向量的坐标表示与坐标运算
向量的坐标表示及运算
向量的坐标表示及运算知识回顾：一、概念：a 是平面内任意一个向量，i 、j 分别是与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，a =x i +y j ，()y x ,叫做a 的坐标，记作a =()y x ,。
二、向量的坐标的运算： 设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 加法运算： ⑵ 减法运算：⑶ 实数与向量的积： ⑷ 向量的数量积：⑸ 已知两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，则的坐标可以表示为：⑹ a 的模 |a |=三、三种关系：设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 相等：a =b ⇔ ⑵ 共线：a //b ⇔ ⑶垂直：a ⊥b ⇔知识的运用：例1：设向量a =()2,1-，b =()1,2-，求（a • b ）（a +b ）。
例2：平面向量a ，b 中，已知()3,4-=a ，1=b ，且a ·b 0=，求b 。
例3：已知a =()2,1，b =()2,3-，当k 为何值时，⑴ k a +b 与a –3b 垂直？ ⑵ k a +b 与a –3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4：已知ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ABC ，()1,2A ，()2,3-B ，求C 点坐标。
课后练习1．已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标为 。
2．若平面向量b 与向量()2,1-=a 的夹角是90°53=，则=b 。
3．若平面向量b 与向量()2,1-=的夹角是180°53=，则=b 。
4．已知e 为单位向量，()13,13+-=且e 与a 夹角为45°，则=e 。
5．已知向量()2,2-=a ，()k ,5=b 。
若b a +不超过5，则k 的取值范围是A 、[]6,4-B 、[]4,6-C 、[]2,6-D 、[]6,2-6．已知向量()2,1=a ，()4,2--=b ，5=c ，若()b a +·25=c ，则a 与c 的夹角为A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°。
8.1向量的坐标表示及其运算
a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
高一数学必修件向量坐标表示与运算
向量的模长具有非负性、齐次性和三角不等式性质。其中，非负性指向量的模长总是大于等于0；齐次性指向量 与一个正实数相乘时，其模长也与该正实数相乘；三角不等式性质指向量a、b满足|a+b|≤|a|+|b|。
03 空间直角坐标系 中向量表示与运 算
空间直角坐标系简介
空间直角坐标系定义
空间点坐标表示
向量的数乘
一个向量与一个实数相乘，等于该向量的每个坐标与该实 数相乘得到的新向量。例如，实数k与向量a=(x, y)相乘得 到的新向量为(kx, ky)。
坐标形式下向量模长计算
向量模长的定义
向量的模长等于其坐标点到原点的距离，可以通过勾股定理计算得到。例如，向量a=(x, y)的模长为 |a|=√(x^2+y^2)。
作用
平面直角坐标系可以方便地表示平面上的点，并通过点的坐标进行各种运算。
向量在坐标系中表示方法
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个向量 可以用一个有序数对来表示，这 个有序数对称为向量的坐标。例
如，向量a可以表示为(x, y)。
向量的方向
向量的方向由其所在直线的倾斜 角确定，倾斜角为向量与x轴正
由三个互相垂直的数轴所构成的坐标 系，用于描述三维空间中点的位置。
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用一个有序实数组(x,y,z)来 表示，其中x、y、z分别为点P到x轴 、y轴和z轴的距离。
坐标轴与坐标平面
三个坐标轴分别为x轴、y轴和z轴，它 们互相垂直并相交于原点O。三个坐 标平面分别为xOy平面、yOz平面和 zOx平面。
乘法消元律
若某一方程可化为另一方程的 k倍，则这两个方程相减可消 去一个未知数。
利用向量求解线性方程组方法
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
向量的坐标表示与运算
向量的坐标表示与运算向量是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。
向量具有大小和方向两个属性，可以通过坐标表示和进行运算。
本文将介绍向量的坐标表示方法，并讨论常见的向量运算。
一、向量的坐标表示向量可以通过坐标表示为一个有序数对或者有序数组。
一般来说，我们采用n维空间中的坐标系表示向量，其中n表示向量的维度。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对(x, y)，在三维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x, y, z)。
在n维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x1, x2, ..., xn)。
向量的坐标表示可以简洁地表示向量的大小和方向。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置的分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的和向量C的坐标表示为(A1+B1, A2+B2, ...,An+Bn)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相应位置的分量相减得到一个新的向量。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的差向量D的坐标表示为(A1-B1, A2-B2, ..., An-Bn)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新的向量。
假设有一个向量A，它的坐标表示为(A1, A2, ..., An)，如果乘以一个标量c，那么得到的数乘向量E的坐标表示为(cA1, cA2, ..., cAn)。
三、向量的运算性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。
这意味着两个向量相加的结果与它们的顺序无关，只与各个向量的分量有关。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
这意味着多个向量相加的结果与它们的加法顺序无关，只与各个向量的分量有关。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
8.1.2向量的坐标表示及其运算
二、定比分点的概念
于P 的任意一点， 则存在唯一的实数 ，使得 , P 1 2
设P 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同 1, P 2
PP 1 PP 2
其中 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 1 2
P1
P P1 P
P2 P2 P2
P
l l l
0
例 6．已知 A3,2 , B8,3点 P 在直线 AB 上， 且满足 AP 2 PB ，求点 P 的坐标.
例 7．在 ABC 中， A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ， 求 ABC 重心 G 的坐标.
A
G
.
E
B
D
C
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G , 3 3
例 1．已知 a x 1,2, b 1, x （1）若 a // b ，求实数 x 的值； （2）若 a b //a b ，求实数 x 的值.
例 2．已知 a // b , a 2,3 ,且 b 2 13，求 b 的坐标.
方法一： 方法二：
例3. O 是坐标原点， OA (k ,12), OB (4,5),
A, B, C 三点共线？ OC (10, k ) ，当 k 为何值时， 分析： A, B, C 三点共线的充要条件是 AB // BC
解： AB OB OA (4 k , 7)
BC OC OB (6, k 5) AB// BC (4 k ) (k 5) 6 (7) 0 2 化简得： k 2 或 11 k 9k 22 0 解得： A, B, C 三点共线. 因此 k 2 或 11时，
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例11.已知
G a
=(1，2)，bG
=(x，1)，若
G a
+
G 2b
与
G 2a
G − b平行，
则x的值为．
JJJG G G JJJG
G
G
例分1别0.与若xA、By轴= i正+方2 j向，C相D同=且(3为− x单)i位+向(4量− )y，) jJA(J其BJG 与中CiJ、JDJGj共的线方，向
则x、y的值可能分别为( )
向量的坐标表示与坐标运算
【内容简介】 1.向量的坐标表示 2.向量的坐标运算 例3.已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)，B(1， 3)，C(3， 4)，求 点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
JJG
JJG
JJG
例4.已知JJ三G 个JJ力G FJ1JG= (3G,4) ，JFJG2 = (2, −5) ，F3 = ( x, y)
A. 1，2
B. 2，2
C. 3，2
D. 2，4
互动练习时间！ 快向南瓜老师证明： 机智的小瓜子 已经掌握好了这些内容吧！ 数学演义
2
的合力 F1 + F2 + F3 = 0，求F3 的坐标
例5.如何用坐标表示两பைடு நூலகம்共线向量？
例6.若向量
G a
G =(-1，x)与 b =(-x，
2)共线且方向相同，求x．
例9.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
1
JJJG JJJG 例7.已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(1,5) ，D(2,7) ，向量 AB与CD 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？