高中数学 椭圆 超经典 知识点+典型例题讲解

学生姓名
性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师
上课时间 2014年12月13日
第（ ）次课 共（ ）次课
课时： 课时
教学课题
椭圆
教学目标
#
教学重点与难点
选修2-1椭圆
知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点
、
的距离之和等于常数(
)，这个动
点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹为线段；
若
，则动点
的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义 １．方程
()()10222
22
2=+++
+-y x y x 化简的结果是
2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是
3.已知椭圆22
169
x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为
;
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意：
1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有
和
；
3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
；当焦点在
轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数
1.若方程25x k -+2
3
y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .
（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .
2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,
"
3．椭圆22
14x y m
+
=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程
1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为
4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
【
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，
方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），
A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长
和短半轴长。

（4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而
越小，因
此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当
a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。

注意： 椭圆
的图像中线段的几何特征（如下图）：
（1），，；
（2），
，
；
（3）,
，
；
讲练结合四．焦点三角形
1．椭圆22
1925
x y +
=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少
21F PF ∆的面积的最大值是多少
、
3．设点P 是椭圆
22
12516
x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．
—
4.设F 是椭圆322
x ＋24
2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P
点坐标 最小值 .
知识点四：椭圆
与（a ＞b ＞0）的区别和联系
标准方程
图形
，
性质
焦点 ，
，
焦距
；
范围
， ，
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 ，
，
轴 长轴长=
，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系
都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

1．如何确定椭圆的标准方程
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

.
2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b ＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。

可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆。

当时，椭圆的焦点在x轴上；
当时，椭圆的焦点在y轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方
程中的参数、、的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。

与椭圆（a＞b＞0）共焦点的椭圆方程可设为（k＞－b2）。

此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：
①若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称；
②若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称；
③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题
与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段
、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率，因为c2=a2－b2，a＞c＞0，用
a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大；当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0＜e＜1。

；
课后作业
18、椭圆32x ＋2
2y =1与椭圆22
x ＋32y =(0)有
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 19、椭圆192522=+y x 与125922
=-+-λ
λy x （0<k<9）的关系为
(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 20、椭圆12
62
2=+y x 上一点P 到左准线的距离为2，则点P 到右准线的距离为
21、点P 为椭圆116
252
2=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ⋅的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.。