基于朴素贝叶斯算法的垃圾邮件分类 (Python实现)
基于朴素贝叶斯的垃圾邮件分类算法研究
基于朴素贝叶斯的垃圾邮件分类算法研究引言随着互联网的发展，我们的电子邮件的数量也越来越多。
人们接受电子邮件的速度和效率变得更高，但同时也伴随着垃圾邮件的增长。
垃圾邮件往往会带来许多问题，例如浪费时间和网络资源，甚至可能传播病毒和诈骗。
因此，我们需要有效的筛选算法来区分垃圾邮件和正常邮件。
本文将讨论朴素贝叶斯的垃圾邮件分类算法。
朴素贝叶斯算法朴素贝叶斯算法是一种基于贝叶斯定理的分类方法。
该算法使用已知的类别和相关特征来推断未知的类别。
对于一个待分类的对象，朴素贝叶斯算法会首先将其描述为已知类别的特征的集合，然后根据贝叶斯定理来计算其属于每个类别的概率，并选择概率最大的类别作为分类结果。
贝叶斯定理表达式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)是在给定B的情况下，A的条件概率。
P(B|A)是在给定A的情况下，B的条件概率。
P(A)和P(B)分别是A和B的概率。
朴素贝叶斯算法假定每个特征都是独立的，这意味着特征之间的关系可以无视。
在实际应用中，该假设并不总是成立。
例如，在垃圾邮件分类中，标题和正文的内容通常是相关的。
但是，在一个大规模的特征空间下，这种假设可以使算法更简单且更快速地运行，同时取得令人满意的结果。
垃圾邮件分类应用垃圾邮件分类是朴素贝叶斯算法的典型应用之一。
我们将说明如何使用朴素贝叶斯算法来分类垃圾邮件和正常邮件。
首先，我们需要从邮件中提取特征。
为了分类邮件，我们需要确定哪些特征是更有信息量的。
例如，单词的数量或单词的出现频率可能是一个有用的特征。
因此，我们可以基于这些因素来确定特征。
接着，我们需要计算在给定特征条件下，垃圾邮件和正常邮件的概率。
为了训练分类器，我们需要一组已标记的邮件数据集。
在朴素贝叶斯算法中，我们需要计算每种特征在垃圾邮件中出现的概率和在正常邮件中出现的概率，并将这些概率用于计算分类邮件时的条件概率。
这些概率可以通过计算数据集中特征出现的频率以及垃圾邮件和正常邮件的数量来估算。
Python机器学习实践项目
Python机器学习实践项目随着互联网和智能科技的迅速发展，机器学习成为人工智能技术领域中不可或缺的一环。
而Python作为一种简洁易用且功能强大的编程语言，成为了机器学习中不可或缺的工具。
本文将介绍一些Python机器学习实践项目，来帮助初学者快速掌握机器学习相关技术。
1. 手写数字识别手写数字识别是机器学习中常见的一个问题。
在这个项目中，我们将使用经典的MNIST数据集，通过训练来训练一个神经网络模型，来实现对手写数字的识别。
在这个项目中，我们需要掌握Python中的TensorFlow和Keras框架，以及卷积神经网络、梯度下降、反向传播等相关机器学习理论。
2. 垃圾邮件分类在现代社会，垃圾邮件问题越来越严重。
在这个项目中，我们将采用朴素贝叶斯算法来构建一个垃圾邮件分类器，通过训练数据集来分类邮件是否为垃圾邮件。
在这个项目中，我们需要掌握Python中的nltk和sklearn等自然语言处理相关库，以及朴素贝叶斯算法和交叉验证等相关机器学习理论。
3. 电影推荐系统电影推荐系统是一种应用广泛的机器学习应用，可以通过协同过滤算法来为用户推荐可能感兴趣的电影。
在这个项目中，我们将采用Python中的pandas和numpy等数据分析库来处理数据集，并运用协同过滤算法来实现电影推荐。
在这个项目中，我们需要掌握Python中的协同过滤、基于物品的推荐算法等相关机器学习理论。
4. 图像分类图像分类是机器学习中的一个重要应用领域，常见于图像识别、人脸识别、场景识别等。
在这个项目中，我们将使用Python中的OpenCV和scikit-learn等库来提取图像特征，并使用支持向量机、随机森林等算法来实现图像分类。
在这个项目中，我们需要掌握图像特征提取、支持向量机、随机森林等相关机器学习理论。
总结以上是Python机器学习实践项目的介绍。
通过这些项目进一步熟悉Python的机器学习相关技术，并实际动手进行项目，可以帮助初学者快速掌握机器学习相关技术。
基于朴素贝叶斯的垃圾邮件分类系统的设计
邮件 接 收 模 块
用 户 界面
二
