【推荐】数值计算方法：-多项式插值方法

第四章 多项式插值方法
4.1 引言 4.2 Lagrange 插值多项式 4.3 Newton 插值多项式 4.4 分段低次插值
1
4.1 引言
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在 [a,b]内n+1
个互不相同的点
上取
值
。如果存在一性态较好的简单函数 P(x)，使
得
则称P(x)为f (x)的插值函数。这时，我们称 [a,b]为插值
1.7
ln x 0.182322 0.262364 0.336472 0.405465 0.470004 0.530628
试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。
解
作线性插值 得
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作抛物插值
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4.3 Newton插值多项式
问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优 缺点？
次的插值多项式
解 而此因式已为n次多项式，故应有
8
再由
称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数 或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造 多项式
9
它称为 n 次拉格朗日插值多项式。
引进 n+1 次与n次多项式函数为
n次拉格朗日插值多项式可表示为
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4.2.2 插值余项与误差估计 误差估计定理
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4.4.1 Runge现象 考虑函数
存在. 取
上的
，它在 个等距节点
上的各阶导数均
所构造的10次（n=10）拉格朗日插值多项式与原函数的图像：
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4.4 分段低次插值
4.4.2 分段低次插值 问题：如何克服龙格现象呢？ 解决办法：不用高次插值，改用分段低次插值 .
由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度 的效果, 所以实际中往往采用分段插值的思想.
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge 现象。
定理 4.1 在 n+1 个互异点
上满足插
值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且
惟一。
4
证明： 记实系数多项式 即有
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。
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4.2 Lagrange插值多项式
4.2.1 线性插值与二次插值
设给定函数
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4.3 Newton插值多项式
4.3.1 均差的定义和性质 利用如下均差表来计算均差：
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例 给出 的如下函数表，
由此计算 关于点0,2,4,8的三阶均差
.
0
2
4
8
10
-3
-39
9
解 根据给定函数表造出均差表
一阶均差 二阶均差 三阶均差
0
10
2
-3
-6.5
4
-39
-18
-2.875
8
9
12
5 0.984375
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按牛顿插值公式，将数据代入得 于是
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为了估计误差，增加一个靠近0.45的插值点0.0，在均差 表后加一行（均差与节点排列无关） .
一阶 二阶 三阶 四阶 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000 0.0 0.000000 0.734733 -4.251817 -0.722708 3.613540
插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可.
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4.3.2 Newton均差插值多项式 例4.6 根据给定数据(见p51的表)，用3次牛顿插值多项式 计算 f(0.45)的近似值,并估计近似误差.
解 由于是3次函数,所以取靠近0.45的4个点产生均差表.
一阶
二阶
三阶
0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000
两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足 ：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上 是通过三点
可以用基函数的方法求 的表达式， 是二次函数，
的抛物线.
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4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
区间， 称
为插值节（结）点 ，称（4-1）为
插值条件，f (x)为被插函数 。求插值函数 P(x)的方法称
为插值法 。
2
从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线 为y=P(x) ，使其通过给定的 n+1个点
， 并用它近似已知曲线 y=f (x).
3
特别地，当 P(x)为次数不超过 n次的代数多项式时， 相应的插值法称为 多项式插值 ；当P(x)为三角多项式 时，相应的插值法称为 三角插值 ；当P(x)为分段解析 函数时，相应的插值法称为 分段插值。其中三角插值 主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式 插值。
4.4.2 分段低次插值
? 分段二次插值 ? 分段三次埃尔米特插值 ? 三次样条插值
37
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的 . 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明 这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
情形或 导数不存在时也是适用的. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加
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均差的性质：
这性质又称为均差关于自变量的对称性。
注，设 的最高次项系数为 ，则当 系数也为
时，均差函数的最高次项
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4.3 Newton插值多项式
4.3.2 Newton均差插值多项式
根据均差定义，把 看成
Hale Waihona Puke 上一点， 可得22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值 .
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4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
逼近
设已知节点
上的函数值
记
求一折线函数
, 满足：
在每个小区间
上是线性函数.
则称 为分段线性插值函数.
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因此，截断误差
事实上，给定的函数是
因此可计算实际误差
由此可见，误差估计是相当有效的。
30
例 4.7 给定表格函数 x
1
2
3
4
5
f(x) 0.5 0.175 1.31 -1.495 10.36
（1）试用二次牛顿均差插值法求 f (2.8) 的近似值； （2）设 f (x)=-1.166 已知，试用（1）中构造的插值多项
定理4.2 设f(x)的n+1阶导数 f ( (n? 1) x )在[a,b]存在，
则对任何 x ? [a,b] ，插值余项满足
Rn ( x) ?
f ( x ) ? Ln ( x ) ?
f ?( (n ?1) ) ?
(n ? 1)!
n? 1( x ),
x
?
[a, b]
其中 ? ? ? ( x ) ? (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
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（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。
特别地，当k=1时
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例4.1：已知函数 x -1 0 1 y 1.25 0.75 1.25
解：
13
14
例 4.2 给定函数表
x
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。 缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，
整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？
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4.3 Newton插值多项式
4.3.1 均差的定义和性质
定义：称 的一阶均差.
为函数
关于点
称为 关于点 一般地，称
的二阶均差.
为 的 阶均差 （均差也称为差商）.
其中
23
证
N n (x )称为牛顿均差插值多项式 。
24
4.3.2 Newton均差插值多项式
（*）
是同Lagrange余项定义的.
由确定的多项式
满足插值条件，
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计 .