函数奇偶性的定义与应用
函数奇偶性的应用
三、利用奇偶性求函数解析式：
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
∴－ －11≤ ≤1m－≤m1≤1 |1－m|>|m|
解得 0≤m<12
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0；
(2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)·(1＋x) ∴f(x)＝x·(1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为：
f(x)＝x0·(1(－x＝x)0)
单调性比较大小．
• 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量 对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个 自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量 的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个 单调区间，然后再根据单调性判断．
练习：已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，f(x)在
（C）减函数，最小值为 6
（D）减函数，最大值为 6
函数奇偶性与最值之间的关系
若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在
函数的性质之奇偶性
函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-7设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x xx f +=1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。
在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数的奇偶性1. 定义一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 性质（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。
（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。
（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。
（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。
3. 举例（1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。
二、函数的周期性1. 定义一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
2. 性质（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。
（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。
（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)也是周期为T的周期函数。
3. 举例（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。
三、奇偶性与周期性的关系1. 性质（1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。
（2）对于一个函数f(x)，若它既是偶函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍且f(0)为其最小正周期。
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。
这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。
函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。
其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。
例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。
函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。
椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。
因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。
具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。
函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。
因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。
此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。
例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。
最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。
对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。
在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。
而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。
函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。
下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。
首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。
对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。
其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。
由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。
这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。
再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。
例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。
同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。
这对于简化解方程的过程非常有帮助。
此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。
对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。
这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。
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函数2：函数的奇偶性
【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；
【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念；
难点：奇偶性的应用
一、函数的奇偶性
1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做
偶函数．
2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫
做奇函数．
3.判断函数奇偶性的方法：
（1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．
（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
4.奇偶函数的简单性质：
（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为
增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.
（2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为
增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.
二、函数奇偶性的应用
1、利用定义判断函数奇偶性
例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2
432)(x x x f +=； （3）1)(2
3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ；
（6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
2、利用定义求函数解析式
（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；
（2）()x f 为R 上偶函数，当0<x 时，()132
+-=x x x f ，求()x f 在R 上解析式． （3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2
+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式. 3、利用奇偶性求参数取值范围
（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；
（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，
求a 的取值范围.
（3） 已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数)(x f 是偶函数，并且在（－∞，0）上
是增函数，若0)3(=-f ，则不等式)
(x f x <0的解集是 . （4） 已知)(x f 是定义在（－3，3）上的奇函数且f (0)=0,当0<x <3时，)(x f 的图像如图
所示.那么不等式0)(≤x xf 的解集是（ ）
A ．]1,0(]1,3( --
B ． ]1,0()0,1[ -
C ．]1,0[]1,3( --
D ． [－1，1] (5) 设)(x f 为定义域在R 上的偶函数，且)(x f 在
)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（ ）
A ．)2()3()(->>-f f f π
B ．)3()2()(f f f >->-π
C ．)2()3()(-<<-f f f π
D ．)3()2()(f f f <-<-π
(6) ()y f x =在(0,2)上是增函数,(2)y f x =+是偶函数,则57(1),(),()22
f f f 的大小关系是 .
(7) 如果奇函数)(x f y =在区间[3, 7]上是增函数，且最小值为5，那么)(x f y =在区间[－7, －3]上是（ ）。
（A ）增函数且最小值为－5 （B ）增函数且最大值为－5
（C ）减函数且最小值为－5 （D ）减函数且最大值为－5
三、奇偶性练习
1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．-5
C ．5
D ．不确定
2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）
A ． (())a f a ，-
B ． (())--a f a ，
C ． (())---a f a ，
D ．(())a f a ，-
3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）
A ．增函数，最小值是-5
B ．增函数，最大值是-5
C ．减函数，最小值是-5
D ．减函数，最大值是-5
4. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
5. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）
A.f(0)>f(5)
B.f(3)<f(2)
C.f(-1)>f(3)
D.f(-3)>f(1)
6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）
A ．)()(21x f x f <
B ．)()(21x f x f >
C ．)()(21x f x f =
D ．无法确定
7. 下列函数为偶函数的是（ ）
A.()x x x f +=
B.()x x x f 12
+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f = 8.已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 即奇又偶函数
D.非奇非偶函数
9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）
A .最大值）（a -f
B .最小值）（a -f
C .最大值）（b -f
D .最小值）（b -f
10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）
A ．()2f -<()223f a a -+
B ．()2f -≥()
223f a a -+
C ．()2f ->()223f a a -+
D ．与a 的取值无关若函数
11. 若函数f ( x )=ax 73++bx ,有f ( 5 )= 3则f(－5)= ；
12. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]
时,f(x)的图象如右图，则不等式()0<x f 的解
是 ； 13. 已知)(x f
是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数， （12题） （13题） 当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 ； 14. 62)23()(2-++-=k x k k x f 在R 上是增函数且为奇函数, K 的范围为
15 函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2>-+--a f a a f ，试a 求的范围．
16 若函数)(x f y =对任意,,R y x ∈恒有)()()(y f x f y x f +=+。
（1）求证：)(x f y =是奇函数；
（2）若,)3(m f =-求).12(f
（3）如果0>x 时，0)(<x f 且21)1(-
=f ，试求)(x f 在区间[]6,2-上的最大值和最小值。
322x
y
O。