高二第一学期期中考试数学试卷 (1)
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。
贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
六盘水市纽绅2024～2025学年度高二（上）期中考试数学试卷（答案在最后）考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设m ∈R ，向量()1,,1b m =，()2,4,2c =-，且//b c，则m =（）A.3-B.1- C.1D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解.【详解】因为向量()1,,1b m = ，()2,4,2c =-，且//b c，则11242m ==-，解得2m =-.故选：D.2.已知直线l 的一个方向向量为(3,，则直线l 的倾斜角α=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】D 【解析】【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线l 的一个方向向量为(3,，所以直线l 的斜率为3tan ,01803k αα==≤< ，从而直线l 的倾斜角150α= .故选：D.3.已知点P 在ABC V 所在平面内，O 为空间中任一点，若1123OP OA OB xOC =++，则x =（）A.56B.56-C.16D.16-【答案】C 【解析】【分析】根据四点共面的结论运算求解即可.【详解】因为1123OP OA OB xOC =++，且,,,P A B C 四点共面，则11123x ++=，解得16x =.故选：C.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1111111,,,A B B C A D BB 的中点，则2GF GH EG ++=（）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】应用向量加法法则得到2GF GH EG =++ EF EH +，再应用向量数量积的运算律求模.【详解】由题设，易知EFH △的正三角形，所以2GF GH EG EG GF EG GH EF EH ++=+++=+==故选：A5.已知点()2,4A 、()3,2B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为（）A.10470x y +-= B.10420x y ++=C.104170x y +-=D.41070x y +-=【答案】A 【解析】【分析】利用斜率计算公式可得：AB k ，线段AB 的中点为(2,1)-，即可得出线段AB 的垂直平分线的方程．【详解】422235AB k -==+，线段AB 的中点为1(,3)2-，∴线段AB 的垂直平分线的方程是513()22y x -=-+，化为：10470x y +-=，故选：A ．6.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.至少有一个白球；红､黑球各一个D.恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A ，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A 不是；对于B ，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B 不是；对于C ，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C 是；对于D ，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D 不是.故选：C7.已知点P 到直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=的距离相等，则点P 到坐标原点距离的最小值为（）A. B.2C.322D.4【答案】C 【解析】【分析】由两直线平行可判断点P 所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.【详解】因为直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=平行，且点P 到他们的距离相等，所以点P 在直线:30l x y --=上，当OP l ⊥时，点P 到坐标原点距离的最小，2=故选：C8.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为13，m ，n ，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为130，三个社团考核都没有通过的概率为415，则m n +=（）A.45B.710C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合独立事件以及对立事件概率求法，列式求解.【详解】因为他三个社团考核都通过的概率为130，则11330mn =，即110mn =，又因为三个社团考核都没有通过的概率为415，则()()14111315m n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，整理可得()215m n mn -++=，所以271510m n mn +=+-=.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A.某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A 错误；对于B ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B 正确；对于C ，某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，是指一位病人被治愈的概率为10%，不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错．故选：ACD ．10.已知直线1l ：0ax y b --=，2l ：0bx y a -+=，当a ，b 满足一定的条件时，它们的图形可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系，结合图形逐一判断．【详解】直线1:0l ax y b --=可化为y ax b =-的斜率为a ，在y 轴上的截距为b -．直线2:0l bx y a -+=可化为y bx a =+的斜率为b ，在y 轴上的截距为a ．当0a b =<时，直线1l 与2l 平行且图象满足A 所示，故A 正确．选项B 中，由直线2l 在y 轴上的截距可得0a >,0b <，而由直线1l 的斜率为a ，可得0a <，故B 不正确．选项C 中，由直线2l 的斜率为0b <，而直线1l 在y 轴上的截距0b ->．直线2l 在y 轴上的截距为0a >，直线1l 的斜率为0a >，故C 正确．选项D 中，由直线2l 的斜率为0b >，而直线1l 在y 轴上的截距0b -<．直线2l 在y 轴上的截距为0a <，直线1l 的斜率为0a <，故D 正确．故选：ACD ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E ､F ､G ､H 分别为1CC ､BC ､CD ､1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A .1//B G EFB.1//A H 平面AEFC.点1B 到平面AEF 的距离为2D.二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，11(2,2,2),(0,1,0),(0,2,1),(1,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,1),B G E F A A H 所以1(2,1,2),(1,0,1)B G EF =---=- ，所以1220B G EF ⋅=-+=，所以1B G EF ⊥，故A 选项错误；1(0,2,1),(1,2,0),A H AF =-=-设平面AEF 的法向量为()，，=n x y z ，则020n EF x z n AF x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2,x =则1,2y z ==，所以()212n = ，，，所以1220A H n ⋅=-=，由于1A H ⊄平面AEF ，所以1//A H 平面AEF ，故B 选项正确；1(0,2,2)B A =-- ，所以1B 到平面AEF 的距离为162,||3n B A d n ⋅=== 故C 选项正确；由正方体可得1DD ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为()10,0,2DD =，设二面角E AF C --的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，1142cos ,323||n DD n DD θ⋅===⨯⋅ 所以θ≠4π，故D 选项错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生[]1,5内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．【答案】715【解析】【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为715．故答案为：715.13.直线:(2)(31)4l a y a x -=--不过第二象限，则a 的取值范围为_________．【答案】[)2,+∞【解析】【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可.【详解】当20a -=时，即2a =，方程为45x =，此直线不过第二象限，符合题意；当20a -≠时，将直线:(2)(31)4l a y a x -=--化为斜截式为：(31)4(2)(2)a y x a a -=---.由于不过第二象限，所以(31)0(2)40(2)a a a -⎧>⎪-⎪⎨⎪-<⎪-⎩，解得2a >；综上：2a ≥，故a 的取值范围为：[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.14.阅读材料：数轴上，方程0Ax B +=（0A ≠）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3570x y z -+-=，直线l 是两平面370x y --=与4210y z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为______.