函数单调性与最大最小值教案
单调性与最大(小)值(第二课时)教案
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。
函数的单调性与最大(小)值教案doc 【完整版】
《ห้องสมุดไป่ตู้调性与最大（小）值》
课前活动
1．函数的最大值、最小值的定义是什么？
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得
课中活动1
二、讲授新课：
1.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征
① ②
2，函数最大（小）值定义
单调性与最大（小）值（2）
课题名称
《单调性与最大（小）值》
课型
新授课
年级
高一年级
教学目标
1、理解函数的最大（小）值及其几何意义．
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标。
3、培养学生数形结合分析问题的能力
教学重点
函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点
利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
体会二次函数的公式法求最值
例4求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
体会利用函数单调性求最值方面的作用。
完成P39B组1
完成《创新设计》P24“课堂达标”中1-5题。
课后活动
四、课后作业P3945
完成《创新设计》P24新知导学1，2，3的自学。
五、教学反思：
最大值：一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 ．
那么，称M是函数 的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义．
3、利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
课中活动2
三、例题讲解：
例3的讲解。完成P324
高中数学教案函数的单调性与最值
高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。
本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。
具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。
2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。
（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。
3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。
解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。
因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。
（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。
解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。
函数单调性与最值教案
函数单调性与最值教案教案标题：函数单调性与最值教案教案目标：1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。
2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。
3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。
教案步骤：步骤一：引入概念（15分钟）1. 引导学生回顾函数概念，并解释函数的单调性。
2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。
3. 提出问题：如何判断一个函数的单调性？步骤二：函数单调性的判断（20分钟）1. 介绍函数导数的概念，并解释导数与函数单调性的关系。
2. 讲解判断函数单调性的方法：a. 对函数求导，判断导数的正负性；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。
步骤三：函数最值的求解（20分钟）1. 引导学生思考如何求解函数的最值。
2. 解释求解函数最值的方法：a. 对函数求导，找出导数为零或不存在的点；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。
步骤四：综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。
2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。
3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案，并进行讨论和评价。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。
2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。
3. 提供一些拓展问题，鼓励学生继续思考和研究相关概念。
教案评估：1. 在步骤二和步骤三的练习中，检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。
2. 在步骤四的综合应用中，评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。
3. 在课堂讨论和总结中，评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。
教案延伸：1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题，拓展思维能力。
2. 引导学生探索函数单调性和最值在其他数学领域的应用，如微积分、优化问题等。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。
《函数的单调性与最大(小)值》教学设计
函数的单调性与最大（小）值教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的单调性2. 内容解析函数的单调性是主要的函数性质之一，它刻画了函数的增、减变化规律. 因为现实世界中的运动变化过程、增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法，所以研究函数的单调性具有重要的现实意义；另一方面，方程、不等式等问题的求解，可以利用函数单调性进行解决. 因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用.函数的单调性是函数的局部性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质；而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质.另外，通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值.从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义.初中阶段，对函数图象从左到右上升（下降）转化为“y随x的增大而增大（减小）”进行刻画，学生经历了从图象直观到函数值随自变量的变化而变化的转化过程；高中阶段，通过引入数学符号，并采用“？x1,x2∈D”的方式，进一步将“y随x的增大而增大（减小）”转化为精确的定量关系，即用不等式刻画“增大”“减小”，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种从形象直观到定性刻画再到抽象的符号语言刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确定量地刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：函数单调性的符号语言刻画.二、目标和目标解析1.