夹角的计算 PPT课件
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两直线夹角和到角(PPT)3-2
被哈勃天文望远镜用红外线加以观测了。旅行者号只是粗略的探测过土卫六，旅行者号团队必须从“调整轨道让旅行者号详细检视土卫六”和“使用另外一 个访问天王星和海王星的轨道”中选取一个。由于旅行者号没有能够观测到其表面地貌，旅行者号团队选择了后一个方案。先驱者号979年9月日，，“先驱 者号”飞掠土星，考察了土卫六。不过，当“先驱者号”考察土卫六时，正赶上一阵强烈的太阳风，严重地影响了发回的信息。地面控制中心只收到它在万 公里处拍下的张高分辨率的照片。在照片上，土卫六呈现美丽的桔红色，像熟透了的桔子。“旅行者号”于98年月日飞临土卫六。它离云顶只有公里，探测 取得完满的成功。就是这次，测得土卫六的直径为88公里，而不是过去认为的公里。只有先驱者号、旅行者号和号三个探测器飞临土星进行过探测土星的活 动。979年9月日，先驱者号经过年半的太空旅程，成为第一个造访土星的探测器。它在距离土星云顶千米的上空飞越，对土星进行了天的探测，发回第一批 土星照片。先驱者号不仅发现了两条新的土星光环和土星的第颗卫星，而且证实土星的磁场比地球磁场强倍。9月日第二次穿过土星环平面，并利用土星的引 力作用拐向土卫六，从而探测了这颗可能孕育有生命的星球。98年月日，旅行者号从距离土星千米的地方飞过，一共发回万余幅彩色照片。这次探测不仅证 实了土卫十、十一、十二的存在，而且
目标2： 直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹
角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是2Fra bibliotek到角与夹角
学习目标：
. 1.理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.
2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
目标2： 直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹
角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是2Fra bibliotek到角与夹角
学习目标：
. 1.理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.
2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
《两平面的夹角》课件
05 总结与展望
两平面夹角的总结
01
02
03
04
定义理解
总结了两平面夹角的定义，即 两个平面之间的最小锐角。
性质探讨
探讨了两平面夹角的性质，包 括夹角的大小与两平面的位置 关系、夹角的取值范围等。
计算方法
总结了几种常用的计算两平面 夹角的方法，如三角函数法、
向量法等。
应用实例
列举了一些实际应用中两平面 夹角的计算问题，如工程测量
平面夹角的大小和方向可以影响空间 几何体的形状和性质，例如在三维建 模中，两个平面的夹角决定了模型的 外观和结构。
平面夹角在空间几何中的应用
在建筑设计、工程制图、计算机图形学等领域中，平面夹角 的概念被广泛应用。
在建筑设计方面，平面夹角的大小和方向可以影响建筑物的 外观和结构稳定性；在工程制图方面，平面夹角的概念是描 述三维物体的重要参数；在计算机图形学中，平面夹角用于 描述三维场景中的光照和阴影效果。
详细描述
首先，通过向量的点积和叉积运算，计算出两个平面的法向 量；然后，利用法向量间的夹角来计算两平面的夹角。向量 法具有较高的通用性和灵活性，适用于各种类型的平面方程 。
几何法计算平面夹角
总结词
几何法是通过几何图形和空间关系来直观地计算两平面的夹角。
详细描述
首先，根据平面方程绘制出对应的几何图形；然后，利用三角尺或量角器等工具 测量两平面间的夹角。几何法虽然直观易懂，但受限于绘图精度和测量误差，可 能存在一定的误差。
• 平面夹角的取值范围：两平面的夹角取值范围是[0°, 90°]。当 两个平面平行时，夹角为0°；当两个平面垂直时，夹角为90°。
平面夹角的性质
• 平面夹角的性质：两平面的夹角是固定的，不会因 为观察角度的变化而改变。此外，两个平面之间的 夹角与它们的法线向量有关，法线向量与二面角的 平面角是垂直的。
2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量 的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角 的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指 向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如 图所示．
题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， 1 1 C1D1 上，且 E1B1＝4A1B1，D1F1＝4D1C1，求 BE1 与 DF1 所成的 夹角的余弦值． [思路探索] 几何法，平移直线构造在同一个三角形中，通过解 三角形求解；向量法，可以用基底，也可以建立坐标系，利用 方向向量的夹角求解．
→ |n· | 1 BM ∵cos θ ＝|cos φ |＝ ＝ ， → 2 |n||BM| π 解得 θ＝ ， 3 π ∴二面角 B1A1CC1 的大小为 3 .
