计算方法PPT课件第一章 绪论
计算机科学导论第一章绪 论ppt课件
Wilkes 制造产生.
28
国内第一台模拟电子计算机 1956年，东北大学教授李华天带领工作人员开发 研制出国内第一台模拟电子计算机。 全套设备占地面积 40 平方米，拥有 5 个 2.3 米高的
1930 普林斯顿大学客座教授， 1931 年他成
为美国普林斯顿大学的第一批终身教授
1933 年转到该校的高级研究所，成为最初 六位教授之一，并在那里工作了一生．
14
四个子系统 Four subsystems
基于冯诺依曼模型的计算机分为四个子系统: 存储器memory 、算术逻辑单元 arithmetic logic unit, 控制单元control unit、输入输出单元 input/output
17世纪，法国Blaise Pascal发明了 Pascaline. 一个用来进行加减运算的计算 机器。20世纪，尼克劳斯.澳思发明了一种结构化程序设计语言Pascal 17世纪后期，德国数学家Gottfried Leibnitz 发明了既能进行乘除又能加减 的更复杂的机器，该机器称为莱布尼茨之轮 Leibnitz’ wheel.
Figure 1.2 基于图灵模型的计算机：可编程数据处理器
9
Figure 1.3 相同的程序，不同的数据
10
Figure 1.4 相同的数据，不同的程序
11
通用图灵机 The universal Turing machine
通用图灵机是对现代计算机的首次描述， 该机器只要提供了合适的程序就能做任何计算。
计算方法_绪论课件
第一章绪论1.1 什么是数值分析1.2 误差和有效数字1.误差的来源（1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差2.误差定义1 设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差x*－x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e (x*)，即e*= x*－x定义2 称满足***e x x ε=-≤的正数ε * 为近似值x*的误差限.定义3 设x 是准确值，x *是x 的近似值，称**e x x x x -=为近似值x *的相对误差，记为*r e ，即 ***r e x x e x x -==定义4 称满足的正数r ε*为x* 的相对误差限.3.有效数字定义5 设*12100.kn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}10,0,1,2,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅，k 为整数，若有关系式***r r x x e xε-=≤**0.510k ne x x -=-≤⨯则称近似数x *有n 位有效数字.例1 考虑 3.1415926π=⋅⋅⋅的近似值1 3.14x =和2 3.141x =的有效数字.定理1 设近似数 *12100.mn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅，{}10,0,1,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅ m 为整数，1) 若x *有n 位有效数字，则有**1*11102n r x x e a x --=≤⨯，2) 若x *的相对误差()**1*111021nr x x e a x --=≤⨯+则x *至少有n 位有效数字。
证明1) 因为x *有n 位有效数字，则有*0.510m nx x --≤⨯于是***121110.5100.100.5110100.2m nr m n n n x x e a a a x a a ----⨯=≤⋅⋅⋅⨯≤⨯=⨯2) 由()*1*111021nx x a x --≤⨯+ 有()()()121**111211.11210.10110102121.11010212k mn nna a a a m nm n k a a a x x x a a a a a a --<+--⋅⋅⋅⨯-≤⨯⨯=⨯++=⨯⨯+<例 2 为保证某算式的计算精度，要求参与计算的323的近似值x *的相对误差小于0.1%，请确定x *要取几位有效数字才能达到要求。
首先,我们来看用计算机解决科学计算问题的一般过程：.ppt
准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情况估计出e的取值范围，
即估计出绝对误差的一个上界ε :
e x x*
西南交通大学电磁所
这样的ε称为x*的绝对误差限或误差限。显然，误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值x的范围：
x * x x *
即准确值必定在区间[x*－ε, x*+ε]内，也常记作：x= x*±ε。
为有效数字。 按定义x1* = 3.14可称为准确到第三位或有三位有效数字，而 x2* =
3.1416称为准确到第五位，或有五位有效数字。
也可以给出如下定义：
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m ,
(ai是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
如果 x x*
2
西南交通大学电磁所
2.相对误差
误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如测量百米跑道
长时，误差不超过10厘米，而测量黑板长时得其长度为3米，误差不超
过1厘米。就误差限而言，前者为后者的10倍，但由于前者误差只占所
量长度的千分之一，而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量
百米跑通的结果更为精确。
百分位）的半个单位，即0.5×10-2；
而对x*2
3.1416,π x*2
0
.
0
0
0
1
1
10 2
4
0.00005,x2*=3.1416是
所有五位数中与π相差最小的数，不超过末位（第五位）的半个单位
即0.5×10-4。
西南交通大学电磁所
如果近似值x*的误差限是它的某一位的半个单位，就说 x* “准确” 到这一位，并且从这一位直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称
数值与计算方法第1章绪论
8
计算数学的应用与发展
• 科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法)是现 代科学的三个组成部分
• 计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算 精度，是使原来不能实现的海量复杂计算成为现实
• 科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理 论是计算数学
• 计算数学的应用：天体物理、大气研究、分子生物、 集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等
0
由Newton Leibniz公式无法求解，仅可数用值方
法求解。仍选n择 2,h 1,的复化simpson公式进 2
行数值求解有I2 0.746855379。
21
注释
1. 牛顿-莱布尼兹公式
2.
