最新人教A版必修5高中数学 1.2 应用举例 海伦公式素材(精品)
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_92
阅读与思考 海伦和秦九韶（1课时）（一）教学任务分析1. 理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；2. 会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；3. 会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
（二）教学重点、难点重点：证明秦九韶海伦公式的过程难点：海伦公式的本质（三）教学基本流程1. 从三角形面积的求法引入问题：如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积.2. 海伦秦九韶公式的证明：启发学生从不同的角度得到海伦秦九韶公式的证明，或引导学生自己探索获得公式的证明.3. 应用海伦秦九韶公式计算三角形面积.（四）教学情境设计问题1：三角形的面积如何计算，公式有哪些？设计意图：引导学生回顾之前所学三角形面积计算公式，为引入本节内容作铺垫.师生活动：总结学过的三角形面积公式；111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；12S a h =⋅1()2S a b c r =++⋅（其中r 为ABC ∆内接圆的半径）;4abc S R=（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）问题2：问有沙田一段，有三斜. 其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何.设计意图：利用此题，给出海伦公式S 其中，1().2p a b c =++ 师生活动：教师提出海伦公式，启发引导学生利用余弦定理和代数变形证明.问题3：利用前几节所学有关三角形的知识，证明海伦公式.设计意图：证明过程中会把式子化简成S =提出此为秦九韶推出的“三斜求积”公式，虽与海伦公式形式不一样，但本质相同.师生活动：利用余弦定理证明海伦公式，并说明海伦公式和秦九韶的“三斜求积”公式本质相同.问题4：利用海伦公式解决问题2.设计意图：在应用中加深对公式的理解和记忆.师生活动：1.计算问题2.2.做已知三角形三边长求内切圆和外接圆半径的练习.已知△ABC 的三边长为5，7，8，求△ABC 内切圆的半径和外接圆的半径.11()(578)1022S a b c r r r S =++⋅=++⋅====22578S r a b c ⨯===++++4abc R S ===问题5：因为三角形有外接圆，故考虑已知圆内接四边形的各边长，能否求四边形的面积？有没有四边形的面积公式？设计意图：本节课的一个升华.师生活动：给出圆内接四边形面积公式S 引导学生想到，海伦公式是四边形面积公式的一种特殊情况，并在课下利用正余弦定理证明此公式.。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_13
人教版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章解三角形一、教材分析本节内容选人教A版普通高中数学必修五的阅读与思考“海伦与秦九韶”。
主要是学习如何利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思维活跃的课程。
在初中数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思考的形式出现，但《初中数学新课程标准》中并没有作要求。
在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间相互转化的工具。
在必修五第一章《解三角形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，为本节课提供了理论依据，为学生的思维发展提供了很好的空间和平台。
本节课内容在教材中虽然只是一个阅读材料，但是是三角形面积公式的延续与拓展，意在补充课外知识，为解决问题提供更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感受数学的魅力，培养学生对数学的兴趣，发扬数学文化，让学生享受其中的中西方文化盛宴，教师要注意引导学生观察、思考、对比、转化与化归，寻找解决问题的思路。
二、学情分析学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，具有一定的运算能力和推理能力，初中对海伦秦九韶公式也有所了解，但是公式的来由还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的原则，追根寻由，同时注重对学生数学文化素养的培养。
三、教学目标1.知识与技能（1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。
（2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，明白它们之间的数学本质是一样的。
（3）应用海伦公式与三斜求积解决实际问题。
2.过程与方法：通过海伦—秦九韶公式的证明，感受观察、思考、对比、转化与化归等数学思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度（1）从不同的文化中感受数学文化的丰富内涵，体会中西方文化的多样性，体会到数学的不变性。
（2）从海伦公式中体会到数学公式的简洁美。
人教A版高中数学必修五课件1.2应用举例(二).pptx
(3)已知a 41.4cm,b 27.3cm, c 38.7cm.
2020/4/17
新课
例3、在ABC中,求证 :Leabharlann (1)a2c2
b
2
sin2 A sin2 sin2 C
B;
(2)a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cos C).
证明三角形中的边角关系恒等式 : 全部转 化为边的关系, 或者全部转化为角的关系.
2020/4/17
结束
2020/4/17
2020/4/17
新课
三角形面积公式 :
S 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A
2
2
2
例2、在ABC中, 根据下列条件, 求三角形 的面积S(精确到0.1cm2 ).
(1)已知a 14.8cm, c 23.5cm, B 148.50;
(2)已知B 62.70,C 65.80,b 3.16cm;
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§1.2应用举例(二)
2020/4/17
引入
例1、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行,需要航行多少距离(角度精确到0.10, 距离精 确到0.01nmile).
