《三角形的角平分线、中线和高》课件

数量关系？
过点A作AE⊥BC
∵ AD是△ABC的中线 ∴BD=DC
△ABD的面积= 1 BD×AE 2
B ED
C
△ADC的面积=
1 2
DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积
3.三角形的中线能把三角形的面积等分
1.你能把这个三角
形的面积四等分吗
A
C B
回回顾顾 思思考考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
E G
H
C
D
二、三角形的中线：
A
.
B
D
定义：在三角形中，连接一个顶 点和它的对边中点的线段叫做这 个三角形的中线。
三角形中线的理解：
C ∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD= 12BC
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
当堂测试
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D. 不能确定
• 4.如图,在ΔABC中,角平分线BD、CE 相交于点O, 计算:
• (1)当∠A=50°时,求∠BOC; • (2)当∠BOC=130°时,求∠A.
(3)如果设∠A为α,求∠BOC(用α表示)
A
DO E
C
B
画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点
A
向它的对边所在直线作垂线，
顶点 和垂足 之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
B
对三角形高的理解：
D
C
图5−12
∵AD是△ ABC的高 ∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90° A
注意 ! 标明 垂直的记号
和垂足的字母. B
D
C
做一做 锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
直角边AB边上的高是 CB ;
斜边AC边上的高是 BD ;
议一议 钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高线 A
也相交于一点吗？试通过
F
画图来验证。
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
DB
E OA
C F
D
B
C
E
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
高
A
中线
B
D
A
B
D
角平
A
分线
B
D
画法
性质
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
C
得用直尺画 三条中线相交
两点之间的 于三角形内一
线段
点，且把三角
形分成面积相
C
等的两部分
利用量角器 三条角平分线
画角的平分 相交于三角形
线的一部分 内一点，且这
C
点到三边的距
离相等
这节课你有那些收获?
一个三角形有几条中线？它们有什么特点？
A
A
A
D OE
D
E
O
E
D
O
B F
C
B
FC
BF
C
①三角形的中线是一条线段。
②任何三角形有三条中线，并且都在三
角形的内部交于一点。
2. AG是∠BAC的角平分线,G是AD的中点,AH⊥CF
则你能得到哪些正确的结论？
A
F B
E G
H
C
D
右图所示，AD是△ABC的中线， A 则△ABD的面积和△ADC的面积
三角形的三条高的特性：
❖锐角三角形 ❖直角三角形 ❖钝角三角形
❖高在三角形内部的数量 ❖高之间是否相交
❖高所在的直线是否相交
3 相交 相交
1 相交 相交
1 不相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
O
思考：
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高相交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角
画出直角三角形的三条高线,
A
它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条
D
高线相交于直角顶点.
B
C
口答： 如图的直角三角形ABC中，
直角边BC边上的高是 AB ;
一个三角形有几条角平分线？思考它们有什么特
点？
A
A
A
D
E
O
E O
D DE O
B
C
F
B
FC
BF
C
①三角形的角平分线是一条线段，而角 平分线是一条射线。
②一个三角形有三条角平分线，并且都 在三角形的内部交于一点。
2. AG是∠BAC的角平分线,G是AD的中点,AH⊥CF
则你能得到哪些正确的结论？
A
F B
三角形的角平分 线、中线和高线
、
知识回顾：
1.角平分线的定义
一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点。
3. 做“过一点作已知直线的垂线”：
一、三角形的角平分线：
定义：三角形的一个角的平分线与 A 这个角的对边相交，这个角的顶点
和交点之间的线段叫三角形的角平 分线。
角平分线的理解：
∵ A D是△ABC的角平分线
B
D
C
∴∠BAD=∠CAD= ∠12BAC
例1. 如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知
∠B=450, ∠ C=600 ,求下列角的大小.
C
∠ CAE=__3_7__.50
E
∠ AEB=__9__7_.50
B
A
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
A
A
D
B
C
直角边BC边上的 高是 AB边 ;
直角边AB边上的 高是 CB边 ;
斜边AC边上的 高是 BD ;
F
D
B
C
E
AB边上的高是 CE ;
BC边上的高是 AD ;
CA边上的高是 BF ;
2. AG是∠BAC的角平分线,G是AD的中点,AH⊥CF
则你能得到哪些正确的结论？
A
F B
E G
H
C
D
名称 基本图形