【答案】35【解析】【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可.【详解】平面α的方程为3570x y z -+-=，所以平面α的法向量可取()3,5,1m =-，平面370x y --=的法向量为()1,3,0a =-，平面4210y z ++=的法向量为()0,4,2b = ，设两平面的交线l 的方向向量为(),,c p q r = ，由30420c a p q c b q r ⋅=-=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3p =，则1q =，2r =-，所以()3,1,2c =-.设直线l 与平面α所成角的大小为θ，则sin cos ,35c m θ==.故答案为：35.四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）设平面直角坐标系内三点(),3A m m --、()2,1B m -、()1,4C -，若直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的3倍，求实数m 的值；（2）已知直线l 经过原点，且经过两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.【答案】（1）1或2；（2）20x y -=.【解析】【分析】（1）利用斜率公式列方程求解即可；（2）先求出两直线的交点，然后由两点式可得.【详解】解：（1）由3AC BC k k =，即()()43413112m m m-----=⋅----，解得1m =或2m =，经检验均符合题意，故m 的值是1或2.（2）因为方程组238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩的解为12x y =-⎧⎨=-⎩，所以两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为()1,2--，由题意知直线l 经过点()1,2--.又直线l 经过原点，所以直线l 的方程为002010y x --=----，即20x y -=.16.“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．【答案】（1）6种，()1,2,3；()1,3,2；()2,3,1；()2,1,3；()3,1,2；()3,2,1（2）13【解析】【分析】（1）根据题意列出全部基本事件即可.（2）根据题意得到玩偶的编号与所在盒的编号均不相同有()2,3,1，()3,1,2两个基本事件，再利用古典概型公式计算即可.【小问1详解】共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为()1,2,3；()1,3,2；()2,3,1；()2,1,3；()3,1,2；()3,2,1．【小问2详解】设所求事件为A ，则A 包含有()2,3,1，()3,1,2两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故()2163P A ==．17.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点.（1）求直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）判断直线1A F 与平面ABF 的关系.【答案】（1）π3（2）垂直【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）利用向量法求出1AF A F ⊥，1A F AB ⊥，从而直线1A F 与平面ABF 垂直．【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点．以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z轴，建立空间直角坐标系，则(0A ,0,0)，(2B ,0,0)，(0C ,2,0)，1(0A ,0,4)，(2E ,0,2)，(0F ,2,2)，∴(2AE = ,0,2)，1(0A F = ,2,2)-，设直线AE 与1A F 所成角为θ，则1141cos 82AE A F AE A F θ⋅===⋅ ，π3θ∴=，∴直线AE 与1A F 所成角的大小为π3；【小问2详解】直线1A F 与平面ABF 垂直，理由如下：由（1）知(0AF = ,2,2)，(2AB = ,0,0)，∴10440AF A F ⋅=+-= ，10A F AB ⋅=，1AF A F ∴⊥，1A F AB ⊥，AF AB A = ，AF 、AB ⊂平面ABF ，∴直线1A F 与平面ABF 垂直．18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为,,,A B C D 四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级,,A B C 的概率分别是313,,4832.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.【答案】（1）78（2）316【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件()()1221A B A B ⋃，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件,,,A B C D 分别表示“被评为等级,,,A B C D ”，由题意，事件,,,A B C D 两两互斥，所以()31311483232P D =---=，又A B = “不被罚款”，所以317()()()488P A B P A P B ⋃=+=+=.因此“不被罚款”的概率为78；【小问2详解】设事件,,,i i i i A B C D 表示“第i 单被评为等级,,,A B C D ”，1,2i =，则“两单共获得的奖励为3元”即事件()()1221A B A B ⋃，且事件1221,A B A B 彼此互斥，又()()12213134832P A B P A B ==⨯=，所以()()()()122112213323216P P A B A B P A B P A B =⋃=+=⨯=⎡⎤⎣⎦.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，90DAB ADC ∠=∠=︒，1AB AD ==，2CD =，1BD CD ⊥．点M 为1CD 的中点，且12CD BM =．（1）证明：平面BDM ⊥平面1BCD ；（2）若钝二面角B DM C --的余弦值为15-，当1BD BD >时，求1BD 的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）先证1BD BD ⊥，BC BD ⊥得到BD ⊥平面1BCD ，可得平面BDM ⊥平面1BCD .（2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【小问1详解】因为M 为1CD 中点，且12CD BM =，所以190D BC ∠=︒，即1BD BC ⊥，又1BD CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面ABCD ，所以1BD ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以1BD BD ⊥.因为90DAB ADC ∠=∠=︒，所以//AB CD .又1AB AD ==，2CD =，所以BD BC ==所以222CD BD BC =+，则BC BD ⊥.又1BD BC B = ，1,BD BC ⊂平面1BCD ，所以BD ⊥平面1BCD .又BD ⊂平面BDM ，所以：平面BDM ⊥平面1BCD .【小问2详解】由（1）可知：BC ，BD ，1BD 两两垂直，故可以B 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0B，)C，()D ，设()10,0,D a（a >，则,0,22a M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()BD =，,22a DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)DC = .设平面BDM 的一个法向量为 =1,1,1，由00BD m DM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11110022a x z =+=⎪⎩，可取2,0,12m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面CDM 的一个法向量为 =2,2,2，由00DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒222220022a x z =-+=⎪⎩，可取,,122n a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .11152cos ,15a m n -=- ，整理得：42133314042a a -+=⇒24a =（214213a =<舍去）所以2a =，即12BD =.。
山西大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