题型三 综合问题 【例 3】 (12 分)如下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
题型二
利用空间向量求二面角
【例 2】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的夹角为 θ，求 cos θ 的值．
求点坐标及相 [思路探索] 建立坐标系 → → 关向量的坐标 A1BD 及平面 AB1D1 的法向量 n1， 2→ n
求平面
求|cos 1， 2〉 cos θ 〈n n |→
→ ∵向量AA1＝(0，0，2)与平面 CDE 垂直， 设二面角 CDEC1 的平面角大小为 θ. 由图知所求二面角为锐二面角，(6 分) → n· 1 AA → ∴cos θ ＝cos〈n，AA1〉＝ → |n|· 1| |AA －1×0－1×0＋2×2 6 ＝ ＝3， 1＋1＋4× 0＋0＋4 2 ∴tan θ ＝ .(8 分) 2
高中数学同步教学课件 夹角问题
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 所以—A1→B ＝(2,0，－2)，A→E＝(0,2,1)，A→F＝(1,1,0). 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 由nn··AA→ →EF＝ ＝00， ， 得2ab＋＋bc＝＝00，， 令a＝1，可得n＝(1，－1,2).
A.60°
√C.60°或120°
B.30°或150° D.90°
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2×2
2＝12，所以〈m，n〉＝60°，因为二面角
与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，所以两平面所成
的二面角为 60°或 120°.
1234
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
u·n
|u·n|
为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__u_，__n_〉__|_＝__|u_|_|n_|_ _＝__|u_|_|n_|__.
<<<
注 (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与
意 点
平面的法向量的夹角.
(2)线面角的范围为 0，π2.
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所
<<<
注 (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
意 点
(2)两平面的夹角的范围是 0，π2.
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例 3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相 等 ， AC∩BD ＝ O ， A1C1∩B1D1 ＝ O1 ， 四 边 形 ACC1A1 和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD；
高一数学-《夹角和距离公式》课件
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a＝|a|2 求有关线段的长度；
2．利用两点间的距离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量 就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.
夹角计算ppt课件
例2 正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC1时，求二面角 DBC 1C
的余弦值。
C1
B1
A1
C D
B A
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设
底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0)
A(
3 2
a,
1 2
a,0)
B(0,a,0)
C1(0,0,b)
（回到图形）
二、空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
若两直线 l , m 所成的角为(0≤ ≤ ), 则 c o s a b
2
ab
l
a
m
l
a
b m
总结：
1．共面直线的夹角
当交两 角[0，条中π2] 直，线范围l1与在l2_共__面__时__，__我__们_内把的两角条叫直作线两 直线的夹角．
[解析] 由题设条件知，以点A为坐标原点， 分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系(如图所示)．
设 AB＝1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D12，0，0，S(0,0,1)． ∴A→S＝(0,0,1)，C→S＝(－1，－1,1)．显然A→S是底面的法向量，
.
uv
总结：
注意平面夹角与
4．平面夹角的概念
二面角的区别
在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ____[_0_，__π2_] ___ 内的角为两个平面的夹角．
5．平面夹角的求法
设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为
θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n__1，___n_2_〉__；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n__1_，__n_2．〉即 cosθ＝_|c_o__s〈___n_1_，__n_.2〉|
两直线夹角课件
通过两直线的夹角，可以判断两条直 线是否平行、垂直或相交，从而确定 它们在几何图形中的位置关系。
通过两直线的夹角，可以构建出各种 几何图形，如三角形、四边形等。
计算角度
两直线夹角的大小可以通过几何计算 得到，可以用于计算其他角度或几何 量。
在解析几何中的应用
01
02
03
解析表达
两直线的夹角可以用解析 几何的方法表示，通过坐 标系和向量的运算来计算 。
02
两直线夹角的计算方法
利用三角函数计算直线夹角
总结词
通过利用三角函数中的正切、余切等函数，可以计算出两条直线线的斜率。然后，使用三角函数中的正切或余切函 数，将两个斜率相除，得到一个比值。最后，使用反正切函数来计算这个比值 对应的角度，即为两条直线的夹角。
