高中数学选修2-1课时作业1：1.1.2 四种命题

1.1.2 四种命题
1.1.3四种命题间的相互关系
一、基础过关
1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()
A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2
C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2
[答案] C
[解析]由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()
A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B
C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A
[答案] B
[解析]命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式．
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析]原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．
4．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为．
[答案]若x，y不全为零，则xy≠0
[解析]由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．
5．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．
[答案] 2
[解析]原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有；互为否命题的有；互为逆否命题的有．(填序号)
[答案]②和③①和③①和②
7．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解(1)命题p的否命题为“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac<0，
∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
二、能力提升
8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为()
A．①②B．②③C．①③D．③④
[答案] C
[解析]命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．
9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；
其中所有正确叙述的序号是．
[答案](1)(2)
[解析]原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
10．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是．
[答案]①②④
[解析]①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．
11．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
解逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题．
∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题．
12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0，为真命题．
由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真命题．
因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．
因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．
因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真命题．。