山大附中2024~2025学年第一学期期中考试A．B．C．D．2．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3. 圆的圆心坐标和半径分别是（）A．B．C．D．4．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（）ABC．D5．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（）A．B．C．D．6. 若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（）A B．C．D8．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．1F12Rr l32r R+23r R+2r R+13r R+:34110l x y+-=222:14x yCm+=,A B()1,2P AB CF C2212516x y+=P C Q22:(3)1M x y++=PFPQ12232983 30︒45︒60︒120︒1m=-0x y-=20x m y+=22680x y x y+-+=()3,4,25()3,4,5-()3,4,25--()3,4,5--1111ABCD A B C D-1160A AB A AD∠=∠=︒90DAB∠=︒1AC=122210x y ax y+-++=221x y+=1y x=-(,)C a a-P y P24480x x y+-+=22220y x y--+=2210y x y---=24480y x y+-+=二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知曲线，则（ ）A ．当时，是圆B ．当时，是椭圆且一焦点为C ．当时，是椭圆且焦距为D ．当时，是焦点在轴上的椭圆10．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点满足B．满足的点的轨迹长度是C ．满足平面的点D ．满足的点11“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A ．B ．C ．四边形的内切圆过焦点，D ．轴，且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．13．，函数的最小值为 ．14．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则直线所成角余弦值为．222:1(0)33x y C λλλ+=>-+3λ=C 2λ=C ()2,04λ=C 03λ<<C y 1111ABCD A B C D -M 1CC N ABCD N 2ANM π∠=1A N =N 4πMN ∥11A BC N 11B N A M ⊥N 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F P C 21212124A F F A F F =11290F B A ∠=︒1221A B A B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B ,x y ∀∈R ()1,3455f x y x y =+-221:1C x y +=222:4430C x y x y +--+=12O O 1:2ABCD π3EF 2π3DO E ∠=AE BF 、四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知空间三点，，，设．(1)求和的夹角的余弦值；(2)若向量与互相垂直，求的值．16.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知的顶点，AB 边上中线CD 所在直线方程为，AC 边上的高BH 所在直线方程为，求：(1)顶点C 的坐标；(2)求的面积．17.（本小题满分15分）已知圆C ：和定点，直线l ：（）.(1)当时，求直线l 被圆C 所截得的弦长；(2)若直线l 上存在点M ，过点M 作圆C 的切线，切点为Bm 的取值范围．()2,0,2A -()1,1,2B -()3,0,4C -,b AC a AB == a b θka b + 2ka b - k ABC △()3,4A 23110x y +-=370x y -+=ABC △22260x y x +--=()4,0A -()68y m x =+-m R ∈1m =18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点.(1)求证：平面；(2)若直线与平面的长度；(3)若，线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．19.（本小题满分17分）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，．若，且当直线轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；(3)记的面积为，求的最大值．P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E PA //PC BDE BEPCD PA 2PA =PC F AF ⊥BDE PF C 22221(0)x y a b a b+=>>A F C F l C P Q 3AF =l x ⊥3PQ =C AP AQ 1k 2k 12k k APQ △S S。
2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷附答案解析
2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α=，则β=_________.3.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.4.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.9.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222ba -=，333b a -=．若数列{}na 唯一，则a =______.二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.上2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）【答案】∈【解析】【分析】由点线面的位置关系判断即可.【详解】点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ∈α，故答案为：∈2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，则β=_________.【答案】60o 或120 【解析】【分析】由等角定理求解即可.【详解】角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，由等角定理可知，βα=或180βα+= ，则60β= 或120 ，故答案为：60o 或1203.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.【答案】5【解析】【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解.【详解】设截得的棱台的高为h ，由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得2932(9162h -=，解得5h =，所以截得的棱台的高为5.故答案为：54.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.【答案】外【解析】【分析】设侧棱与底面所成角为θ，则tan SO SO SOOA OB OCθ===，故OA OB OC ==，从而判断即可.【详解】三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为θ，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，所以tan SO SO SOOA OB OCθ===，所以OA OB OC ==，故O 是ABC V 的外心.故答案为：外5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.【答案】816π+【解析】【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积.【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径2πr =，所以该圆柱的表面积282π1616πS r =+=+.故答案为：816π+6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.【答案】245【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由11//B C 平面11A BCD ，所以棱11B C 与平面11A BCD 的距离即为1B 到平面11A BCD 的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可.【详解】11//B C BC ，11B C ⊄平面11A BCD ，⊂BC 平面11A BCD ，所以11//B C 平面11A BCD ，所以1B 到平面11A BCD 的距离即为棱11B C 与平面11A BCD 的距离，如图：建立空间直角坐标系，8AB =，16AA =，设AD a =，所以()1,0,6A a ，(),8,0B a ，()0,8,0C ，()10,0,6D ，()1,8,6B a ，()10,8,6A B =- ，(),0,0BC a =-，设平面11A BCD 的法向量为 =s s ，则10m A B m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故8600y z ax -=⎧⎨-=⎩，则0x =，令6y =，8z =，故()0,6,8m =，()10,0,6BB = ，所以1B 到平面11A BCD的距离为：1245m BB m ⋅==，故答案为：2457.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得1DBC ∠或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果.【详解】如图所示：不妨设1222BD CD AA ===，则由长方体性质可得3BC =，易知直线1BC 与直线11B D 所成的角即为直线1BC 与直线BD 所成的角，即为1DBC ∠或其补角；在1BDC 中，可得1122,2,B BC D D C ===由余弦定理可知22211114423cos 22224BD C B C D DBC BD C B +-+-∠===⨯⨯⨯⨯.故答案为：348.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.【答案】(2【解析】【分析】利用等比数列前n 项和的极限，得到关于1a 的代数式，进而求得1a 的取值范围.【详解】各项均为正数的等比数列中，设其公比为q ，首项为1a ，则1lim 1n n a S q∞→+=-，01q <<，则1112a q a =-，则()121a q =-，由01q <<，可得011q <-<，()0212q <-<，则()0212q <-<，则1a 的取值范围是(2.故答案为：(29.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．【答案】1k +##1k +【解析】【分析】根据题意，依次分析(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f 的值，由此类推，归纳可得答案.