最新人教版高中数学必修五 等差数列通项公式优质教案
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、引言等差数列是高中数学中的重要内容，它在数学中的运用十分广泛。
在教学过程中，我们需要注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，让他们能够灵活地运用所学知识，提高数学应用能力。
本文将会介绍人教版高三数学必修五《等差数列》的教学反思和教案。
二、教学反思1. 教学目标通过本次授课，我们的教学目标是：•掌握等差数列的概念，理解等差数列的性质和运用；•能够分析等差数列的通项公式和求和公式，灵活掌握运用；•培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
2. 教学内容本次授课的教学内容包括：•等差数列的定义、通项公式和求和公式；•等差数列的性质和运用；•等差中项和等差数列的应用。
3. 教学方法我们采用了多种教学方法，包括：•讲授法：通过精心准备的PPT和示例，向学生讲解等差数列的定义、通项公式和求和公式，并阐述等差数列的性质和运用；•互动式教学法：通过提问、举例和解题过程中的互动讨论，培养学生的思考能力和分析问题的能力；•组织小组讨论：通过小组讨论，让学生自主探索等差数列的应用，培养学生的团队合作精神和创新精神。
4. 教学效果经过本次教学，我们发现学生的数学知识水平有了明显的提高。
在讲解等差数列的性质和运用时，学生能够将数学知识与实际问题结合起来，灵活掌握应用技巧。
在解题过程中，学生能够主动思考和分析问题，掌握解题方法，并能够独立解答一些复杂题目。
三、教案设计1. 教学目标通过本节课的教学，让学生掌握等差数列的相关概念、性质和运用，并能够通过实际问题，灵活运用所学知识，提高数学应用能力。
2. 教学内容和教学步骤：第一步：引入通过实际问题导入，引发学生兴趣，激发学生对等差数列的认识和探索欲望。
第二步：讲授•定义等差数列的概念，并介绍等差数列的通项公式和求和公式。
•阐述等差数列的性质和运用，主要包括公差、项、数列取值等。
•介绍等差中项的概念，引入等差中项的应用。
第三步：练习通过练习巩固所学知识，提高学生的运用能力。
高中数学等差数列 教案(新人教A版必修5)
数学：2.2《等差数列》教案（新人教A必修5）（原创）一、设计思想1、教材分析：本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。
是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。
2、学情分析：学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
3、设计理念：设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。
教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。
充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。
4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力。
二、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。
三、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
四、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
五、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇1. 引言本教案是针对高三数学必修五教材中的《等差数列》内容进行设计的。
《等差数列》是高中数学中的重要概念，对学生理解数列的规律和应用具有重要意义。
本教案旨在通过多种不同的教学方法和活动，帮助学生深入理解等差数列的定义、性质和应用。
2. 教案一：等差数列的定义和性质2.1 教学目标•了解等差数列的定义；•掌握等差数列的通项公式；•理解等差数列的性质。
2.2 教学内容1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的性质。
2.3 教学活动•分组讨论：学生分成小组，讨论等差数列的定义和通项公式，并总结出等差数列的性质；•演示教学：教师通过示例，引导学生理解等差数列的定义和通项公式，并帮助学生掌握等差数列的性质；•练习巩固：学生进行一些练习题，巩固对等差数列的理解。
2.4 教学评价教师通过观察学生在讨论和练习中的表现，评价学生对等差数列的理解程度。
3. 教案二：等差数列的求和公式3.1 教学目标•掌握等差数列的求和公式；•理解求和公式的推导过程；•运用求和公式解决实际问题。
3.2 教学内容1.等差数列的求和公式；2.求和公式的推导过程；3.运用求和公式解决实际问题。
3.3 教学活动•演示推导过程：教师通过详细的步骤，演示等差数列求和公式的推导过程，并帮助学生理解每一步的意义；•练习应用：学生进行一些实例练习，运用求和公式解决实际问题；•小组合作：学生分组讨论，互相解答问题，提高合作能力和解决问题的能力。
3.4 教学评价教师通过观察学生在练习和讨论中的表现，评价学生对求和公式的掌握情况。
4. 教案三：等差数列的应用4.1 教学目标•熟练运用等差数列解决实际问题；•发现等差数列在生活和科学中的应用。
4.2 教学内容1.通过例题引入等差数列的应用；2.探究等差数列在生活和科学中的应用。
4.3 教学活动•案例分析：教师通过具体的案例，引导学生发现等差数列在生活和科学中的应用，并分析其规律；•分组讨论：学生分组讨论，提出更多的应用案例，并探究其规律和特点；•学生报告：每个小组选取一个应用案例进行报告，分享给全班同学。
高中数学2.2等差数列教案新人教版必修5
等差数列〔一〕教课目标：1．明确等差数列的定，掌握等差数列的通公式；2．会解决知道a n,a1,d,n中的三个，求此外一个的教课要点：等差数列的观点，等差数列的通公式教课点：等差数列的性安排：2内容剖析：本是等差数列一局部，在等差数列的观点，突出了它与一次函数的系，就便于利用所学的一次函数的知来等差数列的性：从象上看，什么表示等差数列的各点都平均地散布在一条直上，什么两能够决定一个等差数列(从几何上看两点能够决定一条直)教课程：一、复引入：上两我学了数列的定及出数列和表示的数列的几种方法——列法、通公式、推公式、象法和前n和公式..些方法从不一样的角度反应数列的特色下边我看一些例子1．王尊得自己英成很差，当前他的量只yes,no,you,me,he5个他决定从今日起每日背10个，那么从今日开始，他的量每日增添，挨次：5，15，25，35，⋯〔：多少天后他的量抵达3000？〕2．于欣宜得自己英成很棒，她当前的量多达3000她打算从今日起不再背了，果不知不地每日忘记5个，那么从今日开始，她的量每日减，挨次：3000，2995，2990，2985，⋯〔：多少天后她那3000个所有忘光？〕从上边两例中，我分获得两个数列①5，15，25，35，⋯和②3000，2995，2990，2980，⋯同学仔察一下，看看以上两个数列有什么共同特色？答：从第二起，每一与它前面一的差等于同一个常数〔即等差〕；〔：每相两的差相等——指明作差的序是后减前〕，我拥有种特色的数列一个名字——等差数列二、解新：1．等差数列：一般地，假如一个数列从第二起，每一与它前一的差等于同一个常数，个数列就叫做等差数列，个常数就叫做等差数列的公差〔常用字母“d〞表示〕⑴．公差d必定是由后减前所得，而不可以用前减以后求；⑵．于数列{a n},假定a n －a n1=d(与n没关的数或字母)，n≥2，n∈N，此数列是等差数列，d公差，也是判断是不是等差数列的一种方法。
高中数学人教版必修5等差数列教学设计
高中数学人教版必修5等差数列教学设计
1教学目标
一:知识目标
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等差数列与一次函数的关系.
4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
二:能力目标
能利用方程思想解决等差数列常见的求值问题。
2.利用等差数列与函数的关系进一步了解数列是个特殊的函数,并能用函数思想解决相关问题。
三:情感目标
利用形象生动的例子教学,让学生体会等差关系在生活中是很常见的,并联系自我的认知掌握所学知识,体会数学源自生活并服务于生活,提高对数学的兴趣。
2学情分析
高三一轮复习课
3重点难点
教学重点:
等差数列的概念等差数列的通项公式与前n项和公式等差数列的性质及运用
教学难点:方程思想的渗透以及性质的灵活运用
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【讲授】等差数列
一:知识梳理
1.等差数列的有关定义
(1)一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(n∈N*,d为常数).。
高中数学必修五《数列通项公式》优秀教学设计
《数列通项公式》教学设计【教学目标】 一、知识目标：1. 解决形如a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)通项公式的确定。
2．通过学习让学生掌握和理解a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式的求法。
二、能力目标：在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。
通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
利用学案导学，促进学生自主学习的能力。
三、 情感目标：通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。
【教学重点】通过学习让学生能够熟练准确的确定掌a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式 并能解决实际问题。
