传递函数
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数是
传递函数是传递函数，是掌握控制理论的重要内容，也是电路设计领域不可缺少的概念。
传递函数旨在描述电路系统的输入-输出特性，并为电路分析提供了一个重要的工具。
简单来说，传递函数是将输入信号转换为输出信号的数学函数。
在电路设计中，大部分电路都可以通过传递函数来描述它们的工作原理。
一般情况下，传递函数包含有一个或多个复杂的分数，它们将输入信号转化为输出信号。
传递函数的主要作用就是对系统进行分析和评估。
通过传递函数，我们可以了解电路系统的稳定性、动态响应、滤波特性、幅度和相位响应等重要特征。
通过对传递函数进行分析，可以帮助电路设计者更精确地了解电路的性能及其潜在问题。
传递函数的计算需要先获得系统的差分方程或者微分方程。
对于线性时不变系统，通过拉普拉斯变换可以将方程转化为传递函数形式。
在电路分析中，通常通过电路中的电容、电感与电阻的关系来建立差分方程。
对于常见的二阶系统，如电路中的振荡电路、放大电路和滤波电路，我们可以利用标准的传递函数形式进行计算和分析。
例如：二阶低通滤波器的传递函数可以表示为：H(s) = ω0^2 / (s^2 + 2ξω0s + ω0^2)其中，ω0表示系统的固有频率，ξ表示系统的阻尼比。
通过分析这个传递函数，我们可以了解系统的频率响应、幅频特性以及相位响应。
这为我们的滤波电路和放大电路的设计提供了一些重要的指导。
总的来说，传递函数是电路设计中不可或缺的元素。
通过它们，我们可以更加深入地了解系统的特性，并为实现高性能的电路系统提供帮助。
为此，我们需要对传递函数的概念有清晰的认识，并掌握其计算方法和分析技巧。
这样，我们才能更加精准地设计电路，并将其运用于实践中。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
传递函数和频率响应函数的概念
传递函数和频率响应函数的概念1. 传递函数与频率响应函数的定义传递函数和频率响应函数是在控制系统分析中经常被使用的两个重要概念。
传递函数表示了系统的输入和输出之间的关系，通常用于描述线性时不变系统的动态特性。
而频率响应函数则是描述系统对不同频率信号的响应特性，帮助我们分析系统对于输入信号频率的衰减或放大情况。
2. 传递函数的深入理解传递函数通常用 H(s) 或 G(s) 表示，其中 s 是复数变量。
传递函数可以表示为系统的输出与输入的比值，其实际上是系统的冲激响应与冲激输入的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以分析系统对于各种输入信号的时域和频域响应，从而更好地理解系统的动态特性。
3. 频率响应函数的广度分析频率响应函数通常可以表示为H(jω)，其中ω 是频率变量。
它可以描述系统对于不同频率输入信号的幅度和相位特性，通过频率响应函数，我们可以清晰地了解系统在不同频率下的放大或者衰减情况，从而更好地设计控制系统并进行频域分析。
4. 传递函数和频率响应函数间的关系传递函数和频率响应函数之间存在着密切的关系。
事实上，频率响应函数可以通过传递函数来得到，通过传递函数的极点和零点，我们可以清晰地了解系统对于不同频率信号的响应情况，从而利用频率响应函数来优化系统的控制性能。
5. 个人观点和理解对于传递函数和频率响应函数的理解，我认为它们是控制系统分析和设计中非常重要的概念。
通过对传递函数和频率响应函数的深入理解，我们可以更好地了解系统的动态特性，在控制系统设计中更加灵活地选择合适的控制策略。
频率响应函数还可以帮助我们进行系统的稳定性分析和频域设计，对于系统的性能指标如稳定裕度、相位裕度等有着重要的指导意义。
总结回顾传递函数和频率响应函数作为控制系统分析中的重要概念，对于系统的动态特性和频域特性有着深刻的影响。
通过对传递函数和频率响应函数的分析，我们可以更好地理解系统的动态响应和频率特性，从而更好地设计和优化控制系统。
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
已知传递函数求原函数
已知传递函数求原函数一、传递函数和原函数的概念在探讨已知传递函数求原函数的问题之前，我们首先需要明确传递函数和原函数的概念。
1. 传递函数传递函数是指输入与输出之间的关系，它描述了信号在系统中的传递方式。
在控制系统中，传递函数通常用数学表达式表示，可以是一个多项式函数、有理函数或者其他形式的函数。
传递函数通常用记号G(s)表示，其中s是一个复数变量。
传递函数可以是连续时间传递函数，也可以是离散时间传递函数。
2. 原函数原函数是指给定一个函数的导数，求出该函数本身的过程。
原函数也被称为不定积分。
在微积分中，我们知道，对于一个函数f(x)，如果它的导数是F’(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
二、已知传递函数求原函数的方法已知传递函数求原函数是控制系统中常见的问题之一。
下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 反演Laplace变换在连续时间控制系统中，传递函数通常用Laplace变换表示。
如果我们已知传递函数的Laplace变换形式，那么可以通过反演Laplace变换求得原函数。
具体来说，我们可以使用Laplace变换的反演公式，将传递函数的Laplace变换形式转换回时间域的函数形式。
在离散时间控制系统中，传递函数通常用Z变换表示。
如果我们已知传递函数的Z 变换形式，那么可以通过反演Z变换求得原函数。
类似于Laplace变换，我们可以使用Z变换的反演公式，将传递函数的Z变换形式转换回时间域的函数形式。
3. 傅里叶变换在信号处理中，傅里叶变换是一种常用的工具。
如果我们已知传递函数的傅里叶变换形式，那么可以通过反演傅里叶变换求得原函数。
傅里叶变换的反演公式将传递函数的傅里叶变换形式转换回时间域的函数形式。
4. 差分方程对于离散时间控制系统，我们可以使用差分方程来描述传递函数和原函数之间的关系。
如果我们已知传递函数的差分方程形式，那么可以通过求解差分方程得到原函数。
三、示例为了更好地理解已知传递函数求原函数的方法，我们来看一个具体的示例。
机电控制基础 第二章第四节传递函数
G(s) b0 b0
b0
b0
a0 a0 sn an1 sn1 ... a1 s 1
an
an
an
m1
m2
( k s 1)
(
2 l
s
2
2
l
s
1)
G(s) K
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
例1 已知
10
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
4．积分环节
微分方程 传递函数
t
c(t) K 0 r(t)dt
G(s) C(s) K R(s) s
例6：液压缸 输入：流量q(t) 输出：活塞位移y(t)
q(t) A dy(t) dt
y(t)
1 A
q(t)dt
Y (s) 1 Q(s) As
G(s) Y(s) 1 Q(s) As
Ts 1
s 2 2 s 1
n2
n
e s