【详解】1条直线把平面分成2个区域，2条直线把平面分成224+=个区域，则有(2)(1)2f f =+，同理，3条直线把平面分成2237++=个区域，则有(3)(2)3f f =+，4条直线把平面分成223411+++=个区域，则有(4)(3)4f f =+，5条直线把平面分成2234516++++=个区域，则有(5)(4)5f f =+，依次类推，第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即(1)()1f k f k k +=++．故答案为：1k +.10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________【解析】【分析】由斜二测画法的特点可知平行于x 轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出O C ''，然后求出原图中OC 的长度即可求解.【详解】由于ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' ，则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边为A B AB ''=，在O A C ''' 中1A C ''=，45A O C '''∠= ，60C A B '''∠=o ，所以120C A O '''∠=o ，由正弦定理得：sin sin C O A C C A O C O A''''=''''''∠∠，所以2222O C ''==，所以原图ABC V 中AB边上的高为：22OC =⨯=，.11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC ，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，求解即可.【详解】由题意知，1PA 在几何体内部，但在面11A C B 内，把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，而11AC ⊂平面111AB C ，则111A C CC ⊥，因为90ACB ∠=︒，则11190A C B ∠=︒，即1111A C B C ⊥，又1111111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂平面11BB C C ，则11A C ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111A C BC ⊥，即190AC B ∠=︒，因为1BC CC ==，易知1CC BC ⊥，所以140CC B ∠=︒所以114590135CC A ∠=︒+︒=︒，而116A C =，1CC =所以在11C CA 中，22211111112cos13550A C A C CC A C CC =+-⋅︒=，所以1AC =，即1CP PA +的最小值为故答案为：12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=．若数列{}n a 唯一，则a =______.【答案】13【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，依题意可得24310aq aq a -+-=，且2440a a ∆=+>，由于数列{}n a 唯一，则公比q 的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，∵()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，∴11b a =+，22b aq =+，233b aq =+．∵1b ，2b ，3b 成等比数列，∴()()()22213aq a aq+=++，整理得24310aq aq a -+-=.∵0a >，∴2440a a ∆=+>，∴关于公比q 的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为13a-．又数列{}n a 唯一，公比q 的值只能有一个，故这两个q 的值必须有一个不满足条件．∵公比q 的值不可能等于0，∴方程24310aq aq a -+-=必有一根为0，把0q =代入此方程，解得13a =．故答案为：13二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱【答案】B 【解析】【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于A ，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故A 不正确，对于B ，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B 正确，对于C ，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C 不正确；对于D ，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故D 不正确.故选：B.14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【详解】对于A ，若1l ∥α，2l ∥α，则有1l ∥2l 或1l 与2l 相交或1l 与2l 异面，故A 错误；对于B 、C ，如果1l ⊥2l ，2l ⊥α，则有1l ∥α或1l ⊂α，故B 、C 错误；对于D ，如果1l ⊥α，则1l 垂直α内的所有直线，又2l ∥α，则过2l 与α相交的平面交α于a ，则2l ∥a ，∴1l ⊥2l ，故D 正确．故选：D ．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B【答案】B 【解析】【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A 选项：四边形11A D SP 是平行四边形，1A S 与1D P 相交，故A 错；C 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D R 与1DB 相交，故C 错；D 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D B 与1DB 相交，故D 错；利用排除法可得选项B 正确.故选：B.16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352【答案】C 【解析】【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果.【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列即为按照1,1,0成周期出现的数列，周期为3，易知202667531=⨯+，一个周期内的三个数字之和为2；所以数列的前2026项的和为675211351⨯+=.故选：C三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项n a ，前n 项和为n S ，再利用数学归纳法证明.【详解】等差数列中，1(1)n a a n d n =+-=，1()(1)22n n n a a n n S ++==，当1n =时，311a =，21n S =，原等式成立；假设当N ()n k k *=∈时，原等式成立，即321kk i ka S==∑，321(1)[2ki k k k =+=∑，则133233311121((1)[]21)(1)k kk i i k k ak a a k k k k +++===+=++++=+∑∑()()()()()()22222211112412442k k k k k k k k S +⎡⎤++++⎡⎤=⋅++=⋅+==⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即当1n k =+时，原等式成立，所以对一切N n *∈，等式321ni n i aS ==∑成立.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【答案】（1）2π；（2）36+﹒【解析】【分析】(1)设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积．(2)该几何体的体积()13BCD V S S AO =+⋅△半圆，由此能求出结果．【小问1详解】如图，设BD 的中点为O ，连接OA OC 、，A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，OA ∴⊥平面BCD ．2BD = ，1BC =，AC 与底面所成角的大小为3π，∴在Rt AOC 中，1OC =，3ACO π∠=，2AC =，AO =，∴圆锥侧面积为：2222r AC πππ⋅=⨯⨯=；【小问2详解】该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，AO = ，90BCD ∠=︒，CD ∴=∴该几何体的体积V =()11133133226BCD S S AO π+⎛⎫+⋅=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭半圆△．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.【答案】（1）3arcsin3（2）1【分析】（1）取BC 的中点O ，连接,OM OP ，易证得PA ⊥平面BMC ，,OM BC OP BC ⊥⊥，则POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，再解Rt POM 即可；（2）由PM ⊥平面BMC ，可得线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，即可得解.【小问1详解】取BC 的中点O ，连接,OM OP ，在正四面体P ABC -中，PA 的中点为M ，则,,3BM PA CM PA BM CM ⊥⊥==，因为O 为BC 的中点，所以,OM BC OP BC ⊥⊥，所以POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，因为,,BM CM M BM CM ⋂=⊂平面BMC ，所以PA ⊥平面BMC ，又OM ⊂平面BMC ，所以PA OM ⊥，在Rt POM 中，1,3PM OP ==，则3sin 3PM POM OP ∠==，所以二面角M BC P --的大小为3arcsin3；【小问2详解】由（1）知PM ⊥平面BMC ，所以线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，所以点P 到平面BMC 的距离为1.