图 １ 基 于 文 本 分 类 的垃 圾 邮 件 分 类 系统 的 结 构 框 图
１２ 文本 预处 理 ．
和 除去 噪音 的 目的 ， 在文 档 表 示 为 可用 于 分类 的
表示 形式 之 前 ， 需要 进 行 特 征选 择 。特 征 选择 是
从 每一类 文 档的所 有特征 中抽取 那些 能够 反映 和 区分此类 文 档与 其 它类 文 档 的 特征 项 ， 是 分类 这 问题 的关 键 。文本 分类 中 的特 征选 择一般 是通 过
征 子集提 取 算 法和 朴素 贝叶 斯方 法对 邮件进 行 分 类具有 较好 的分 类精度 ， 用朴 素 贝叶斯 方 法 应
在 新 邮件到 达 的 同时对 其进 行分 类 ， 具有较 好 的分 类速 度 。 关 键词 ： 电子 邮件 ； 文本 分类 ； 素 贝叶斯 ； 器 学 习 朴 机 中图分 类 号 ： Ｐ ９ Ｔ ３ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １— ３ ２ ２ ０ ） ２— ０ ７—０ １７ ５ ２ （ ０ ８ ０ ０ ４ ４
由于信 息 技术 特别 是 Ｉｔ ｔ 发 展 和 Ｅ — ｎｅ ｍｅ 的 ｍａ 的普 及应 用 ， 种 文本 信息 急剧 增加 ， 本 分 ｉ ｌ 各 文 类成 为处 理和 组织 大规模 文 本信 息 的关键 技术 。
开 展 了多 年 ， 在 邮件 分 类 、 并 电子会 议 、 信息 过 滤 等 方 面得 到 了较 为广 泛 的应 用 。 随 着 Ｅ—ｍ ｉ的 日益 普 及 ， 们 注 意 到 网 络 ａｌ 我 管理 面 临 的新 问题 垃 圾 邮件 的泛滥 。根 据伦敦 的 电脑 安全 防 护 公 司 ＭＩＧ在 一 份 报 告 中指 出 ， ２ 垃
使用朴素贝叶斯对垃圾邮件分类实验原理
文章标题：深入探究朴素贝叶斯算法：垃圾邮件分类实验原理解析在信息爆炸的时代，电流信箱已经成为人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
然而，随之而来的垃圾邮件问题也一直困扰着人们。
为了解决这一问题，朴素贝叶斯算法被广泛应用于垃圾邮件分类实验中。
本文将深入探讨朴素贝叶斯算法在垃圾邮件分类实验中的原理和应用。
一、朴素贝叶斯算法简介朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类算法。
它被广泛应用于文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等领域。
朴素贝叶斯算法的核心思想是基于训练样本对文本进行建模，并根据文本中不同特征的出现概率来进行分类。
二、垃圾邮件分类实验原理解析1. 数据预处理：需要对收集到的邮件数据进行预处理，包括去除邮件中的特殊符号、停用词等。
2. 特征提取：接下来，需要从处理后的邮件数据中提取特征，常用的特征包括词袋模型和TF-IDF模型。
3. 训练模型：使用朴素贝叶斯算法对提取到的特征进行训练，得到垃圾邮件和正常邮件的概率分布。
4. 分类预测：根据训练好的模型，对未知的邮件进行分类预测，判断其是否为垃圾邮件。
三、朴素贝叶斯算法的优势和局限性1. 优势：朴素贝叶斯算法简单高效，对小规模数据表现良好，且易于实现和扩展。
2. 局限性：朴素贝叶斯算法忽略了特征之间的关联性，且对输入数据的分布假设较强。
四、个人观点和理解朴素贝叶斯算法作为一种经典的分类算法，在垃圾邮件分类实验中表现出了较好的效果。
然而，其在处理复杂语境和大规模数据时存在一定局限性。
我认为，在实际应用中，可以结合其他算法和技术，进一步提升垃圾邮件分类的准确率和效率。
总结回顾：通过本文的深入探讨，我们对朴素贝叶斯算法在垃圾邮件分类实验中的原理和应用有了全面、深刻和灵活的理解。
朴素贝叶斯算法的优势和局限性也使我们对其进行了全面的评估。
在未来的研究和实践中，我将继续深入研究和探索其他分类算法，以期进一步提升垃圾邮件分类的效果。
五、垃圾邮件分类实验中的技术挑战和解决办法在垃圾邮件分类实验中，我们面临着一些技术挑战。
朴素贝叶斯公式例题
朴素贝叶斯公式例题朴素贝叶斯公式是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它假设特征之间相互独立。