【教学难点】1.如何将a n+1=pa n +q 转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。
2.理解和掌握a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。
【教学方法】探索式 启发式 【教学过程】 一．引入：1、等差、等比数列的通项公式？2、 如何解决a n+1=pa n +q 型的通项公式？3、 如何解决a n+1–a n =f(n)型的通项公式？4、如何解决a n+1∕a n =f(n)型的通项公式？二．新授内容：考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n ＝________..答案 (1)(－1)n 1n （n ＋1） (2)2n ＋1n 2＋1考点二 由S n 与a n 的关系求a n【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.∵a 1＝4不适合此等式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2)(－2)n －1 规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A.2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 (1)B (2)4n －5考点三 由数列的递推关系求通项公式 [微题型1] 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的形式【例3－1】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则它的一个通项公式为a n ＝________.解析 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 2n ＋1－3规律方法 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.[微题型2] 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的形式【例3－2】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.解析 由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.答案n （n ＋1）2＋1 规律方法 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. [微题型3] 形如a n ＋1＝a n ·f (n )的形式【例3－3】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.解析 法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n .答案 1n规律方法 把形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. 【训练3】 (1)(2016·合肥一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n ＋23a n，则a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足). (2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)3×2n －1－2 (2)n （n ＋1）2课堂总结：[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.三．总结：形如a n+1=pa n +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。
新人教A版必修5高中数学学案教案： (2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教案
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪三维目标一、知识与技能1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.二、过程与方法1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学过程导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，…;(2)48，53，58，63，…;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这就是我们这节课要研究的内容.推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生从“第二项起”和“同一个常数”.师很好！师请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？生数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.［合作探究］等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?生a2-a1=d,即a2=a1+d.师对，继续说下去!生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……师好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d.师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a n了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,a n-a n-1=d.将它们相加便可以得到：a n=a1+(n-1)d.师太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.［教师精讲］由上述关系还可得：a m =a 1+(m-1)d ,即a 1=a m -(m-1)d .则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m-1)d +(n -1)d =a m +(n -m)d ,即等差数列的第二通项公式a n =a m +(n -m)d .(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到n m a a d n m --=. ［例题剖析］【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？分析（1）师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!首项和公差分别是a 1=8,d =5-8=2-5=-3.又因为n =20，所以由等差数列的通项公式，得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49.师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n =-5-4(n -1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-5-4(n -1)成立,解之,得n =100，即-401是这个数列的第100项.师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是a n ,a 1,d ,n 组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列｛a n ｝的项数n 已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n ，判断是否存在正整数n ，使得a n =-401成立.【例2】 已知数列{a n }的通项公式a n =p n +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析：师 由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要根据什么?生 只要看差a n -a n -1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数.师 说得对，请你来求解.生 当n ≥2时，〔取数列{a n }中的任意相邻两项a n -1与a n (n ≥2)〕a n -a n -1=(p n +1)-［p(n -1)+q ］=p n +q-(p n -p+q)=p 为常数, 所以我们说{a n }是等差数列，首项a 1=p+q ，公差为p.师 这里要重点说明的是：(1)若p=0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，….(2)若p≠0，则a n 是关于n 的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n ，a n )均在一次函数y=px+q 的图象上，一次项的系数是公差p ，直线在y 轴上的截距为q.(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项a n =p n +q(p 、q 是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知a 1=3，d =7-3=4.∴该数列的通项公式为a n =3+(n -1)×4，即a n =4n -1(n ≥1，n ∈N *).∴a 4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.