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）不共面，证明见解析（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）（i ）由线面垂直的性质可得1C O ⊥AD ，然后由面面垂直的判定可证，（ii ）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确；（2）利用面面平行的判定可得平面OMN ∥平面1ABC ，然后利用线面平行的定义得证.【小问1详解】（i ）由1C O ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则1C O ⊥AD ，又OE AD ⊥，1OE OC O = ，1,OE OC ⊂平面1OEC ，则AD ⊥平面1OEC ，因为AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）11,,,O E D C 不共面，假设11,,,O E D C 共面于α，由四棱柱1111ABCD A B C D -，得平面//ABCD 平面1111D C B A ，又平面ABCD OE α⋂=，平面11111A B C D C D α⋂=，所以11//OE C D ，又11//CD C D ，所以//OE CD ，又OE AD ⊥，即CD AD ⊥，又90ABC ∠= ，且90ADC ∠=︒，//AB CD ，从而四边形ABCD 为矩形，与AB CD >矛盾!所以11,,,O E D C 不共面；【小问2详解】取BC 的中点N ，连接CO 并延长交AB 于P ，因为90ABC ∠=︒，OB OC =，所以O 为CP 的中点，//ON AB ，因为ON ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，所以//ON 平面1ABC ，由M 是1CC 的中点，1//,MN BC MN ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以//MN 平面1ABC ，因为ON MN N ⋂=，,ON MN ⊂平面OMN ，所以平面//OMN 平面1ABC ，因为1AC ⊂平面1ABC ，所以1//AC 平面OMN .21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.【答案】（1）2nn a =()N,1n n ∈≥（2）244233n n n B =⨯++()N,1n n ∈≥.（3）3【解析】【分析】（1）直接给,m n 赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项；（2）通过n a 和前n 项和之间的关系求解通项即可；（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较1,n n c c -的大小即可.【小问1详解】对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅成立，12a =，所以令,1m n p ==，得11n n a a a +=⋅，N,1n n ∈≥，∴数列（N,1n n ∈≥）是首项和公比都为2的等比数列.∴2nn a =（N,1n n ∈≥）.【小问2详解】由()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，得()31121231N,221212121n n n b b b ba n n ---=++++∈≥++++ ，故()1N,221n n n n ba a n n --=∈≥+，所以()()121122122N,2n nn n n b n n ---=+=+∈≥，当1n =时，11121b a =+，16b =，于是，()()21122,N,26,1n n n n n b n --⎧+∈≥⎪=⎨=⎪⎩，当1n =时，116B b ==；当2n ≥时，()()35211211236222222n n n n B b b b b --=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()311221421261212n n ----=++--244233n n =⨯++又1n =时，12442633B =⨯++=，综上，有244233n n n B =⨯++，N,1n n ∈≥.【小问3详解】因为2n n n B c =，11116322B c ===，所以()24121,N,1332n n n c n n =⨯+⨯+∈≥，所以()111112412412121212,233233232n n n n n n n n c c n -----⎛⎫-=⨯+⨯+-⨯--=-≥ ⎪⎝⎭，数列{}()N,1n c n n ∈≥是单调递增数列，即数列{}n c 中数值最小的项是1c ，其值为3.。
上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷-L
上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 ．2．若数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，则6S = ．3．已知球的表面积为4π，则该球的体积为 ．4．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为 .5．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，F 是BB 1的中点，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .6．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为 .7．已知数列{}n a 满足：11a =且()*110N 1n n a n a ++=∈+，则2024a = ．8．两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是9．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 .（1）BM 与ED 平行； （2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成π3； （4）DM 与BN 垂直；10．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.二、单选题11．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）A ．两个点B ．三个点C ．一条直线和一个点D ．两条相交直线12．设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若//,//m n m α，则//n αC ．若//,//m n αα，则//m nD ．若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m n 13．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为A ．[,]43ππB ．⎡⎢⎣C ．[4πD ．π2三、解答题14．如图，1AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，点C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段1AC 的中点．已知14AA AC ==，3BC =．(1)求圆柱的侧面积；(2)求BC 与AM 所成的角．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD 与1AC 所成角的大小；(2)求点C 到平面11ABC D 的距离．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若210a =，46a =，(1)求na (2)当n S 取最大值时，求n 的值17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，13,5,4,4AC AB BC AA ====，点D 是AB 的中点.(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求三棱锥11C AA D -的体积.18．如图，正方形ABCD 中，边长为4，E 为AB 中点，F 是边BC 上的动点.将ADE 沿DE 翻折到SDE ，BEF 沿EF 翻折到SEF ，(1)求证：平面SEF ⊥平面SFD ；(2)当F 是边BC 的中点时，二面角D SE F --的大小；(3)设面SAD ⋂面SBC l =，求证：//AD l .(4)若12BF >，将ADE 沿DE 翻折到SDE ，BEF 沿EF 翻折到SEF ，连接DF ，设直线DS 与平面DEF 所成角为θ，求sin θ的最大值.。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．1．已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ）A ．0B ．CD2．在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（ ）A ．B ．0C ．1D ．23的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．圆和圆的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．已知且，则的最大值为（ ）A ．1BCD ．56．若椭圆（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．以上都不对7．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AB CD8．曲线所围成图形的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D．二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知且，则的值可能是（ ）1111ABCD A B C D -1A D AC 12Oxyz (1,1,0),(0,1,1),(2,1,)a b c z === ,,a b cz 1-340y ++=150︒120︒60︒30︒222410x y x y ++-+=224210x y x y +--+=,x y ∈R 221x y +=43x y -2212x y m +=m =12,F F 1F AB 2ABF △21||x y y -=-3π2,,x y z ∈R 2221x y z ++=222(1)(1)(2)x y z -+-+-A ．