数值解：在特定条件下通过近似计算,（如有限元的方法, 数值逼近,插值 的方法）得出来的一个数值。
7
计算数学的对象
• 计算数学是一门古老的数学
如计算圆周率、《九章计算》等； 牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算；
• 计算数学是一门年轻的数学
近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算.
• 计算机与数学的关系非常密切 • 计算数学：计算机上的数学方法。
或定义为：研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础 与软件实现的一个数学分支。
开方、极限、超越函数、微分、积分等等。
要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的 等价或近似等价运算。
14
1.
如求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
2. 应化为公式 x1,2bsq2(arb2t4a)c
3. 超越函e数 x，应化为 ex1xx22! xnn!
4. 函数 y(x)的导y(数 x)的计算应化为
计算方法1
本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的 数值分析方法。
4
利用计算机解决实际科学计算问题，一般经过以 下几个步骤：
Step1：实际问题的提出
Step2：建立数学模型
Step3：确定计算方法
Step4：程序设计
Step5：上机实现，得出结果
5
计算方法的研究对象和内容：研究求解各种数学 问题的数值方法及其理论，并且将方法在计算机上实 现，求出问题的数值解，或者说是问题的近似解。
计算方法公理式论、分算析法（（收方敛法性,）稳定性, 误差分析等）
注意：我们在学习中，不但要掌握并会使用算法， 还要重视必要的理论分析，即分析算法的收敛性、稳 定性、误差分析等，这样才能保证计算结果的可靠性。
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： π* 0.31415101 ,
and |π * π| 0.5 103 0.5 1014
* 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3位。
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
估计绝对误差界为0.002 ,
相对误差界为0.002 0.00064, 3.14
例 测量一木板长是954cm，问测量的相对误差限是多少？
实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不会
超过最小刻度的半个单位，因而
当x 954cm时，有 0.5cm，其相对误差界为
r
x
0.5 954
0.0005241
0.053 %
11
南航《计算方法》第1章-绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
最优化计算方法-第1章(绪论)
第一章绪论§1.1引言最优化：就是从所有可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的学科。
这样的问题称为最优化问题，达到最优目标的方案称为最优方案，寻找最优方案的方法称为最优化方法。
广义上：运筹学(Operation Research)狭义上：数学规划（programming)发展:(1)最优化问题是一个古老的问题。
早在17世纪，Newton和Leibniz已经提出了函数的极值问题，但没有系统的理论.因为算法不完善及计算工具不先进，以后二、三百年发展缓慢。
（2）第二次世界大战中由于军事上(战略、战术）的需要，如资源调配问题运输问题提出了许多不能用古典方法解决的问题，从而产生了线性规划，非线性规划、动态规划、组合优化等新方法，产生运筹学，（3）但直到20世纪40年代，最优化的理论和算法才得以迅速发展，并不断完善，逐步成为一门系统的学科。
在实际中最优化方法发挥的作用越来越大，其应用越来越广泛，尤其是在工程设计中的应用。
重要性：因为应用广泛所需数学知识：高等数学、线性代数§1.2 优化问题的模型举例例1 产品调运问题设某产品有个产地，各产地产品的产量分别为m 12,,,m a a a 有n 个销售地，每个销地的销量分别为12,,,n b b b 设由第i 个产地到第j 个销地的运费单价为ijc 问如何安排运输计划，使总运费最小（假设产销平衡）。
ij x 解设由第i 个产地到第j 个销地的运输量为1n j =∑1m i =∑min1(1,2,,)n ij i j x a i m ===∑ 1(1,2,,)m ij j i x b j n ===∑ ..s t ij ij c x 1a i a m a 1b j b n b ij c ij x例2将非线性方程组的求解转化为一优化问题。
11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩212121min (,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x ϕ==∑ 解非线性方程组在有解的情况下，等价于§1.3 优化问题的模型与分类1 根据问题不同特点的分类（1）无约束优化问题（unconstraint optimizationproblem ）12min (,,,)n f x x x 12(,,,)Tn x x x = x min ()n x R f ∈x min (),nf R ∈x x (P)(P)min ()..()0,1,2,,j f s t h j l ⎧⎨==⎩ x x min ()..()0,1,2,,i f s t g i m ⎧⎨≥=⎩ x x min ()..()0,1,2,,,()0,1,2,,i j f s t g i m h j l⎧⎪≥=⎨⎪==⎩ x x x （2）约束优化问题（constraint optimization problem ）(P 1)(P 2)(P 3)12(,,,)T n x x x = x 称为决策变量()f x 称为目标函数()j h x 称为约束函数()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g i m h j l ≥=== x x 称为约束条件()i g x 满足约束条件的点称为可行解（feasible solution ）{}|()0,1,2,,;()0,1,2,,i j R g i m h j l =≥=== x x x (P3)的可行域（feasible region ）2 根据函数类型分类1)线性规划（linear programming）.2)二次规划。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⒉制定数值问题的算法
【什么叫算法？ 用完全确定的运算规则（包括运算的逻 辑顺序），对某一类数值问题的输入数据进行处理，判断此 数值问题是否有解，在解存在的情况下，给出输出数据，此 种过程称为算法。】
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
.