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_50
教学重点：通过分析实际问题的情境，能找到适当地测量方法。
教学难点：掌握分析测量问题的方法，能解决实际问题。
五、教学策略选择与设计
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本节将采用“引导探究”
式的教学模式。在课堂教学中，我将贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，积极主动的参与教学的全过程。本节课以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比找到测量距离的方法，构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐。
二、教学目标
1、认知目标：会选择恰当地测量量，运用正弦定理、余弦定理解决测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题；
2、过程与方法目标：经历对实际问题的探索，通过讨论研究，将实际问题数学化；
3、情感目标：引导学生进一步体会转化的思想，通过对测量距离的问题的解决，体会正、余弦定理的应用价值以及建模的思想，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。
三、课堂练习
检测学生对知识和方法的掌握程度，同时巩固学习成果。
教师让学生独立完成，并展示自己的思路。
四、课堂小结
让学生总结反思本节课的收获，达到总结提升和对知识升华的作用。
教师引导学生回答，师生互动，教师予以适当地评价。
五、课后练习
我国著名的建筑之一——悬空寺，如何测量它的高度。
通过练习体会数学的应用价值。
2、讲授新知
问题4：在美丽的衡水湖中有座小岛（B点），岸边有一A点，为了提升游客的旅游体验，计划从A点到B点建一座天桥。请你用提供的两种器材设计一种测量A、B之间距离的方法。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_14
《秦九韶－海伦公式》教案【教学内容】人教版数学必修五《秦九韶－海伦公式》【教学对象】高一学生【教材分析】本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。
教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。
本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。
本节课的主要意在引领学生运用所学知识对“秦九韶－海伦公式”进行证明，并进行有效的应用，让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】高二学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。
【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明秦九韶－海伦公式的过程。
【教学难点、关键】秦九韶－海伦公式的本质。
【教学方法】引导探究、实例运用。
【教学过程设计】一、回顾旧知1、三角形面积公式。
提问，让学生回答出已经学习过的公式。
板书：S△＝12×a×h a＝12×ac×sinB＝p×r等2、新课引入我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定．若给出任意一个三角形三边长，你能求出它的面积吗？思考并默读课本。
二、已知三边a，b，c，求三角形面积利用已知三边具体值a=3,b=4,c=5.求三角形面积的方法,推导出已知三边a，b，c,求三角形面积的公式。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_23
《阅读与思考海伦和秦九韶》教学设计一、教材分析：《海伦和秦九韶》是人教A版2003课标版必修五第一章解三角形1.2应用举例课后的“阅读与思考海伦和秦九韶”，是学生学习了正弦和余弦定理，推导了已知三角形的两边及其夹角求三角形面积之后，对求三角形面积的进一步拓展学习。
海伦公式和秦九韶的“三斜求积”弥补了已知三角形三边求三角形面积的空白，并在生产实际中的应用很广泛。
本阅读材料可以作为一个引子可以激起学生进一步了解他们二位的兴趣，从而激发起学习数学的兴趣。
二、学情分析：我校这一届学生的生源较差，主要表现在自学能力和思考问题的能力都较差，高一年级的学生有一定的解三角形的基础与类比学习的能力，但遇到稍微有一点麻烦的计算大部分学生感到难以应对。
这节课对于学生来说是新颖的，不只是公式的学习，还有数学文化的学习，所以学生还是挺感兴趣的。
三、教学目标：1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；会证明秦九韶公式与海伦公式（2）会用海伦—秦九韶公式解决传统数学文化中简单涉及到三角形三边与面积之间的关系的问题（3）培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力。
2、过程与方法：（1）经历探究证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生的应用能力，会解决传统文化中涉及三角形三边与面积之间关系问题。
3、情感态度价值观：（1）通过中西结合，使学生了解我国优秀的传统文化，增强民族自豪感和民族自信心；激发学生的数学学习兴趣，培养学生的探究精神。
（2）通过阅读材料背后隐藏的思想方法，启发学生的人格成长，实施优秀传统数学文化的渗透。
四、教学重点和难点：了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族自信心；海伦—秦九韶公式的证明与应用。
教学难点：海伦—秦九韶公式的证明与应用。
五、教学方法：引导探究、实例运用。
教学准备：教学史料、投影、PPT六、教学情境设计。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_9
应用举例—海伦和秦九韶【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解公式的本质；（3）会用公式解决三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。
【教学难点、关键】海伦公式的本质。
【教学方法】翻转课堂、引导探究、实例运用。
【教学过程设计】一、复习回顾：1.正弦定理：2.余弦定理：3.三角形面积公式：二、课前准备：三、学生探究（资源共享，展示课前学习成果）：1、海伦公式的知识背景【学生展示演讲ppt】2、秦九韶背景故事【学生展示演讲ppt】3、秦九韶的数学成就【学生展示演讲ppt】4、思考：那让我们来看看已知三边的情况下，同学们都会用哪些方法来求三角形的面积【通过智慧课堂学生平板拍照展示不同学生的不同解题方法】四、合作探究：你能够根据已学知识给出上述两个公式的证明吗？1、秦九韶三斜求积术【通过微视频讲解公式的证明过程】2、 转换到海伦公式【学生推导公式变换过程】五、公式应用，体现价值：1、在ABC ∆中，若a= ，b= ，c=3，求ABC ∆的面积【让学生思考应该选择使用哪一个公式】2、在ABC ∆中，若a+b=12，c=8，求ABC ∆面积的最大值【让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程，培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识】六、小结与反馈：海伦—秦九韶公式优秀传统数学文化七、强化练习，融会贯通：【设计意图：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。
】 35。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课课件_0
“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一
尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题