1B ．2C ．3D ．410．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知，点，点，且P ，O 不重合，P ，A 不重合，则（ ）A ．若，则x ，y ，z 满足：B ．若，则x ，y ，z 满足：C ．若，则x ，y ，z 满足：D ．若，则x ，y ，z 满足：11．现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM 与底面直径MN 的长度都是2.点是PM 的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（ ）AB ．1C ．D ．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过点垂直，则直线的方程是 .13．已知点，点B ，C 是直线与圆的交点，则经过点A ，B ，C 的圆的方程是 ．14．已知点在椭圆上，点，则的取值范围是 .四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知椭圆的长轴端点是和(1)求椭圆的方程；(2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围.16．如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为.(1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值；(2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由.(1,1,1)n =(1,0,0)A (,,)P x y z ||1AP =2221x y z ++=AP n ⊥1x y z ++=//AP n1x y z-==,45OP n ︒〈〉=2224440x y z xy yz zx ++---=P αA βA α30︒β32l P 50y -+=l (5,0)A 1x =225x y +=M 22:1169x y C +=(3,0)(3,0)P Q -、||||MP MQ +C (A -B C P C P (0,1)M P ABCD -AB =PA ABCD 60o PAB ABCD PB E AE PC ⊥E17．如图，在三棱柱中，点是棱AC 的中点.侧面底面ABC ，底面ABC 是等边三角形，.(1)求证：平面ABC ；(2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值.18．已知点与点关于直线对称.(1)求点的坐标m ，n （用表示）；(2)若点在曲线所在曲线的方程.19．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，设点M ，N 在上，点M ，N 与点不重合，且直线MN 不与轴垂直，记分别为直线AM ，AN 的斜率.（ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN 经过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q ，求点的轨迹方程.111ABC A B C -O 11AA C C ⊥11,AB AA A B AC =⊥1A O ⊥11AA B B 11CC B B (,)P m n ()00,Q x y :l y =P 00,x y (,)P m n y (,)Q x y 12(1,0),(2,0)F F P P C C (1,1)A C A x 12,k k λR λ∈1)λ≠12k k λ=Q答案1．D解析：在正方体中，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，又易得是等边三角形，所以，所以与故选：D.2．A解析：由空间向量共面定理可得存在实数，使得，即，所以，解得.故选：A 3．A得故直线的斜率为，所以倾斜角为．故选：A ．4．B1111ABCD A B C D -11A B AB CD ∥∥11A B AB CD ==11A B CD 11A D B C P 1B CA ∠1A D AC 1B CA V 160B CA =∠︒1sin B CA ∠1A D AC ,x y a xb yc =+()()()1,1,00,,2,,x x y y yz =+1210y x y x yz=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩12121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩340y ++=43y =-)0,180︒⎡⎣150︒解析：由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆，圆，即以为圆心，为半径的圆，则故，因此两圆相交，则有2条公切线.故选：B.5．D解析：令，则，其中，因为，则，所以的最大值为.故选：D 6．C解析：当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，.故选：C 7．A解析：是正三角形，，故选：.8．A 解析：()()222222410122x y x y x y ++-+=⇔++-=()11,2C -12r =()()222224210212x y x y x y +--+=⇔-+-=()22,1C =22r =12C C ==12022224C C =-<<+=[]cos ,sin ,0,2x y θθθπ==∈()434sin 3cos 5sin x y θθθϕ-=-=-3tan 4ϕ=()[]sin 1,1θϕ-∈-()[]5sin 5,5θϕ-∈-43x y -5x e =1m =y e ==4m =2ABF V 212|||AF F F ∴==1212||2||,||||2AF AF AF AF a ∴==+==e ∴A由可得，即，所以，又，即，当且时，则方程为，即，所以，当且时，则方程为，即，当时，则，所以方程为，即，画出如图所示图像，其中弓形与弓形相等，由割补法可知，围成图形的面积为.故选：A 9．CD解析：因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点.则表示到距离的平方.类比点到圆上距离的范围，可得，，则 ，.故，则只有CD 满足条件.故选：CD 10．BCD解析：A 由题，，因，则A 错误；B 因，则，故B 正确；C 因，则，故C 正确；21x y y -=-10y -≥1y ≤11y -≤≤22221x y y x y y x x =-+≥-+==11x -≤≤[]0,1∈y 20x y -≥21x y y -+=21x =1x =±[]0,1∈y 20x y -<21y x y -+=212x y +=[)1,0y ∈-20x y ->21x y y --=212x y -=AB CD 212⨯=2221x y z ++=(),,x y z 222(1)(1)(2)x y z -+-+-(),,x y z ()1,1,2)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≤=+)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≥+=-1.414 1.732≈≈ 2.449≈711.898+≈7 2.102-≈22222(1)(1(1)2)x y z <-+-<-+()1,,AP x y z =- ()2222221112AP x y z x y z x =⇒-++=⇒++= AP n ⊥101AP n x y z x y z ⋅=-++=⇒++= //AP n 11111x y zx y z -==⇒-==D 因，则.即，故D 正确.故选：BCD.11．ABC解析：如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截面相交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足：.对于A对于B，长轴长度可以为；对于C；对于D 选项，.故选：ABC 12．的斜率为所以的方程为：，即.故答案为：13．,45OP n ︒〈〉=()()22221cos ,23x y z OP n x y z ++〈〉==⇒=++ ()()2222222324440x y z x y z x y z xy yz zx ++=++⇒++---=A PMN β1AA AM βPMN 12a AA =2a AM =1AA =AM =βPMN 12AA a AM <<1<<132<322>240x -=50y -+=l l )1y x =-40x -=40x -=2250x y x -=+解析：因点B ，C 是直线与圆的交点，则设过B ，C 的圆的方程为：，代入，则，则过过点A ，B ，C 的圆的方程是：.故答案为：14．解析：由椭圆与椭圆有相同的短轴，由椭圆与椭圆有相同的长轴，又椭圆与椭圆有相同的焦点，即点，由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，椭圆在椭圆上及其内部，当点在上时，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在短轴的端点时取等号，当点在上时，，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在长轴的端点时取等号，所以的取值范围是.故答案为：.1x =225x y +=()22510x y x λ+-+-=(5,0)A 255405λλ-+=⇒=-()2222551050x y x x y x +---=⇔+-=2250x y x -=+22:1169x y C +=221:1189x y C +=22:1169x y C +=222:1167x y C +=222:1167x y C +=221:1189x y C +=12(3,0),(3,0)F F -(3,0)(3,0)P Q -、22:1169x y C +=221:1189x y C +=222:1167x y C +=22:1169x y C +=P 221:1189x y C +=12||||2PF PF a +==22:1169x y C +=221:1189x y C +=12||||||||MP MQ PF PF +≤+=P P 222:1167x y C +=12||||28PF PF a +==222:1167x y C +=22:1169x y C +=12||||||||8MP MQ PF PF +≥+=P ||||MP MQ +15．