(0,1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，点(0,2)向下平移1个单位长度所得对应点的坐标为(0,1)，所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+1，故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与P2(3,y2)关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．【解答】解：∵y=−x2+2x+3，=1，∴对称轴为x=−b2aP2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3<5，∴y2>y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与P2(3,y2)关于对称轴对称，故y1=y2>y3，故选D．5.答案：A解析：解：若a>0，b>0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=bx2+ax开口向上，顶点在y 轴左侧，故B、C错误；若a<0，b<0，则y=ax+b经过二、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴左侧，故D错误；若a>0，b<0，则y=ax+b经过一、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴右侧，故A正确；故选：A．根据a、b的正负不同，则函数y=ax+b与y=bx2+ax的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．6.答案：D解析：解：∵P(3,60°)或P(3,−300°)或P(3,420°)，由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为(3,240°)，(3,−120°)，(3,600°)，故选：D．根据中心对称的性质解答即可．此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．7.答案：D解析：解：由二次函数的图象开口向上可得a>0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c>0，由对称轴为直线x=−1，可得出b与a同号，即b>0，则abc>0，故①正确；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2−4ac>0，即4ac−b2< 0，故②正确；由函数图象可以看出当x=1时，二次函数的值为负，即a+b+c<0，由−b2a =−1可得a=12b，所以12b+b+c<0，整理得出3b+2c<0，故③正确；把由函数图象可以看出当x=−1时，二次函数的值为正，即a−b+c>0，故④正确；故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=−1时，x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．8.答案：B解析：【分析】本题考查二次函数的最值，根据函数图象分析即可得出结论．【解答】解：根据函数图象，可知当−3≤x≤1.5时，有最小值，最小值为−1，有最大值，最大值为5.25．故选B．9.答案：A解析：[分析]①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△>0，即b2−4ac>0，据此判断即可．②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，可得与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间，所以x=1时，y<0，据此判断即可．③首先根据x=−b2a =−1，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是4ac−b24a=4ac−4a24a=c−a=2，据此判断即可．④根据x=−1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为−1这种说法不正确，据此判断即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y 轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．[详解]解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△>0，即b2−4ac>0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴结论②正确；∵x=−b2a=−1，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是4ac−b24a =4ac−4a24a=c−a=2，∴a=c−2，∴结论③正确；∵x=−1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为−1这种说法不正确，∴结论④不正确．∴正确的结论为：①②③．故选A．10.答案：D解析：解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD−S△ADF−S△ABE−S△CEF=4⋅4−12⋅4⋅(4−t)−12⋅4⋅(4−t)−12⋅t⋅t=−12t2+4t=−12(t−4)2+8；当4<t≤8时，S=12⋅(8−t)2=12(t−8)2．故选：D．分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD−S△ADF−S△ABE−S△CEF可得S=−12t2+4t，配成顶点式得S=−12(t−4)2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为(4,8)；当4<t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=12(8−t)2=12(t−8)2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为(8,0)，于是根据这些特征可对四个选项进行判断．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．11.答案：−4解析：【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题．根据二次函数的对称轴公式代入计算即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，∴−b2×1=2，∴b=−4．故答案为−4．12.答案：9解析：解：∵二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=b2−4ac=62−4k=0，∴k=9．故答案为：9．二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△>0图象与x轴有两个交点，△=0，图象与x轴有且只有一个交点，利用此公式直接求出m的值即可．此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题．13.答案：−1或3．解析：[分析]利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后利用二次函数的性质由x=−1时，y=0得到x=3时，y=0．[详解]=1．∵x=0和x=2时，y的值都是3，∴抛物线的对称轴为直线x=0+22而x=−1时，y=0，∴x=2×1−1=3时，y=0.即y=0时，x的值为−1或3．故答案为：−1或3．[点睛]本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．