意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一
尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天
减则半s5”=如（果B墙）足够厚，sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，
A. 3115 16
B. 32 15 C. 3315
第0行
1
第1行 1 1
第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1
第4行 11
…… …… ……
二 、 例题讲解
变式2、数列问题（2009年湖北卷文10理10题）
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。 比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能
设a是一个各位数字都不是 0且没有重复数字的三位数， 将组成a的3个数字按从小 到大排成的三位数记为I(a)， 按从大到小排成的三位数记 为D(a)(例如a＝815，则I(a) ＝158，D(a)=851)．阅读 如图所示的程序框图，运行 相应的程序，任意输入一个 a，输出的结果b＝ ____
495
数学文化专题复习
你有没有文化？
一、2017年高考数学文化解读
1、2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件 《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，对数学增加了数 学文化的要求。
2、我国古代数学里有大量的实际问题，可以结合函数、数列、立体 几何、算法等内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式，选取 适合的知识内容等多种方法渗透数学文化。这些问题同时也体现了应用性 的考查，应引起考生的充分重视。
16
16
D.
26 1 2
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》1
课题：浅谈数学阅读学习1经过展现高考数学试卷，使学生认识阅读的重要性，以惹起高度的重视。
将数学阅读归入到数学讲堂教课基本环节中去，充足利用信息技术网络。
目标4培育学生以阅读能力为核心的独立获取数学知识的能力，使他们获取终生学习的本事。
要点掌握数学阅读的方法和技巧。
难点培育学生养成数学阅读的好习惯。
教法引导法、归纳法学法自主学习、合作研究课时一课时一【讲堂导入】——创建情境（1分钟）设计企图一谈及阅读，人们联想到的常常是语文阅读，但是，跟着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数学化”，现代及将来社会要求人们拥有的阅读能力已不再不过语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包含外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力。
跟着时代的进步，社会愈来愈信息化、数学化，学生不具备数学阅读能力是不可以的。
最近几年来，阅读理解题成了数学高考取的新亮点，拥有很强的选拔功能，好多学生对此类题感觉难以下手，因为看了题目搞不懂是什么意思，这是数学阅读能力差致使的。
新的《高中数学课程标准》中已将数学阅读设定为专题课，目的是提升学生的阅读能力，养成独立思虑的习惯。
所以，增强数学学科阅读教育研究，研究数学学科阅读教课的方法和门路，培育学生数学阅读能力就显得尤其重要。
二【合作研究1】——提出问题：（10分钟）（1）在数学中我们怎么阅读呢？（2）分小组进行议论，（3）找小组同学展现，发布自己的看法，其余同学增补，（4）教师参加到小组议论中，（5）师生共同归纳总结：为使学生的学习活动真实有实效，充足调换学生的自主学习兴趣，扩大学生学习参加度。
特别拟订了活动要求，让每个学生都动起来，展现和评论相互联合、真实培育学生的语言组织能力和逻辑思想能力，使学生相互学习、相互促使，达到学习的最优化。
方法指导1：重视在自读感悟阶段的阅读方法与技巧：本环节让学生认识到数学阅读的重要性以小组合作为主，激发学生阅读的参加性，掌握数学阅读的方法①化：习惯把抽象的内容转变为详细的或不那么抽象的内容，联合自己的理解进行符号语言（图式语言）与文字语言的互化。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_23
前项
和Sn
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1)
Sn
a1 anq 1 q
(q
1)
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
第一课时
等差数列
等比数列
定义 通项 公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
an1 q an
an a1qn1 an amqnm
性质 若m n p q，则am an ap aq 若m n p q，则aman apaq
（1）观察法
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（二）由 Sn 求通项公式
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（三）由递推公式求通项公式
类型1 an1 an f (n)
求法：累加法
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制作 06
2010年上学期
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（三）由递推公式求通项公式
类型2 an1 / an f (n)
求法：累乘法
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
作业：
导学案 章末小结 对应变式训练题
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海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-
秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王
希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris
Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表(未查证)。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2 ----------------------------------------------注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-
c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
----------------------------------------------
由于任何n边的多边形都可以分割成n-
2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明(1):
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-
c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px
2=qk,p为“隅”，Q为“实”。
以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P=1时，△ 2=q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b
2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。