以下是一个朴素贝叶斯公式的例题：假设我们有一个数据集，其中包含了一些电子邮件的文本以及对应的标签（垃圾邮件或非垃圾邮件）。
我们想要使用朴素贝叶斯算法来对新的邮件进行分类。
现在，我们收到了一封新的邮件，内容如下："购买廉价药物，快速发货！"我们需要使用朴素贝叶斯公式来判断这封邮件是属于垃圾邮件还是非垃圾邮件。
为此，我们首先需要计算两个条件概率：P(垃圾邮件|文本)和P(非垃圾邮件|文本)。
根据朴素贝叶斯公式，我们可以将问题转化为计算以下两个概率：1. P(垃圾邮件|文本)：给定文本为"购买廉价药物，快速发货！"，我们需要计算该邮件为垃圾邮件的概率。
假设训练集中共有100封邮件，其中有30封垃圾邮件。
而在这30封垃圾邮件中，有10封包含了"购买廉价药物，快速发货！"这样的文本。
因此，P(文本|垃圾邮件) = 10 / 30 = 1/3。
另外，P(垃圾邮件)表示在数据集中出现垃圾邮件的概率，假设为0.3。
综合利用贝叶斯公式，可以计算P(垃圾邮件|文本)：P(垃圾邮件|文本) = (P(文本|垃圾邮件) * P(垃圾邮件)) / P(文本)2. P(非垃圾邮件|文本)：同样地，我们需要计算给定文本为"购买廉价药物，快速发货！"时，该邮件为非垃圾邮件的概率。
假设在100封邮件中，有70封是非垃圾邮件，其中有20封包含了"购买廉价药物，快速发货！"这样的文本。
因此，P(文本|非垃圾邮件) = 20 / 70 = 2/7。
同样地，假设P(非垃圾邮件) = 0.7。
综合利用贝叶斯公式，可以计算P(非垃圾邮件|文本)： P(非垃圾邮件|文本) = (P(文本|非垃圾邮件) * P(非垃圾邮件)) / P(文本)最后，比较P(垃圾邮件|文本)和P(非垃圾邮件|文本)的大小，即可确定这封邮件的分类。
python库中的5种贝叶斯算法
python库中的5种贝叶斯算法Python是一种广泛使用的编程语言，拥有丰富的库和工具包，其中包括了多种贝叶斯算法。
贝叶斯算法是一类基于贝叶斯定理的统计学方法，可以用于分类、聚类、概率估计等任务。
在Python中，我们可以使用以下5种常见的贝叶斯算法来解决不同的问题。
1. 朴素贝叶斯算法（Naive Bayes）朴素贝叶斯算法是一种简单而有效的分类算法，它假设所有特征之间相互独立。
在文本分类、垃圾邮件过滤等任务中得到了广泛应用。
在Python中，我们可以使用scikit-learn库中的`sklearn.naive_bayes`模块来实现朴素贝叶斯算法。
该模块提供了多种朴素贝叶斯分类器的实现，如高斯朴素贝叶斯、多项式朴素贝叶斯和伯努利朴素贝叶斯。
2. 高斯朴素贝叶斯算法（Gaussian Naive Bayes）高斯朴素贝叶斯算法假设特征的概率分布服从高斯分布。
它常用于处理连续型特征的分类问题。
在Python中，我们可以使用scikit-learn库中的`sklearn.naive_bayes.GaussianNB`类来实现高斯朴素贝叶斯算法。
该类提供了`fit`和`predict`等方法，可以用于拟合模型和进行预测。
3. 多项式朴素贝叶斯算法（Multinomial Naive Bayes）多项式朴素贝叶斯算法适用于处理离散型特征的分类问题，如文本分类中的词频统计。
在Python中，我们可以使用scikit-learn库中的`sklearn.naive_bayes.MultinomialNB`类来实现多项式朴素贝叶斯算法。
该类同样提供了`fit`和`predict`等方法，可以用于拟合模型和进行预测。
4. 伯努利朴素贝叶斯算法（Bernoulli Naive Bayes）伯努利朴素贝叶斯算法适用于处理二值型特征的分类问题，如文本分类中的二进制词袋模型。
在Python中，我们可以使用scikit-learn库中的`sklearn.naive_bayes.BernoulliNB`类来实现伯努利朴素贝叶斯算法。
朴素贝叶斯如何实现垃圾邮件分类原理
朴素贝叶斯如何实现垃圾邮件分类原理垃圾邮件分类的基本原理是将输入的邮件文本根据其特征划分为“垃圾邮件”和“非垃圾邮件”两类。
朴素贝叶斯分类器通过观察已知分类的训练样本，学习出每个类别在不同特征上的概率分布，然后利用这些概率分布来预测测试样本的分类。
具体实现步骤如下：1.收集训练样本：首先，我们需要收集大量已知分类的邮件样本，这些样本被标记为“垃圾邮件”或“非垃圾邮件”。
