《金版新学案》高一数学 1.3.2奇偶性(第2课时函数奇偶性的应用)课件 新人教A版

1.如图给出了偶函数y＝f(x)(x∈R)的局部图象， (1)画出x>0部分的局部图象． (2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】 因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
故保留y＝f(x)在(－∞，0]上的图象，在[0，＋∞)上作y＝f(x)关于y轴
对称的图象，如图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图象知 f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．
1．3.2 奇偶性(第2课时 函数奇偶性的应用)
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，
那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数的定义 f(－x)＝-f(x) 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有____________， 那么称函数y＝f(x)是奇函数．
图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶
函数，这也是由图象判定偶函数的方法．
由图象可知，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称 区间上单调性相反．
(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作
函数图象的简便方法，如作函数y＝|x|的图象，因为该函数为偶函 数，故需先作出x≥0时的图象，利用函数图象关于y轴对称即可作出 x≤0时的图象．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
－1≤1－m≤1 ∴－1≤m≤1 |1－m|>|m|
1 解得 0≤m<2
1．奇、偶函数的图象 (1)若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原 点为对称中心的对称图形，则这个函数是奇函数，这也成为我们由 图象判定奇函数的方法． (2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称
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【解析】 设 x<0，则－x>0 ∴f(x)＝f(－x)＝－x· [1－(－x)] ＝－x· (1＋x) 又 f(0)＝0 ∴函数 f(x)的解析式为 (x>0) x(1－x) f(x)＝0 (x＝0) －x· (1＋x) (x<0)
已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围． 【思路点拨】 f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－ 1)―→根据单调性 列不等式组―→解得实数x的取值范围
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0； (2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)· [1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)· (1＋x) ∴f(x)＝x· (1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为： (1－x) (x>0) x· f(x)＝0 (x＝0) x(1＋x) (x<0)
此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入． ③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
2.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)
＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？
由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点
对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，知它在[-5,0]上的图象，如图1所 示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5)．
本题利用奇函数图象的特点，作出函数在区间[－5,0]上 的图象，利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合．数形 结合是研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学必须掌 握的一个重要技能，并能利用函数图象理解函数的性质．
1．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 y轴 对称．
(2)奇函数的图象关于原点 对称． 2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则
f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有 最小值－M. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化
成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一 致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函
数自身定义域对参数的影响．
3.若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若 f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，求函
数f(x)的解析式．
【错解】 当 x<0 时， －x>0， ∴f(－x)＝2(－ x)－3 ＝－2x－3 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ 2x＋3，
2x－3，x>0 ∴所求函数解析式为 f(x)＝ 2x＋3，x<0
【错因】 忽略了定义域为 R 的条件，漏掉 了 x＝0 的情况． 【正解】 同错解得：当 x<0 时，f(x)＝2x ＋3. ∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0. ∴ 所 求 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝
2x－3，x>0 . 0，x＝0 2x＋3，x<0
图象如图所示，(1)作出函数在[－5,0]的图象；
(2)使函数值y<0的x的取值集合．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①f(x)是[-5,5]上的奇函数； ②f(x)在[0,5]上图象已知． 解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称，作出f(x)的 图象，再利用图象解不等式．
【解析】 利用奇函数图象的性质，画出函数在[-5,0]上的图 象，直接从图象中读出信息．
【解析】 ∵f(x)是奇函数， 且在[－1,1]上是 增函数． 由 f(x－1)＋f(1－2x)<0 得 f(x－1)<－f(1－2x) ＝f(2x－1)
－1≤x－1≤1 0≤x≤2 ∴－1≤2x－1≤1 ，即0≤x≤1 x>0 x－1<2x－1
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
∞)上是 增函数 ．
1．奇函数的图象一定过原点吗？ 【提示】 不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否 则不过原点．
2．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什
么简便方法？ 【提示】 若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x&画出另一部分图象．
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的