2
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立 数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
2020/11/24
.
6
在计算方法中，我们还将讨论： ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
2020/11/24
.
7
⑵ 一个好的方法应具有如下特点：
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的 有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运 算，是计算机能直接处理的。
1.2.1 误差来源： 用数值计算方法解决科学技术中的具体问题，一
般说都有误差，其来源有下列四种：
（注：由于人为的粗心大意造成的计算错误，不算误差）
1.模型误差 数学描述和实际问题之间的误差 如：匀加速运动或自由落体运动公式
s vt 1 g略t 2去了风力，空气阻力等。
2
2.观察误差 如：读表、读尺、读温度计。
常使用2.71828和3.1416来表示 e,的近似值，由此
所产生的误差就是舍入误差。
2020/11/24
.
12
本课程仅讨论后两种误差（截断误差和 舍入误差），讨论它们在计算过程中的传播 和对计算结果的影响，研制能够控制误差的 影响且保证最终结果有足够精度的算法。
2020/11/24
.
13
1.2.2 误差的概念和有效数字
就可以得到一个递推公式
uk uk1x ank ,
k=1,2, …,n (1.3)
这样的计算过程只需要计算n次乘法和n次加法。 这种算法和上一种算法相比，不仅逻辑结构简单， 而且计算也明显地减少了。多项式求值的这种算法 称为秦九韶算法（计算框图见图1.2)。
2020/11/24
.
10
1.2 误差的来源及其基本概念
2020/11/24
.
5
⒊得不到准确解时，设法得到近似解
例：求 x a, a 已0知数。
由数学中的极限理论可知，
当lim n
xn
x时（，极限存在）
有：lim n
xn1
lim
n
1 2
( xn
a xn
)
即x 1 ( x a )
2
x
于是 x2 a, a 0, x a
又∵n只能有限，∴x是近似值。
因此，数值计算方法就是研究用计算机解决数 学问题的数值方法及其理论的科学。它的内容包 括：误差理论、线性与非线性方程(组)的数值解、 矩阵的特征值与特征向量计算、曲线拟合与函数 逼近、插值方法、 数值积分与数值微分、常微分 方程与偏微分方程数值解等。
2020/11/24
.
3
⑴ 计算方法要解决的几个问题：
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
（或研究的对象）
1.把实际问题归结为数值问题 ⒉制定数值问题的算法 ⒊得不到准确解时，设法得到近似解 ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
2020/11/24
.
4
⒈ 把实际问题归结为数值问题
由于电子数字计算机的广泛使用，使越来越多的实际问 题能归结为数值问题而得到解决（如：曲线拟合，数值逼近 等）。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
2020/11/24
.
8
例：一个简单的算法问题，设要对给定 的
求多x项式
P(x) an xn an1xn1 a1x a0
(1.1)
的值。
一种计算过程是直接计算 p(的x)每一项后
逐项求和，这样要做 n次(n 乘1) 法和 次加n法。 2
计算方法
1
1.1 计算方法研究的对象和特点
计算方法实际上就是计算机上使用的数值计算方法，所 以这门课程又称为数值计算方法或数值分析。它是专门研究 求解各种数学问题的数值计算方法。现在，由于大多数科学 计算都比较复杂，人工计算无法完成；而计算机科学的迅速 发展和广泛应用提供了解决这些复杂问题的新途径。
2020/11/24
.
11
3.截断误差
如：对 x > 0，求 e x。利用泰勒公式有
ex 1 x x2 xn xn1 ex , 0 1.
2!
n! (n 1)!
取其部分和作为 ex，就产生了截断误差。
4.舍入误差 由于计算机的字长有限，对超过位
数的数字要进行舍入，通常取与它们接近的数来表 示，由此产生的误差称为舍入误差。例如，我们通
•1. 绝对误差
定义1.1 设某数的精确值为 x，* 其近似值为 ，x那么
与 x之* 差x
E x* x
称为近似值 x的绝对误差，简称误差。
一般地，某数的精确值 是x*不知道的，因而 不E
能求出，但往往可以估计出它的大小范围，亦即可
以确定一个正数 ，使得
E(x) x x* ,
此时，称 为 x的绝对误差限。有时也用
2020/11/24
.
9
另一种算法就是先将 p(x变) 形为如下形式：
p(x) (((an x an1)x an2 )x a1)x a0 (1.2)
再由内层向外层计算，如设 ：
u0 an , u1 u0 x an1 , u2 u1x an2 , uk (((an x an1)x an2 )x ank1)x ank