14.答案：2解析：【分析】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质计算【解答】解：∵关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4，∴a2=4，a>0，解得，a=2，故答案为2．15.答案：2011√2解析：解：过点A1作A1⊥x轴于点D，A1C⊥y轴于点C，过A2作A2⊥x轴于点F，A2E⊥y轴于点E．∵△A1BOB1、△A2B1B2都是等腰直角三角形∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E设A1(a,b)∴a=b将其代入解析式y=x2得：∴a=a2解得：a=0(不符合题意)或a=1，由勾股定理得：A1B0=√2同理可以求得：A2B1=2√2A3B2=3√2A4B3=4√2…∴A2011B2010=2011√2∴△A2011B2010B2011的腰长为：2011√2故答案为：2011√2本题是一道二次函数规律题，运用由特殊到一般的解题方法，利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．本题是一道二次函数的综合题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．16.答案：−3解析：【分析】本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握．直接利用对称轴公式求解即可．解：∵二次函数y=x2+2kx+k−4图象的对称轴为x=3，=3，∴对称轴为：x=−2k2×1解得：k=−3，故答案为：−3．17.答案：①②③⑤解析：【分析】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①−结论④解题思路的拓展应用．证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；=S△AOO′+S△OBO′=6+4√3，故结论④错误；S四边形AO′BO如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【解答】解：如图①，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+√34×42=6+4√3，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=12×3×4+√34×32=6+94√3，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为①②③⑤．故答案为①②③⑤．18.答案：75解析：【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到螃蟹先到达终点，然后求出螃蟹、乌龟两人所用的速度是解题的关键．根据“速度=路程÷时间”结合函数图象即可算出乌龟的速度，再根据“出发25分钟后螃蟹的路程−乌龟的路程=300”即可求出螃蟹的速度，进而即可求出螃蟹、乌龟会合地离起点的时间，结合总路程及二者的速度即可得出结论．【解答】解：由图可知乌龟跑125分钟到达终点，∴乌龟的速度为500÷125=4(米/分)，设螃蟹的速度为x 米/分，则25x −25×4=300，解得x =16，螃蟹休息的时间为300÷4=75(分钟)．∴螃蟹走完全程的总时间为500÷16+75=106.25(分钟)．∴螃蟹到达终点时，乌龟距终点的距离为4×(125−106.25)=75(米)．故答案为75．19.答案：解：(1)设y =kx +b ，据已知可得{360k +b =100370k +b =95， 解得：{k =−12b =280， ∴y =−12x +280，∵{x ≥240−12x +280≥0，解得：240≤x ≤560．(2)设销售单价为x 元/kg ，据题意可得y =(−12x +280)(x −240)整理：y =(−12x +280)(x −240)=−12x 2+400x −67200=−12(x −400)2+12800当440≤x≤500时，y随x的增大而减小，所以x=440时，y的值最大为12000，当销售单价定为440元/kg时，当月销售获得的利润最大，最大利润是12000元．解析：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．(1)利用待定系数法求解可得；(2)根据“月销售利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，继而根据二次函数的性质求解可得．20.答案：解：∵x1，x2是方程x2−2mx+3m=0①的两个实数根，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=3m．∵(x1−x2)2=16，∴(x1+x2)2−4x1x2=16．∴4m2−12m=16．解得m1=−1，m2=4．(1)当m=−1时，方程x2−2mx+3m=0化为x2+2x−3=0．解得x1=−3，x2=1．方程x2−2mx+6m−9=0化为x2+2x−15=0．解得x′1=−5，x′2=3．∵−5、3不在−3和1之间，∴m=−1不合题意，舍去；(2)当m=4时，方程x2−2mx+3m=0化为x2−8x+12=0，解得：x1=2，x2=6．方程x2−2mx+6m−9=0化为x2−8x+15=0，解得x′1=3，x′2=5．∵2<3<5<6，即x1<x′1<x′2<x2，∴方程x2−2mx+6m−9=0的两根都在方程x2−2mx+3m=0的两根之间．∴m=4．综合上所述，m的值为4．解析：本题考查了根与系数的关系，本题中有重要的两个步骤要注意，一是利用第一个方程的条件先求出m的值，二是要把解出的m值代入第二个方程求得x的值并利用题中条件检验，符合题意的m值才是方程中的m值．先利用第一个方程中的条件，利用根与系数的关系求得m的值，再把m代入第二个方程求得另一个方程的解，并根据条件求出符合题意的m值．21.答案：解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−4)，代入C(0,3)得3=4a，解得a=34，y=34(x−1)(x−4)=34x2−154x+3，所以，抛物线的解析式为y=34x2−154x+3．(2)∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，∵A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)，∴OA=1，OC=3，BC=√OB2+OC2=5，∴OC+OA+BC=1+3+5=9；∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．(3)∵B(4,0)、C(0,3)，∴直线BC的解析式为y=−34x+3，①当∠BQM=90°时，如图2，设M(a,b)，∵∠CMQ>90°，∴只能CM=MQ=b，∵MQ//y轴，∴△MQB∽△COB，∴BMBC =MQOC，即5−b5=b3，解得b=158，代入y=−34x+3得，158=−34a+3，解得a=32，∴M(32,158)；②当∠QMB=90°时，如图3，∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，设CM=MQ=m，∴BM=5−m，∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，∴m3=5−m4，解得m=157，作MN//OB ，∴MN OB =CN OC=CM BC ，即MN 4=CN 3=1575， ∴MN =127，CN =97， ∴ON =OC −CN =3−97=127，∴M(127,127)， 综上，在线段BC 上存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形，点M 的坐标为(32,158)或(127,127).