(1)(2)解析：（1）由题意得：，解得：.故椭圆的方程为：（2）设是椭圆上的任意一点，所以，所以..故点到点的距离的取值范围是.16．(2)在线段上存在点，点满足，使得.解析：（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知，.设，其中，则，向量是平面的法向量.22182x y +=-222a c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 22182x y +=(,)P x y 2284x y =-PM ==[y ∈1||PM ≤≤P (0,1)M -PB E E 13BE BP =AE PC ⊥O ABCD O ,,OB OC OPx y z (0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C -(0,0,)P h 0h >(0,1,)AP h =1(0,0,1)n = ABCD由题意得，，解得设平面的法向量为.因为，，所以，即，令，则，则.则故侧面与底面（2）由（1）知，，设，则.因为，若，则.即，解得，故在线段上存在点，点满足，使得17．(1)证明见解析(2)解析：（1）连结OB .在中，，所以，且.又因为，所以平面.从而．又因为平面平面ABC，A C 是平面与平面ABC 的交线，111cos ,cos30AP n AP n AP n ⋅==⋅h =PAB ()2222,,n x y z =(AP = (1,1,0)AB =2200AP n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩21y =221x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩21,1,n ⎛=- ⎝ 12cos n n ⋅==PAB ABCD (1,1,0)AB =(BP =- BE BP λ=(()(1,1,0)1AE AB BE λλ=+=+-=- (0,CP =-AE PC ⊥()(10,0AE CP λ⋅=-⋅-= 130λ-+=13λ=PB E E 13BE BP =.AE PC ⊥35ABC V ,BA BC AO OC ==BO AC ⊥BO AC 1A B AC ⊥AC ⊥1A BO 1AC AO ⊥11AA C C ⊥11AA C C所以平面ABC（2）在中，，所以.设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．有，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.由题意得：.则取平面的法向量为，平面的法向量为.则.故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是18．(1)(2).1AO ⊥1AA O 1190,2A OA AA AO ︒∠==1A O AC =2AC =O 1,,OB OC OA x y z (0,1,0),(0,1,0)A B C -11,0)A AB CB ==- 11AA BB == 11AA B B ()1111,,n x y z = 11CC B B ()2222,,n x y z = 111112221112220000AA n y BB n y AB n y CB n y ⎧⎧⋅==⋅=+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⋅=-=⎪⎪⎩⎩，11AA B B 1(1,n = 11CC B B 21)n =- 13cos 5n ⋅ 11AA B B 11CC B B 35m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22162x y -=解析：（1）依题意，，解得（2）依题意，整理得：（其中），所以点所在曲线的方程为.19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点）解析：（1）设，整理得，所以的方程为.（2）设直线MN 的方程为：，其中.点M ，N 满足：所以满足：，即.从而.（ⅰ）证明：因为，所以，整理得，其中（即直线MN 不经过点）.所以直线MN 的方程为：，且直线MN 不经过点.所以直线MN 过定点 .000022y n x m y n x m -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n n ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=2200162x y -=000x ≠(,)Q x y 22162x y -=222x y +=Q y x =-(1,1)-(),P x y =222x y +=C 222x y +=y kx m =+1k m +≠222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,M N x x 22()2x kx m ++=()2221220k x kmx m +++-=22222,11M N M N km m x x x x k k -+=-=++()()()()()()()()2222222222222111211111122111111111M N M N M N N M M N M N M N M N m km k km k m m kx m kx m k x x km k x x m m y y k m k k m km x x x x x x x x k m k k -⎛⎫⋅+--+-+ ⎪+-+-+-++-+---+++⎝⎭⋅====-------++++++++11k m k m λ-+-=++1(1)1m k λλ+=+-10k m ++≠(1,1)-111(1)111y kx k k x λλλλλλ+++⎛⎫=++=++ ⎪---⎝⎭(1,1)-11,11λλλλ++⎛⎫- ⎪--⎝⎭（ⅱ）解：由得（其中）,所以点的轨迹方程为直线（除去点）.1,11.1Q Q x y λλλλ+⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩Q Q y x =-1Q x ≠Q y x =-(1,1)-。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
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高二第一学期期中考试数学试卷（考试时间90分钟，满分100分）一、填空题（共12小题，每题3分，共36分）1、 设(3,4)AB =，点A 的坐标为(1,0)-，则点B 的坐标为__________.2、 设(2,3),(1,1)a b =-=-，0c 是与a b -同向的单位向量，则0c 的坐标是__________.3、 若等差数列{}n a 的公差2d =，1510a =-，则它首项1a =__________.4、 若等比数列{}n a 中，1111,1024a a ==，则它的公比q =__________.5、 计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+=__________.6、 已知向量(4,5),(8,)AB AC k ==，若,,A B C 三点共线，则k =__________.7、 2,3,4a b a b ==+=，则a 与b 的夹角是__________.8、 已知O 为平行四边形ABCD 内一点，设,,OA a OB b OC c ===，则OD =__________. 9、 在1-与9之间插入两个数，得到数列1,,,9x y -，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则其中的一组数列是 __________.10、已知无穷等比数列{}n a 各项的和是2，则首项1a 的取值范围是__________. 11、对n 个向量12,,n a a a ，如果存在不全为零的实数12,n k k k 使得11220n n k a k a k a +++=，则称12,,n a a a 线性相关.若已知1(1,1)a =，2(3,2)a =-，3(3,7)a =-是线性相关的，则123::k k k =__________________.12、若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=()n N *∈也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有n d =____________()n N *∈也是等比数列. 二、选择题（共4小题，每题3分，共12分） 13、下列各式中错误．．的是…………………………………………………………………（ ） A.22a a = B.AB BA = C.00a ⋅= D.()m n a mn a ⋅=⋅ (,)m n R ∈14、已知(3,1),(6,0),(4,2)A B C ，D 为线段BC 的中点，则向量AC 与AD 的夹角是（ ） A.45 B.60 C. 90 D.13515、已知等差数列{}n a 中，24112,2a a a +==，则5a 的值是………………………（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 1016、在△ABC 中，有命题①若0AB AC ⋅>，则△ABC 为锐角三角形②0AB BC CA ++=③()()0AB AC AB AC +⋅-=,则△ABC 为等腰三角形 ④AB AC BC -=.上述命题正确的是…………………………………………………………………………………………（ ） A.①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④二、解答题（共6小题，第17题6分，第18、19、20题每题8分，第21题10分，第22题12分，共52分） 17 已知(0,1),(5,1),(7,2)A B D --，且AB ∥DC ，BC AB ⊥，求点C 的坐标.18 已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少？19设数列{}n a 的首项112a =，且121n n n a a a +=+（n N *∈）.（1）求234,,a a a ；（2）根据上述结果猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.20、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：（1） 若该人打算连续工作n 年，则在第n 年的月工资收入分别是多少元？ （2） 若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司？为什么？(精确到1元)21、已知i ，j 分别是与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，16OB ai j =- ()a R ∈，对任意正整数n ，11632n n n B B i j -+= +⋅. （1）若123OB B B ⊥，求a 的值； （2）求向量n OB .22、我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格； （2）试用n 、q 表示第二列的各数之和；（3）设第3列的数依次为123,,,...,n c c c c ，若123,,c c c 成等比数列，试求q 的值；能否找到q 的值，使得数列123,,,...,n c c c c 的前m 项123,,,...,m c c c c (3)m ≥成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.上海南汇中学2007学年第一学期高二期中考试数学答案及评分标准（考试时间90分钟，满分100分）命题：吴世星 审核：李家齐三、填空题（共12小题，每题3分，共36分） 10、 设(3,4)AB =，点A 的坐标为(1,0)-，则点B 的坐标为___(2,4)___.11、 设(2,3),(1,1)a b =-=-，0c 是与a b -同向的单位向量，则0c 的坐标是_34(,)55-___. 12、 若等差数列{}n a 的公差2d =，1510a =-，则它首项1a =___38-_______. 13、若等比数列{}n a 中，1111,1024a a ==，则它的公比q =____2______.14、计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+=____34______.15、 已知向量(4,5),(8,)AB AC k ==，若,,A B C 三点共线，则k =___10_____.16、 2,3,4a b a b ==+=，则a 与b 的夹角是____1arccos 4______.17、 已知O 为平行四边形ABCD 内一点，设,,OA a OB b OC c ===，则OD =_a b c -+__. 18、在1-与9之间插入两个数，得到数列1,,,9x y -，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则其中的一组数列是 ___1,1,3,9-或（131,,,942-）_____. 19、 已知无穷等比数列{}n a 各项的和是2，则首项1a 的取值范围是__(0,2)(2,4)__.20、对n 个向量12,,n a a a ，如果存在不全为零的实数12,n k k k 使得11220n n k a k a k a +++=，则称12,,n a a a 线性相关.若已知1(1,1)a =，2(3,2)a =-，3(3,7)a =-是线性相关的，则123::k k k =___3:2:1-_________.12、若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=()n N *∈也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有n d ()n N *∈也是等比数列.二、选择题（共4小题，每题3分，共12分） 13、下列各式中错误．．的是…………………………………………………………………（ C ） A.22a a = B.AB BA = C.00a ⋅= D.()m n a mn a ⋅=⋅ (,)m n R ∈14、已知(3,1),(6,0),(4,2)A B C ，D 为线段BC 的中点，则向量AC 与AD 的夹角是（ A ） A.45 B.60 C. 90 D.13515、已知等差数列{}n a 中，24112,2a a a +==，则5a 的值是………………………（ D ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 1016、在△ABC 中，有命题①若0AB AC ⋅>，则△ABC 为锐角三角形②0AB BC CA ++=③()()0AB AC AB AC +⋅-=,则△ABC 为等腰三角形 ④AB AC BC -=.上述命题正确的是…………………………………………………………………………………………（ C ） A.①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④四、解答题（共6小题，第17题6分，第18、19、20题每题8分，第21题10分，第22题12分，共52分） 17 已知(0,1),(5,1),(7,2)A B D --，且AB ∥DC ，BC AB ⊥，求点C 的坐标. 解：设点C 的坐标是(,)x y ，则(5,2)AB =-，(5,1)BC x y =+-，(7,2)DC x y =--……………………2分 由AB ∥DC 2(7)5(2)x y ⇒-=--BC AB ⊥5(5)2(1)0x y ⇒-++-=…………………………………………2分3,6x y ⇒=-=，所以(3,6)C -………………………………………………2分18 已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少？解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ……………………………………1分 则 10120110451102019020S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩……………………………………………2分 所以120a =，2d =-所以221n S n n =-+…………………………………………………………2分又222144121()24n S n n n =-+=--+，n N *∈ 所以当10n =或11n =时n S 最大，1011110S S ==……………………3分19设数列{}n a 的首项112a =，且121n n n a a a +=+（n N *∈）.（1）求234,,a a a ；（2）根据上述结果猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：（1）234248,,359a a a ===………………………………………………2分 （2）猜想11221n n n a --=+，（n N *∈）……………………………………2分证明：①当1n =时，左边1a =，右边111121212--==+，猜测成立； ②假设当n k =（k N *∈）时有11221k k k a --=+成立则当1n k =+时，左边11112222212121121k k k k k k k k a a ----⋅+====++++右边.故猜测也成立. 由①②可得对一切n N *∈，数列{}n a 的通项公式为11221n n n a --=+ （n N *∈）…………4分20、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； 乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：（3） 若该人打算连续工作n 年，则在第n 年的月工资收入分别是多少元？ （4） 若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司？为什么？(精确到1元) 解：（1）设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元，在乙公司第n 年的工资收入为n b 元则2301270n a n =+，120001.05n n b -=⋅………………………………4分（2）设工作10年在甲公司的总收入为S 甲，在甲公司的总收入为S 乙 (10150045230)12304200S =⋅+⋅⨯=甲2000(1 1.05)123018691 1.05n S -=⨯≈-乙 由于S S >乙甲，所以该人应该选择甲公司.…………………………4分21、已知i ，j 分别是与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，16OB ai j =- ()a R ∈，对任意正整数n ，11632n n n B B i j -+= +⋅. （1）若123OB B B ⊥，求a 的值； （2）求向量n OB .解：（1）依题可知2366B B i j =+由123OB B B ⊥知6360a -=，所以6a =；…………………………4分 （2）1121n n n OB OB B B B B -=+++…………………………………………2分2(,6)(6,3)(6,32)(6,32)n a -=-++⋅++⋅1(66,329)n n a -=+-⋅-所以1(66,329)n n OB n a -=+-⋅-.……………………………………4分22、我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；（2）试用n 、q 表示第二列的各数之和；（3）设第3列的数依次为123,,,...,n c c c c ，若123,,c c c 成等比数列，试求q 的值；能否找到q 的值，使得数列123,,,...,n c c c c 的前m 项123,,,...,m c c c c (3)m ≥成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由. 解：（1）如表……………………………………………………………………3分 （2）211(1)(1)(1)n S q q q q q -=++++++++++当1q ≠时，11n q q S n q+-=--；……………………………………2分当1q =时，(1)2n n S +=…………………………………………2分 所以综上可知1(1)1211n n n q S q q n q q ++⎧ = ⎪⎪=⎨-⎪- ≠ ⎪-⎩……………………1分 （5） 可知21231,2,32c c q c q q ==+=++由221312c c c q =⇒=-，则123391,,24c c c === 若3m ≥时，123,,,...,m c c c c 为等比数列，那么123,,c c c 一定是等比数列 由上可知此时12q =-，又 234432c q q q =+++ 得知4238c = 而432338924c c =≠，所以对于任意的4m ≥，123,,,...,m c c c c 一定不是等比数列综上所述，当且仅当3m =且12q =-时，数列123,,,...,m c c c c 是等比数列.………4分。