目标（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；（2）会用定义证明简单函数的单调性；（3）会根据问题的实际意义，求函数的最大值、最小值；（4）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（2）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（3）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值；（4）经历从图象直观到文字语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引入“？x1,x2∈D”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用.三、教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函数都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律，能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性质，可以用“y随x的增大而减小（增大）”这样的文字语言来描述.高中阶段，要通过引入“？x1,x2∈D，当x1教学中，要利用一次函数、二次函数等，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数值随自变量变化而变化的情况，用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.根据以上分析，确定教学难点是：符号语言的引入；对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解单调性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律，并体会自变量取值的任意性.五、教学过程设计（一）引入引导语：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.什么叫函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.问题1：请看下面的函数图象，从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题.学生的回答有可能涉及到很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等.教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质.本节课我们先研究如何用精确定量的方法刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律.设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.（二）单调性性质及其定量刻画方法的抽象1.具体实例的分析问题2：在初中我们研究过二次函数y=a（x－h）2+k，从它的图象可以看出：如果a>0，当x师生活动：学生自主活动，也可以小组讨论，然后再组织全班交流.设计意图：用自己的语言表述，可以促使学生对单调性理解的具体化，使定性描述向定量刻画发展.学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y减小.”追问1：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y减小”又该如何表示？y=x2为例，观察下表，你能用数学符号刻画x、y的数量变化关系吗？师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如当x从-4增大到-3，则f（x）从f（-4）=16减小到f（-3）=9；当x从-3增大到-2，则f（x）从f（-3）=减小到f（-2）=4；当x从-2增大到-1，则f（x）从f（-2）=4增大到f（-1）=1；……追问2：（1）这样的变化过程能写得完吗？怎么办？（2）这个变化过程中的数量关系有什么特点，你能概括一下上述变化过程的共同点吗？师生活动：学生通过从具体到抽象，可以得到：只要x1＜x2，就有f（x1）＞f（x2）如果学生有可能，教师可以进行启发帮助，或者直接给出上述表述.追问3：这里对x1，x2有什么要求？只取（-∞，0]上的某些数是否可以？你能举例说明吗？师生活动：让学生展开讨论，教师应当进行适当引导，并举出一些例子（反例）进行说明，最终要让学生明确，应该是区间（-∞，0]上的任意两个数.追问4：所以，更严格的表达应该是怎样的？师生活动：让学生说出“任取x1，x2∈（-∞，0]，教师总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量.其中，任取x1，x2∈（-∞，0]，把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程.追问5：对于函数y=x2，你能模仿上述方法，给出“在区间[0，∞）上，y 随x的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本课的重点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的代数语言刻画“在区间D上，当x增大时，相应的f（x）随着减小”.在“图象从左到右下降—y随x的增大而减小—任取x1，x2∈D，当x1注意：因为函数的单调性是一个比较难以理解的概念，学生第一次遇到要用一个数学符号语言刻画一个涉及“无限取值的问题”，大多数学生很难独立想到其中的数学方法，所以教学中可以采取先由教师教学启发性讲解，使学生理解“在区间D上，y随x的增大而减小”，可以用“任取x1，x2∈D，当x1 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f（x）=|x|和f（x）=－x2的单调性.2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳关于函数f（x）=x2，f（x）=|x|和f（x）=-x2的单调性的刻画方法，给出函数y= f（x）在区间D上单调性的符号刻画.师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流. 在充分交流的基础上，教师给出严格的单调性定义表述.3.单调性定义的辨析问题4：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且？x1，x2∈A，当x1（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流.教师可以提醒学生用多种方法表示函数（特别是利用图象直观说明问题）.设计意图：这里的问题（1）是引导学生辨析定义中的“任意”二字；问题（2）既是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，同时也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减），但在它们的并集上不一定保持单调递增（递减）的性质.（三）单调性定义的简单应用例1.根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性.师生活动：先让学生独立思考，讨论研究思路，然后再给出严格的表述（可以让几个学生板书），教师再引导学生对进行点评.这里教师应该强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2）具体的操作方法是，在条件x1设计意图：对于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，学习了单调性的定义后，利用定义通过严格的逻辑推理对结论进行了证明，体现了形式化定义的作用.同时，通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本过程.例2.物理学中的玻意耳定律p=k/v（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.师生活动：先让学生独立思考“体积V减小时，压强p增大”的含义，建立与函数单调性性质的联系，再让学生独立给出证明，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善.