解析：(1)把点A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；(2)A 、B 关于对称轴对称，连接BC ，则BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA +PC =BC ，四边形PAOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ；根据勾股定理求得BC ，即可求得；(3)分两种情况分别讨论，即可求得．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．22.答案：解：(1)∵点D 在抛物线上，∴把D(3,a)代入抛物线解析式y =−43x 2+133x 可得， a =−43×32+133×3，解得：a =1，设直线OD 的解析式为：y =kx ，∵点D 在直线OD 上，∴把D(3,1)代入y =kx 中，可得：1=3k ，解得：k =13∴直线OD 的解析式为y =13x ；(2).∵CA ⊥x 轴，且与抛物线交于点C ，∴C 点坐标为(1,3)，AC =3，设点M的坐标为(m,13m)，则N点坐标为(m,−43m2+133m)，那么MN=−43m2+4m，又∵四边形ACNM为平行四边形，∴AC=MN，即−43m2+4m=3，解得m=32，∴点M的坐标为(32,12 )．解析：此题考查的是一次函数，二次函数及四边形的综合运用．(1).可以先求出D点的坐标，再用待定系数法求出直线OD的解析式；(2).可以利用平行四边形对边相等，求出MN的长度，再求出M的坐标．。
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2019-2020学年广东省深圳市南山外国语学校
九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）如图所示的几何体，从左面看到的形状图是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）在一个不透明的口袋中，装有3个红球2个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（）
A．B．C．D．
3．（3分）若，则的值为（）
A．5B．C．﹣5D．
4．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）
A．3B．4C．6D．9
5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）
A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0
7．（3分）下列说法不正确的是（）
A．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形
B．3x2﹣4x+1＝0的两根之和为
C．若点P是线段AB的黄金分割点（P A＞PB），则P A＝AB
D．当a+c＝b时，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为1
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1B．m＜1且m≠0C．m≤1D．m≤1 且m≠0
9．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若∠BCF＝30°，CD＝4，CF＝6，则正方形AEFG的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为
1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，AD＝6，BC＝12．点P是线段AD上的动点，连接BP、CP，当△BCP周长最小时AP的长为（）
A．2B．3C．4D．5
12．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连AC、BE、DF、CE，AC分别交BE、DF于G、H，判断下列结论：（1）BF＝DE；（2）AG＝GH＝HC；（3）EG＝BG；（4）S△BCE＝6S△AGE，其中正确的结论有（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）已知线段b是线段a、c的比例中项，即，且a＝2cm，b＝4cm，那么c＝cm．14．（3分）如图，正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度．小明在“4x5”的长方形网格内丢一粒花生（将作一个点），则花生落在阴影部分的概率是．
15．（3分）如图，花丛中有一路灯AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3m，沿BD方向行走至G点，DG＝4m，此时大华的影长GH＝4.5m，如果大华的身高为1.5m，则路灯AB的高度为m．
16．（3分）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A＝60°，点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动．已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5/cm 秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点时，点P、Q再分别从M、N同时沿原路返回，直到Q到达D点停止．点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，则v的值为．
三、解答题：（共5分，其中17题6分，18题5分，19题8分，20题7分，21题9分，22题8分，23 17．（6分）按要求解下列一元二次方程
（1）x2+4x＝1（公式法）
（2）（x+2）2＝3x+6．（提公因式法）
18．（5分）在正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度；△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．
（1）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C 点坐标是．
（2）△A2BC2的面积是平方单位．
19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为
A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝，b＝，c═，
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为＝，
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
20．（7分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当AC＝BC，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．
（3）求AD：DB＝3：2，CE＝CA＝3时，求EF的长．
22．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝8，BC＝20，若不改变矩形ABCD的形状和大小．
（1）当矩形顶点C在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点B始终在y轴的正半轴上随之上下移动，当∠OCB＝30°时，求点A的坐标；
（2）如图（2）、（3），长方形ABCD中，BC在x轴上，且O与B重合，将矩形折叠，折痕GF的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，且G（10，0）．顶点B的对应点为E，连接BF．
①如图（2），当顶点B的对应点E落在边AD上时，求折痕FG的长；
②如图（3），当顶点B的对应点E落在长方形内部，E的纵坐标为6，求AF的长．。