电磁波的传播
在电磁学中，两直线夹角可以用于 表示电磁波的极化方向和传播方向 ，特别是在研究电磁波的干涉和衍 射等现象时。
04
两直线夹角的性质
直线夹角的性质定理
定理1
两直线夹角的大小与两直线的方向向量或方向模有关 ，具体为$theta = arccos(frac{overset{longrightarrow}{u} cdot overset{longrightarrow}{v}}{|overset{longrightarro w}{u}||overset{longrightarrow}{v}|})$，其中 $overset{longrightarrow}{u}$和 $overset{longrightarrow}{v}$分别是两直线的方向向 量。
利用向量计算直线夹角
总结词
通过向量的数量积和向量的模长，可以计算出两条直线的夹 角。
详细描述
两直线的位置关系-夹角课件
当两直线斜率不存在时，需要特别处理，因为公式中涉及斜率。
计算实例
实例一
实例三
设直线L1的斜率为2，直线L2的斜率 为3，根据夹角公式计算两直线的夹 角。
设直线L1和L2相互垂直，根据夹角公 式计算两直线的夹角。
实例二
设直线L1的斜率为不存在，直线L2的 斜率为-1，根据夹角公式计算两直线 的夹角。
两直线的位置关系-夹角ppt课 件
Байду номын сангаас
目录
CONTENTS
• 直线的基本性质 • 两直线的位置关系 • 两直线的夹角 • 两直线夹角的计算 • 两直线夹角的应用
01 直线的基本性质
CHAPTER
直线的定义
直线是无限长的，没 有起点和终点。
直线上的任意两点确 定一条唯一的直线。
直线是连续的，没有 中断。
解析几何中的曲线方程
利用两直线的夹角，可以推导出曲线 的方程，例如圆的方程、椭圆的方程 等。
在实际生活中的应用
建筑设计和施工
在建筑设计和施工中，两直线的夹角可 以用来确定建筑物的方向、角度等参数 。
VS
道路设计和导航
在道路设计和导航中，两直线的夹角可以 用来确定道路的方向、交叉点等参数。
谢谢
THANKS
截距式
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其中$a$是 直线在x轴上的截距，$b$是直线在y轴上的 截距。
直线的性质
直线是平面的，具有方向性。 直线上的任意两点到直线上任一点的距离相等。
直线可以无限延伸，具有连续性。
02 两直线的位置关系
CHAPTER
平行线
01
02
03
重合线
计算实例
实例一
实例三
设直线L1的斜率为2，直线L2的斜率 为3，根据夹角公式计算两直线的夹 角。
设直线L1和L2相互垂直，根据夹角公 式计算两直线的夹角。
实例二
设直线L1的斜率为不存在，直线L2的 斜率为-1，根据夹角公式计算两直线 的夹角。
两直线的位置关系-夹角ppt课 件
Байду номын сангаас
目录
CONTENTS
• 直线的基本性质 • 两直线的位置关系 • 两直线的夹角 • 两直线夹角的计算 • 两直线夹角的应用
01 直线的基本性质
CHAPTER
直线的定义
直线是无限长的，没 有起点和终点。
直线上的任意两点确 定一条唯一的直线。
直线是连续的，没有 中断。
解析几何中的曲线方程
利用两直线的夹角，可以推导出曲线 的方程，例如圆的方程、椭圆的方程 等。
在实际生活中的应用
建筑设计和施工
在建筑设计和施工中，两直线的夹角可 以用来确定建筑物的方向、角度等参数 。
VS
道路设计和导航
在道路设计和导航中，两直线的夹角可以 用来确定道路的方向、交叉点等参数。
谢谢
THANKS
截距式
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其中$a$是 直线在x轴上的截距，$b$是直线在y轴上的 截距。
直线的性质
直线是平面的，具有方向性。 直线上的任意两点到直线上任一点的距离相等。
直线可以无限延伸，具有连续性。
02 两直线的位置关系
CHAPTER
平行线
01
02
03
重合线
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补形法小结：
补形原则： “补形法”属于平移法，它是立体几何中一种 常见的方法。通过补形，可将问题转化为易于 研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异 面直线所成的角也是常用的方法之一。
补形方法： 常见的有——把空间图形补成熟悉的或完整 的几何体，如正方体、长方体等。
向量几何法：
D
1
C
1
A 1 B 1
注意的问题： 异面直线夹角的范围及其余弦值的正负关系。
练习：
练习册3.2.1
空间两条直线的位置关系： 平行 相交 异面
异面直线的概念： 异面直线夹角概念：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 b
a' a
例：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2，
AD=1，
求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.
D
1
C
1
A
1
B
1
D A
C
B
平移法：
D
1
C
O
1
A 1 B 1
解题原则： 选择适当的点作为坐标原点，建立空间直角坐 标系，把异面直线转化为向量坐标表示，然后 套用公式求解。
解题公式：
co a ,b s=
a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b 1 2 b 2 2 b 3 2
课堂小结：
方法的选择： 求异面直线的夹角还有其它方法，经过本节课 的探讨，建议同学们选择——纯几何的平移法 和向量中的代数法（坐标法）。
D A
C
B
向量几何法小结：
解题原则： 选择适当空间基底，建立空间直角坐标系，把 异面直线转化为向量，并用空间基底表示，然 后套用公式求解。
解题公式：
cosa,b = aa bb
向量代数（坐标）法：
z
1,0,2A 1
D 10,0,2
B 1
C 0,2,2 1
D
A
x
C
y
B1,2,0
向量代数（坐标）法小结：
D A
E
C
B
平移法小结：
平移原则： 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条 使其成为相交直线。这里的点通常选择特殊位 置上的点，平移异面直线时尽量做到定一动一。
平移方法： 常见的有——中位线平移、直接平移。
补形法：
D 1
A1
D A
C1 B
1
C B
F1 E1
F E
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点