1.3.1单调性与最大函数的最大值、最.ppt
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函数的单调性与最值-PPT
30
∴当 x＝ 时，函数3
2
g(取x)=得- x32最 小2x =值1 ，
5 3
，m12即-4m(32m2＋53 1)·(4m2－3)≥0，
解得m≤
或m≥ .3
2
3 2
31
27
正解：
由不等式x2-4x+3＞0，得函数的定义域为
(-∞，1)∪(3，+∞)．
设u=x2-4x+3，则 y log1 u 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，2
故由二次函数的性质知：
当x≥2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x＜2时，u=x2-4x+3为减函数．
因为函数定义域为(-∞，1)∪(3，+∞) 且 y log1 u 为减函数，
减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
4
基础达标
• (教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为 增函数的是( B )
A. y＝－x＋1 C. y＝x2－4x＋5
B. y＝ x D. y＝ 2
x
解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．
5
2. (教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)
22
由②得0<x2+5x+4≤
1 4
∴
5 10 2
≤x<-4或-1<x≤
5 1，0 ④
2
由③、④得原不等式的解集为
{x x 5或 5 10 x 4或 1 x 5 10 或x 0}
2
2
.
23
题型四 函数的最值 【例4】 已2 知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝3f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1
(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
【数学】1.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件(新人教B版选修2-2)
3
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
函数的单调性PPT
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
巩固知识 例5
典型例题
判断函数y=4x-2的单调性．
分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来 判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论 采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域． 观察函数图像
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
如果对于属于定义域 定义域I内某个区间上的 内某个区间 任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1 任意两个自变量 <x2时，都有f(x1) > f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x ) 2 o x1 x2 x
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么 就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这 个区间叫做y= f(x)的单调区间。
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
巩固知识 例5
典型例题
判断函数y=4x-2的单调性．
分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来 判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论 采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域． 观察函数图像
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
如果对于属于定义域 定义域I内某个区间上的 内某个区间 任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1 任意两个自变量 <x2时，都有f(x1) > f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x ) 2 o x1 x2 x
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么 就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这 个区间叫做y= f(x)的单调区间。
单调性与最大(小)值PPT教学课件
探究2 二次函数f(x)在区间[m，n]上的最值，关键在于确定 开口与对称轴的位置标出区间，由图像确定单调性，求出最 值．
思考题3 已知函数f(x)＝x2－4x－4在(－∞，1]上单调，求 f(x)的最值．
【解析】 ∵f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x＝2， ∴f(x)在(－∞，1]上单调递减． ∴f(x)min＝f(1)＝12－4×1－4＝－7，f(x)无最大值． 综上，f(x)的最小值为－7.
＝(x1－x2)(
1 x1＋
x2＋1)<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．
∴f(x)＝ x＋x在[2，＋∞)上单调递增．
∴f(x)min＝f(2)＝ 2＋2.
Hale Waihona Puke 后巩固1．已知函数f(x)＝3x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 C
2．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最小值为( )
2．一个函数是否一定有最值？若有最值，它与值域什么关 系？
答：不一定有最值，例如：y＝x，x∈(1,2)． 若有最值，最小值即为值域中的最小值，
最大值即为值域中的最大值．
课时学案
题型一 利用图像求函数的最值
例1
画出函数y＝
1 x
的图像，并求函数在以下区间上的值
域．
(1)[1,7]； (2)[－7，－1]； (3)[－5,0)∪(0,5]．
【解析】 (1)f(x)＝(x－2)2－8开口向上，对称轴x＝2，∴当 x∈[3,4]时，f(x)为增函数，最小值f(3)＝－7，最大值f(4)＝－4.
(2)f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函 数，∴最小值为f(2)＝－8.
1.3.1最大值最小值(必修一 数学 优秀课件)
5 . 设b>1为常数，如果当x∈[1,b]时，函数
由f(x)的图像可知道在区间[1,b]上是递增的，所以 1 2 3 f(b) = b - b + = b y 2 2 得b=3或b=-1，因为b>1，
1 0
所以说b=3.
1 x
教材习题答案
1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加 而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到 最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人 数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产 效率即越高. 2.增区间为：[8,12],[13,18];减区间为 [12,13],[18,20].
课堂小结
1、函数的最值： 最大值
最小值
2、函数的最值的求法
（1）利用图象求函数的最值;
（2）利用函数单调性求函数的最值 ；
高考链接
1 （ 2007年广东）函数f x = 1- 在区间 的 x 2 最小值为 3
1.填表
课堂练习
y = kx + b（k 0）
思 考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实
数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I ，使得 f(x0 ) = M ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
y
当x=m时，f (x)有最
f(m)
大值f (m)，当x=n时，
O
m
n
f(x)有最小值f (n).
x
f(n)
(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时函数的最大值、最小值)课件 新人教A版必修1
2021/10/9
h
7
由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常 用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图 象易作出的函数求最值较常用．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
2021/10/9
h
12
2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求函
数值域．
【解析】
3(x2－x1) (x1－1)(x2－1)
设 1<x1<x2≤3，则 f(x1)－f(x2)＝
∵1<x1<x2≤3，∴x2－x1>0，x1－1>0，x21>0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(1,3]上是减函数，
Байду номын сангаас
2021/10/9
h
15
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5， 其对称轴为x＝3，开口向上， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间 [m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在 区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利 用函数单调性求解．
2021/10/9
h
3
1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象 上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．