计算最小函数依赖集示例

计算最小函数依赖集示例
一、求最小依赖集的算法
①根据推理规则的分解性，右部最小化
②消除左边的冗余属性
③消除冗余的FD（依赖）
重点：操作步骤的顺序不能颠倒，颠倒了可能消除不了FD中左边冗余的属性，或冗余的依赖。

二、具体操作详解（以下两种意思相同，表述略有区别罢了）
（1）右部最小化：右切，使每个函数依赖的右部仅有一个属性
（2）规则最小化：除本求包（对每个函数依赖的左部做除本求包，求包的结果如果不包含本函数依赖的右部，本函数依赖保留；求包的结果如果包含了本函数依赖的右部，删除本函数依赖）（3）左部最小化
注意，解题一定要先（3）后（2）
三、例题，反例等
反例，假如将②③步骤颠倒
例：求**F＝{ABD→AC，C→BE，AD→BF，B→E}**的最小函数依赖集FmF_mFm
注意：当在函数依赖已经改变的地方开始一个新步骤时，重写函数依赖集很重要，这样可以在下一步中方便引用。

第一步对F中的函数依赖运用分解原则来创建一个等价函数依
赖集H，该集合中每一个函数依赖的右部是单个属性：
H＝｛①ABD→A，②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，
⑥AD→F，⑦B→E｝
第二步考察每一个函数依赖是否是必须的，去除非必要的函数依赖
（1）ABD→A是平凡的函数依赖（就是A是ABD的子集，所以他是平凡的依赖），所以显然是非必要的函数依赖，因此去除。

保留在H中的函数依赖是H＝｛②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝
（2）考察ABD→C，去掉此函数依赖将会得到新的函数依赖集J ＝｛③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝。

如果ABD→C 是非必要的，则(ABD)J+(ABD)_J^+(ABD)J+=ABDFE，不包含C，因此ABD→C是必要的函数依赖，不能去掉。

H＝｛②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，
⑦B→E｝
（3）考察C→B，J＝｛②ABD→C，④C→E，⑤AD→B，
⑥AD→F，⑦B→E｝，则**CJ+C_J^+CJ+=CE**，不包含B，因此C→B 是必要的函数依赖，保留在H中。

（4）考察C→E，J＝｛②ABD→C，③C→B，⑤AD→B，
⑥AD→F，⑦B→E｝，则CJ+C_J^+CJ+=CBE，包含E，因此是不必要的，去除后得到的函数依赖集为H＝｛②ABD→C，③C→B，
⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝
（5）同理考察函数依赖⑤、⑥和⑦，最后得到的函数依赖集为H＝｛②ABD→C，③C→B，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝。

为了第三步方便引用，我们进行重新编号：
H＝｛①ABD→C，②C→B，③AD→B，④AD→F，⑤B→E｝。

第三步考察每一个左部为多个属性的函数依赖，看左部的每个属性是否是必须的，能否用更小的属性集替代原有的属性集。

首先从函数依赖①ABD→C开始。

（1）去除A？
如果A可以去除，那么可得到新的函数依赖集J＝｛①BD→C，②C→B，③AD→B，④AD→F，⑤B→E｝。

去掉A后BD在J上的闭包将比在H下函数决定更多的属性，如果(BD)J+(BD)_J^+(BD)J+
=(BD)H+(BD)_H^+(BD)H+或者C∈(BD)H+(BD)_H^+(BD)H+，则说明去掉A得到的函数依赖集和原有的函数依赖集是等价的，可以用
BD→C替换ABD→C。

(BD)H+(BD)_H^+(BD)H+＝BDE，不包含C，所以A不能去掉。

（2）去掉B？
J＝｛①AD→C，②C→B，③AD→B，④AD→F，⑤B→E｝。

(AD)H+(AD)_H^+(AD)H+=ADBC，包含了B，因此B→C是冗余的函数依赖，所以去除
（3）去掉D？J＝｛①A→C，②C→B，③AD→B，④AD→F，
⑤B→E｝。

因为H的函数依赖集在第三步发生了改变，因此我们需要回到
第二步。

如果顺序颠倒，则在消除左部冗余使F发生变化后，需要重新进行消除函数依赖的操作
此时H＝｛①AD→C，②C→B，③AD→B，④AD→F，⑤B→E｝。

在进行第二步即重新进行消除函数依赖操作
其中考察到③，有(AD)H+(AD)_H^+(AD)H+=ADCB，包含B，因此AD→B是不必要的函数依赖，所以去除
最后
得到的函数依赖集为H=｛AD→C，C→B，AD→F，B→E｝
例题：已知关系模式R（U，F），U={A，B，C，D，E，F，G}，F={BCD→A，BC→E，A→F，F→G，C→D，A→G}，求F的最小函数依赖集。

原参考省略了左部最小化的步骤，现我将其补上，仅供参考
③左部最小化
经过右部最小化和消除冗余依赖后F={BCD→A，BC→E，A→F，F→G，C→D}
针对BCD→A
去B？则(CD)F+(CD)_F^+(CD)F+=CD，无A，保留
去C？则(BD)F+=BD(BD)_F^+=BD(BD)F+=BD，无A，保留
去D？则(BC)F+=BCDAEFG(BC)_F^+=BCDAEFG(BC)F+=BCDAEFG，有A，则D冗余，可以去掉。

所以F={BC→A，BC→E，A→F，F→G，C→D}
针对BC→E
去B则CF+C_F^+CF+=CD，保留
去C则BF+B_F^+BF+=B，保留
所以F={BC→A，BC→E，A→F，F→G，C→D}
但是
由于操作顺序颠倒，还需要进行冗余依赖的判断，判断后发现现在依赖保持不变。

所以F={BC→A，BC→E，A→F，F→G，C→D}。