解：根据题意可知a 1=10，d =8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n =10+(n -1)×(-2)，即a n =-2n +12，所以a 20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n 值，使得a n 等于这个数.解：根据题意可得a 1=2，d =9-2=7.因而此数列通项公式为a n =2+(n -1)×7=7n -5. 令7n -5=100，解得n =15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， 213-，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a 1=0，213=d ,因而此数列的通项公式为2727+-=n a n . 令202727-=+-n ，解得747=n .因为202727-=+-n 没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n -a n -1=d (n ≥2);其次要会推导等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d (n ≥1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a n ，a 1，d ，n 中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式a n =a m +(n -m)d 和a n =p n +q(p 、q 是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 A 组第1题，B 组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式 例1.(略)3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.2
从容说课
本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认
知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果
教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教具准备多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣
教学过程
导入新课
师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的
数列叫等差数列？
生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示
师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d
生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a
n -1；②
11--=
n a a d n ；③m
n a a d m
n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m
n a a d m
n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差
［合作探究］
探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？
师 本题在这里要求的是什么 生 当然是要用a ，b 来表示数A
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答
生 由定义可得A -a =b -A ，即2
b a A +=
反之，若2b
a A +=
，则A -a =b -A
由此可以得⇔+=2
b
a A a ,A ,
b 成等差数列
推进新课
我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的
前一项与后一项的等差中项
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项
［方法引导］
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列
A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标
量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列
［合作探究］
师 在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q ∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？
生 我得到了一种关系a m +a n =a p +a q
师 能把你的发现过程说一下吗？
生 受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7 从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q
师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这
归纳的结论加以证明呢？
生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则
a m+a n=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d
a p+a q=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q
师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的
和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q
同样地，我们还有：若m+n=2p,则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容
师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗
生我举常数列就可以说明了
师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
［例题剖析］
【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9
师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项
生 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手
师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-
所以可得d=a4-a3=7-
又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9
【例2】(课本P44的例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4
千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费
师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决
师为什么？
生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费
师这个等差数列的首项和公差分别是多少
生分别是11.2，
师好，大家计算一下本题的结果是多少
生需要支付车费23.2元
(教师按课本例题的解答示范格式
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题
课堂练习
1.在等差数列{a n}中，
(1)若a5=a,a10=b,求a15
解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a
(2)若a3+a8=m,求a5+a6
解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8
(3)若a5=6,a8=15,求a14
解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d
从而a14=a5+(14-5)d
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值
解：等差数列{a n}中，因为
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12
从而(a11+a12a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10
因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5
=2×80-
2.让学生完成课本P45练习
教师对学生的完成情况作出小结与评价
［方法引导］
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围
课堂小结
师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？
生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第4、5题
预习内容：课本P48～P52
预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用
板书设计
等差数列通项公式
等差中项例题
在等差数列{a n}中
若m、n、p、q∈N*且m+n。