第7章作业解答

第7章 均匀波导中的导行电磁波
7.8 已知空气填充的矩形金属波导(6cm 3cm a b ⨯=⨯)中的纵向场分量为
2j π5
3ππ10sin sin e (v/m)
33
z
z z x y E H -== 式中，,x y 的单位为厘米。

指出这是什么模式？写出其余的场分量，并求其g c p g , , , λλv v 和波阻抗。

解：由于0z E ≠，0z H =，即为横磁波TM 模式。

对比TM 模的纵向场分量表达式：
j ππsin
sin e z
z mn m x n y E E a b
β-= 可知：510mn E =，2m =，1n =，2π/3β=，所以这是21TM 模。

截止波数222c (π/)(π/)2(π/3)2π/3k m a n b =+==
波数22c 2π/3k k β=+=，则波长2π/ 3 (cm)k λ==，角频率82π10(rad/s)kc ω==⨯ 其余分量表示为
5j 2π/3
j 2ππ10cos()sin()e 233
z x x y
E -=-⨯ 5j 2π/3
j 2ππ10sin()cos()e 233
z y x y
E -=-⨯ 5j
2π/3
j ππ10sin()cos()e 240π33
z x x y
H -=
⨯ 5j 2π/3
j ππ10cos()sin()e 120π33
z y x y
H -
=-
⨯
截止波长：c c 2π/3 2 (cm)k λ== 波导波长：g 2
c 2π
3 2 (cm)1(/)
λ
λβ
λλ==
=-
相速度：8p 22
c c 3210 (m/s)1(/)1(/)ωβλλλλ=
===⨯--v c
v 群速度：228g c c 32
1(/)1(/)10 (m/s)2
c λλλλ=-=-=⨯v v 波型阻抗：2TM w c 1(/)602π (Ω)Z Z β
λλωε
=
=-= （顶端▲） 7.8、7.9、7.10
7.9 已知空气填充的矩形波导(5cm 2.5cm a b ⨯=⨯)中传播10TE 模。

测得宽边中心处的最大磁
场为310A /m ，且工作频率为5GHz ，写出场分量的表达式。

解：对10TE 模，222c π
(π/)(π/)105
k m a n b =+=
⨯，921010f ωππ==⨯ 92
8
10π10π103103
k ωμε⨯===⨯⨯ 22c 80πj j 3k k j γβ==-≈ 将m =1，n =0，a =5cm ，b =2.5cm 代入TE mn 模的磁场强度表达式中即得10TE 模的磁场强度的各个分量：
80π
3
10280
π2
3
102
sin cos cos sin cos cos sin 0cos z x mn c z y mn c z z mn j z c j z m m x n y H H e k a a b n m x n y H H e k b a b m x n y H H e x H e k a a x H a b e a γγγγγπππγππππππππ⎧=⋅⎪⎪⎪=⋅==⋅=⋅⎨⎪
⎪⎪=⋅⎩
----- 则在宽边中心处，即 2.5 cm x =处，
810202110π
3
02.5sin
550
.5c 02os 5z j z c z c z x y H e k H e H k a H e H H γγππππγγ=⋅⎧⨯=⋅⎪⎪⎪
⎨⎪
⨯⎪⋅⎩
=⎪==--- 依题意，3
102
max
c ||π105
x
H H k γ=
= 32410c 5 107.510 (A/m)πH k γ⇒=⋅⋅=⨯ 取051010103
10 (A/m)4j H H e H ϕ=⋅==⨯，则场各分量的表达式为：
80π3380π
43(A/m)10s (A in 07.510cos /m)x
y z j z j z x j e a x e a H H H ππ=⋅==⎧⎪⎪⎪⎨⨯⋅⎪⎪⎪⎩
-- 及 80π530 310sin 25(V/m)0j z x y
z x j e E E E ππ==⨯⋅⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩-- （顶端▲）
7.10空气填充矩形波导，22.80mm,10.16mm a b ==。

（1）当工作波长为6cm ，4cm 和1.8cm
时，可能传播哪些模式？（2）当工作波长为4cm 时，试求其主模的g p g ,,,βλv v 和TE Z 。

解：(1) 矩形波导的截止波数和截止波长分别为
22c (π/)(π/)k m a n b =+ c 22c 2π2π
(π/)(π/)
k m a n b λ=
=
+ 对TE 模，m 和n 不能同时为零，也即不存在00TE ，最简单的TE 模是10TE 和01TE 模；对TM 模，m 和n 不能为零，也即不存0TM n 模在和0TM m 模，最简单的TM 模是11TM 模。

我们可以利用截止波长分布图来分析波导中各种模式的传播状态。

模式
TE 10 TE 20 TE 30 TE 01 TE 02 TM 11 TM 21 TM 12 …… λc (cm)
4.56 2.28 1.52 2.03 1.01 2.16 1.52 0.99 ……
TE 模和TM 模的传播模式的条件为c k k >⇔c λλ<。

因此
当工作波长为λ=6 cm 时，不存在传播模式，也即波导中所有模式都截止； 当工作波长λ=4.0 cm 时，只存在的传播模式为TE 10，即单模传播；
当工作波长λ=1.8 cm 时，存在的传播模式为TE 10、TE 20、TE 01和TM 11，即多模传播。

(2) 所谓主模就是截止波长最大的模式，只有主模才能单模传播；对于a b >的矩形波导，
10TE 模是主模，且10()2 4.56c TE a λ== cm 。

对4λ= cm ，g p g ,,,v v βλ和波阻抗分别为 相位常数 2
c 2π
1(/)75.4 r a
d /m βλλλ
=-= 波导波长 g 2π
0.0833 m 8.33 c m
λβ
=== 相速度 8
p 2c 6.2510 m
/s 1(/)
c ωβλλ=
==⨯-v 群速度 28g c 1(/) 1.4410 m/s c λλ=-=⨯v 波阻抗 w TE 2785.4 Ω1(/)
c Z Z ωμ
βλλ=
==-
（顶端▲）。