在给出完整证明后，给出追问：你能总结例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数的单调性的基本步骤吗？设计意图：例2是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，而数学研究的不是每一个现象而是从中抽象概括出来的一般问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律.另外，通过追问，要让学生总结出证明函数单调性的基本步骤：第一步，确定函数的定义域I；第二步，？x1，x2∈I，且设x1＜x2，并将x1，x2代入f（x），得f（x1），f（x2）；第三步，将f（x1）-f（x2）进行代数变形，转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基本性质等判断其符号或大小关系的式子；第四步，得出相应的单调区间.例3.根据定义证明函数在区间（1，+∞）上单调递增.师生活动：先由学生独立思考并写出证明过程，可选几名学生板书，然后再进行全班交流.要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向.设计意图：利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在（1，+∞）上单调递增的性质，这在没有函数单调性定义的时候是做不到的，可以使学生进一步体会到定义的作用；同时，也可以使学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.（四）课堂小结问题5：回答下列问题.（1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？（2）你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？师生活动：学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳.设计意图：（1）让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点；（2）引导学生进一步理解“函数有意义”是讨论函数单调性的前提，“？x1，x2∈I，且设x1＜x2”的含义，如何对f（x1）－f（x2）进行代数变形等等；（3）要使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象直观及文字语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达.六、目标检测设计1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.。
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函数单调性与最大最小值教案Function monotonicity and max min teaching plan
函数单调性与最大最小值教案
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我是本科数学**号选手，今天我要进行说课的课题是高
中数学必修一第一章第三节第一课时《函数单调性与最大（小）值》（可以在这时候板书课题，以缓解紧张）。
我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。
恳请在座的专家评委批评指正。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
（1）本节课主要对函数单调性的学习；
（2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又
为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）（3）它是历年高考的热点、难点问题
（根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题
就删掉）
2、教材重、难点
重点：函数单调性的定义
难点：函数单调性的证明
重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。
（这个必须要有）
二、教学目标
知识目标：
（1）函数单调性的定义
（2）函数单调性的证明
能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想
情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识
（这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化）
三、教法学法分析
1、教法分析
“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。
新
课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。
本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法
2、学法分析
“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于
方法的'只是。
学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参
与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。
在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳
总结法。
（前三部分用时控制在三分钟以内，可适当删减）
四、教学过程
1、以旧引新，导入新知
通过课前小研究让学生自行绘制出一次函数f（x）=x和
二次函数f（x）=x^2的图像，并观察函数图象的特点，总结
归纳。
通过课上小组讨论归纳，引导学生发现，教师总结：一次函数f（x）=x的图像在定义域是直线上升的，而二次函数
f（x）=x^2的图像是一个曲线，在（-∞，0）上是下降的，
而在（0，+∞）上是上升的。
（适当添加手势，这样看起来更自然）
2、创设问题，探索新知
紧接着提出问题，你能用二次函数f（x）=x^2表达式来描述函数在（-∞，0）的图像？教师总结，并板书，揭示函数单调性的定义，并注意强调可以利用作差法来判断这个函数的单调性。
让学生模仿刚才的表述法来描述二次函数f（x）=x^2在（0，+∞）的图像，并找个别同学起来作答，规范学生的数学用语。
让学生自主学习函数单调区间的定义，为接下来例题学习打好基础。
3、例题讲解，学以致用
例1主要是对函数单调区间的巩固运用，通过观察函数定义在（—5，5）的图像来找出函数的单调区间。
这一例题主要以学生个别回答为主，学生回答之后通过互评来纠正答案，检查学生对函数单调区间的掌握。
强调单调区间一般写成半开半闭的形式
例题讲解之后可让学生自行完成课后练习4，以学生集体回答的方式检验学生的学习效果。
例2是将函数单调性运用到其他领域，通过函数单调性
来证明物理学的波意尔定理。
这是历年高考的热点跟难点问题，这一例题要采用教师板演的方式，来对例题进行证明，以规范总结证明步骤。
一设二差三化简四比较，注意要把f（x1）-f （x2）化简成和差积商的形式，再比较与0的大小。
学生在熟悉证明步骤之后，做课后练习3，并以小组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下面自行完成，并通过自评、互评检查证明步骤。
4、归纳小结
本节课我们主要学习了函数单调性的定义及证明过程，
并在教学过程中注重培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
5、作业布置
为了让学生学习不同的数学，我将采用分层布置作业的
方式：一组习题1.3A组1、2、3 ，二组习题1.3A组2、3、B组1、2
6、板书设计
我力求简洁明了地概括本节课的学习要点，让学生一目
了然。
（这部分最重要用时六到七分钟，其中定义讲解跟例题
讲解一定要说明学生的的活动）
五、教学评价
本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学过程
中通过自主探究、合作交流，充分调动学生的积极性跟主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。
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