这些样本将用于训练模型。
2.特征提取：对于每个邮件样本，我们需要将其转化为一组可以用于分类的特征。
常用的特征提取方法包括词袋模型和TF-IDF等。
以词袋模型为例，可以将每个邮件样本表示为一个向量，其中每个元素表示一些词在该邮件中的出现次数。
3.计算类别概率：对于训练集中的每个类别，我们需要计算该类别出现的概率。
假设训练集中一共有m个样本，其中有n个样本属于垃圾邮件类别。
那么，垃圾邮件类别的概率P(垃圾邮件)可以计算为n/m。
4.计算条件概率：对于每个特征及其可能的取值，我们需要计算在给定类别下该特征取一些值的概率。
例如，对于特征“包含单词‘互联网’”，我们需要计算在封邮件为垃圾邮件的情况下，该特征取值为真（存在单词‘互联网’）的概率P(包含单词‘互联网’，垃圾邮件)。
可以通过统计垃圾邮件样本中该特征取值为真的比例来估计该概率。
5.预测新样本的分类：对于一个新的邮件样本，我们首先根据已经学习到的类别概率计算其属于每个类别的先验概率P(类别，邮件)。
然后，对于每个类别，根据已经学习到的条件概率计算该特征取值的概率P(特征，类别)。
最后，将先验概率与条件概率相乘并归一化，得到该邮件属于每个类别的后验概率。
最终，将后验概率最大的类别作为邮件的分类结果。
朴素贝叶斯分类器的优点在于其简单、高效，对于大规模的文本分类任务效果好。
然而，它也有一些限制，例如它假设所有特征之间相互独立，这在一些情况下可能不成立。
此外，朴素贝叶斯分类器对于特征空间非常大、稀疏的情况下可能不适用。
用Python编写简单的垃圾邮件过滤器
用Python编写简单的垃圾邮件过滤器垃圾邮件过滤器是一种用于识别和过滤掉垃圾邮件的应用程序。
在这篇文章中，我们将使用Python编写一个简单的垃圾邮件过滤器。
我们将介绍垃圾邮件过滤器的原理和一些常用的方法，然后使用Python实现一个简单的基于规则的过滤器。
#垃圾邮件过滤器原理垃圾邮件过滤器的原理是通过分析邮件的内容和特征来判断是否是垃圾邮件。
它通常使用一些机器学习和自然语言处理技术来训练模型，并根据模型的输出进行分类。
下面是垃圾邮件过滤器的主要原理：1.特征提取：垃圾邮件过滤器首先需要对邮件进行特征提取，以获取可以用来进行分类的特征。
一些常用的特征包括邮件的发送者、主题、内容、链接和附件等。
2.训练模型：通过使用已标记的训练数据集，垃圾邮件过滤器可以训练出一个分类模型。
这个模型可以根据输入的特征预测邮件是垃圾邮件还是正常邮件。
一些常用的机器学习算法如朴素贝叶斯、支持向量机和决策树等都可以用于训练垃圾邮件过滤器的模型。
3.预测分类：一旦训练好了垃圾邮件过滤器的模型，就可以使用它来预测新的邮件的分类。
通过输入邮件的特征，模型会输出一个预测的分类结果，以表示这封邮件是垃圾邮件还是正常邮件。
4.评估性能：为了评估垃圾邮件过滤器的性能，可以使用一些常见的指标，如准确率、召回率和F1得分等。
这些指标可以衡量过滤器的分类结果是否正确，以及垃圾邮件是否被正确地过滤掉。
#基于规则的垃圾邮件过滤器实现基于规则的垃圾邮件过滤器使用一系列规则来判断邮件是否是垃圾邮件。
这些规则可以是基于文本匹配的，也可以是基于特征提取的。
在我们的示例中，我们将使用一些简单的规则来判断邮件是否是垃圾邮件。
下面是我们将要实现的过滤器的步骤：1.加载训练数据集：我们首先需要一个已标记的训练数据集，其中既包含垃圾邮件的样本，也包含正常邮件的样本。
我们可以使用一个包含两个子文件夹的文件夹来存放这些样本，其中一个文件夹用于存放垃圾邮件，另一个文件夹用于存放正常邮件。
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2015年7月1日
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回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
训练模型（技 巧小结）
2015年7月1日
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回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
交叉验证 （1000）