7
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
1．比例环节
运动学方程
c(t) Kr(t)
传递函数
G(s) C(s) K R(s)
例3： 测速发电机 输入：角速度ω 输出：电压u
u(t) Kt(t)
G(s)
U (s) (s)
Kt
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
（3） 画出对应的零极点图； （4） 求系统的单位脉冲响应；
(3) 如图所示
(4)
k(t)
L1[G ( s )]
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
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xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, n i (t) 和 no (t) 分别 为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮 副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状 态). 因为：
典型环节的传递函数 ：
具有某种确定信息传递关系的元件、元件组 或元件的一部分称为一个环节
任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成， 控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、 振荡环节和延迟环节等
1、比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)
X 0 ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
式中: K－环节增益（放大系数）； T－时间常数，表征环节的惯性，和环 节结构参数有关
例
如：弹簧－阻尼器环节
dx 0 ( t ) C Kx 0 ( t ) Kx i ( t ) dt K 1 C G (s) , T Cs K T s 1 K
6、延迟环节（也称传输滞后环节）
运动方程： 传递函数：
x 0 (t) x i (t )
G(s) e
s
式中， 为纯延迟时间。 其输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入，延迟 环节一般与其它环节共存，不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别
惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输 出要滞后一段时间才接近所要求的输Байду номын сангаас值； 延迟环节从输入开始之初，在0～τ时间内,没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入。
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
3、微分环节 输出量正比于输入量的微分。 运动方程为：
dxi (t ) x0 (t ) dt 传递函数为： G(s) X 0 ( s) s X i ( s)
5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所 存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡 的性质，其运动方程为
d d T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
2
2
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
d n y(t) d n 1y(t) an a n 1 n n 1 dt dt d m x(t) d m1x(t) a 0 y(t) bm bm1 m m 1 dt dt b0 x(t)
式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行 拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
m m 1 b s b s b0 Y(s) m m 1 G(s) X(s) a ns n a n 1s n 1 a 0
传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
R(s)
G (s)
C(s)
传递函数的主要特点 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所具有复变量函数的所有性质 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输 入量的形式（幅度与大小）无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但 它不提供任何该系统的物理结构 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决
式中：τ－微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节不独立存在，而 是和其它环节一起出现
4、积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。
运动方程为： x (t ) 1 t x (t )dt 0 0 i
T
X 0 ( s) 1 传递函数为： G( s) X i ( s) Ts
式中，T－积分环节的时间常数。
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
)
• 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分 母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递函数 的零极点增益。
• 零、极点分布图。
S平面 j
0
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变 量 整理成传递函数的形式
z1ni (t) z2n o (t)
其拉换变换：
z1Ni (s) z2 No (s)
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
2.2系统的传递函数
传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条 件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏 变换之比。 三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述