测试结果
[百分 比] [百分 0% 比 ] 正确
从文本中构建邮件向量（words2vec）： 通常有两种实现方式：一种是基于贝努利模型，一 种是基于多项式模型实现。我们采用前一种实现方式， 将每个词的出现与否作为一个特征（词集模型，相对应 的是词袋模型），不考虑单词在文档中出现的次数，因 此在这个意义上相当于每个假设词是等权重的。 具体如下： (1）遍历所有邮件,创建一个包含所有文档中出现的 不重复的单词集合（即特征）。 (2)对于每一封邮件创建一个与单词集合等长的0向 量。接着遍历邮件中所有单词，如果出现在单词集合中 则把对应的值设为1。
2015年7月1日
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简介
朴素贝叶斯法：是基于贝叶
斯定理和特征条件独立假设的分类 方法。对于给定的训练数据集，首 先基于特征条件独立假设学习输入/ 输出的联合概率分布；然后基于此 模型对于给定的输入x，利用贝叶 斯定理求出后验概率最大的输出y. 朴素贝叶斯法实现简单，学习和预 测的效率都很高，是业界常用的一 种方法。
回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
流程图：
获取训练样 本
确定特征属 性
准备阶段
对每个特征属
性就按所有划 分的条件概率
分类器训 练阶段
应用阶段
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
准备数据
从文本中构建 词向量（贝努 利模型）
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基于朴素贝叶斯算法的垃圾邮件分类 (Python实现)
Presentation
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CONTENTS
目录
0 2 4
简介 算法 实例：邮件分类
1 3 5
回顾：基本方法 拉普拉斯平滑 流行学习
(DIM)
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
小结
看 论 文
……
大神 交流
淘 经 验
……
写 代 码
实际应用中，需要考虑很多因素，下 溢是其中一个，词袋模型在解决文档分类 问比词集模型有所提高，还有其他一些方 面的改进，比如移除停用词。 实际生活中，避免将普通邮件当作垃 圾邮件比截获每一封垃圾邮件更为重要， 收件箱收到几封垃圾邮件还是可以忍受 的，但一封重要的邮件被过滤到垃圾箱被 忽视则完全不能忍，为解决这一问题，我 们需要为每个分类设立阈值，如spam阈值 为3,则必须p(spam)>3p(not_spam)时才归 类为spam。 ……其它问题。
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回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
如果遇到零概率值怎么办？ 拉普拉斯平滑。
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
Review2:贝叶斯定理
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
Train_dataset
算法：
(表格来源：数据挖掘: 概念与技术 第3版)
2015年7月1日
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谢谢聆听
2015年7月1日
RID
1 2 3 4 5 6 7 8
age
youth youth mid senior senior senior mid youth
income
high high high medium low low low medium
student
no no no no yes yes yes no
credit_rating
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
1
Review1:分类问题综述
垃圾邮 件
非垃圾 邮件
……
各种化验检测数据来推断病情，这时医生就好比一个分类器，而这个医生诊断 的准确率，与他当初受到的教育方式（构造方法）、病人的症状是否突出（待 分类数据的特性）以及医生的经验多少（训练样本数量）都有密切关系。
64
错误
正确
936
错误
准确率：0.936%
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
流形学习
本质上，流形学习就是给数据降维的过程。这 里假设数据是一个随机样本，采样自一个高维欧氏 空间中的流形（manifold），流形学习的任务就是把 这个高维流形映射到一个低维（例如2维）的空间 里。流形学习可以分为线性算法和非线性算法，前 者包括主成分分析（PCA）和线性判别分析 （LDA），后者包括等距映射（Isomap），拉普拉斯 特征映射（LE）等。流形学习可以用于特征的降维 和提取，为后续的基于特征的分析，如聚类和分 类，做铺垫，也可以直接应用于数据可视化等。
yes
yes yes no yes no
fair
fair excellent excellent fair excellent
yes
yes yes yes yes no
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
test:X=(age=youth,income=mediu,student=yes,credit_rating=fair) (1)计算先验概率 P(buy_pc=yes)=9/14=0.643 P(buy_pc=no )=5/14=0.357 条件概率： P(age=youth|buy_pc=yes)=2/9=0.22 P(age=youth|buy_pc=no)=2/5=0.600 P(income=medium|buy_pc=yes)=4/9=0.444 P(income=medium|buy_pc=no)=2/5=0.400 P(student=yes|buy_pc)=1/5=0.200 P(credit_rating=fair|buy_pc=yes)=6/9=0.667 P(credit_rating=fair|buy_pc=no)=2/5=0.400
回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
流形学习
2015年7月1日
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回顾
算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
流 形 学 习
算法的输入是所有数据在高维情况下两两之间的距离（记i与j的距离为Dij）。现在以降到 2维为例说明这个算法。 首先我们把所有数据点随机绘制在一张二维图像上，然后计算它们两两之间的距离dij，然 后我们计算出它与高维距离Dij的误差，根据这些误差，我们将每对数据点按比例移近或移 远，然后重新计算所有dij，不断重复到我们没法减少误差为止。假设有n个点: (1)输入每一对点之间的距离Dij。 (2)随机在2维平面生成n个点，点i坐标记为x[i]、y[i]，计算它们两之间的距离，记为 dij. (3)对所有i 和j计算：eij=(dij-Dij) / Dij，每个点用一个二维的值grad[k]来表示它要 移动的距离的比例因子(初始为0，0)。在计算出每个eij后，计算 ((x[i] - x[j]) / dij)* eij，然后把它加到grad[i][x]上，同样把((y[i] - y[j]) / dij)* eij加到 grad[i][y]上。 (4)把所有eij的绝对值相加，为总误差，与前一次的总误差比较(初始化为无穷大)，大于 前一次的话就停止。否则把它作为上一次总误差，继续。 对每个点，新的坐标为x[i] - = rate * grad[i][x] y[i] - = rate*grad[i][y]，其中 rate是开始时自己定义的一个常数参数，该参数影响了点的移动速度。重新计算各个dij， 回到3。
2015年7月1日
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算法
拉普拉斯平滑
邮件分类
流行学习
小结
流形学习
2015年7月1日