《函数的单调性与极值》教案(优质课)
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
函数单调性与极值教案
函数单调性与极值（1）【课题】用函数的导数来判别函数单调性【教学目的】1．掌握用求导方法判定函数单调性；2．能应用求导方法判定函数的增减性及求出函数的单调区间；3．让学生领会学习导数的作用；【教学类型】新知课【教学方法】讲练结合【重点、难点】掌握用求导的方法来判定函数单调性及求出函数的单调区间【教学过程】1．复习导数公式及求导法则；2．画出函数 y=x²-2x+4的图像分析函数图像：在（－∞，2）内，曲线切线斜率为负，即y’>0,f(x)单调递减；在x=2处，曲线切线斜率为零，即y’=0,f(x)不变；在（2，＋∞）内，曲线切线斜率为正，即y’<0,f(x)单调递增。
3．提出问题：对于一般的函数y=f（x）在某个区间内有导数，①如果在区间内的y′＞0，那么y=f（x）在这个区间是否一定为增函数？②如果在区间内的y′＜0，那么y=f（x）在这个区间内是否一定为减函数？③如果y′=0，那么y=f（x）在区间内的函数值是否为一常数？4．讨论回答问题①②③的答案都是肯定的。
但老师必须指出：结论的证明必须要用数学分析中的中值定理，我们只用其结论。
而问题③所涉及的内容正是下一节课要研究学习的内容。
然后，给出教科书中给的判定方法：对于一般的函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在区间内的y′＞0，那么y=f（x）在这个区间为增函数；如果在区间内的y′＜0，那么y=f（x）在这个区间内为减函数。
5．竞赛活动①在黑板上给出题目。
求证：函数13+y在R上是增函数。
=x②请两位同学同时到黑板上解决，指定一位同学用增函数的定义证明，另一位同学用求导数的方法证明，下面的同学分成两大组分别用两种方法进行证明。
③从竞赛活动中体验求导方法的优越性。
6．分析讲解例题①板书讲解例1、例2，注意借助图形启发学生理解。
尤其是例2，当x=0、x=2时，y′=0的情况，可为下一节课埋下伏笔。
②补充讲解例3：求证：函数15-y在R上是增函数（a＞0）。
初三数学教案-九年级数学函数的单调性与极值 精品
函数的单调性与极值教案目的要求1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.2.弄清函数极值与最值的区别与联系.3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力.内容分析1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的.3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解.4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.教学过程1.复习函数极值的一般求法①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?②x=a、x=b是不是极值点?③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?④一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,且在(a,b)内有导数.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,你认为应通过什么方法去求解?3.分组讨论,回答问题①学生回答:f(x2)是极大值,f(x1)与f(x3)都是极小值.②依照极值点的定义讨论得出:f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.③直观地从函数图象中看出:f(x3)是最小值,f(b)是最大值.(教师在回答完问题①②③之后,再提问:如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?)④与学生共同讨论,得出求函数最值的一般方法:i)求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.4.分析讲解例题例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.板书讲解,巩固求函数最值的求导法的两个步骤,同时复习求函数极值的一般求法.例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积为多少?用多媒体课件讲解:①用课件展示题目与水箱的制作过程.②分析变量与变量的关系,确定建模思想,列出函数关系式V=f(x),x∈D.③解决V=f(x),x∈D求最值问题的方法(高次函数的最值,一般采用求导的方法,提醒学生注意自变量的实际意义).④用“几何画板”平台验证答案.5.强化训练演板P68练习6.归纳小结①求函数最大值与最小值的两个步骤.②解决最值应用题的一般思路.布置作业教科书习题2.5第4题、第5题、第6题、第7题.。
高中数学教案函数的单调性与极值
高中数学教案——函数的单调性与极值教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 掌握利用导数研究函数的单调性，会求函数的极值。
3. 能够运用函数的单调性和极值解决实际问题。
教学重点：1. 函数单调性的判断。
2. 利用导数研究函数的单调性和求极值。
教学难点：1. 函数单调性的证明。
2. 利用导数求函数的极值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 相关练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的函数单调性的概念。
2. 引入高中阶段函数单调性的学习，指出其在高中数学中的重要性。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数单调性的定义和性质。
2. 举例说明如何判断函数的单调性。
3. 讲解利用导数研究函数的单调性，导数的正负与函数单调性的关系。
三、实例分析（15分钟）1. 分析具体函数的单调性，求函数的单调区间。
2. 利用导数求函数的极值，讲解极值的概念和求法。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的练习情况进行讲解和指导。
五、总结与展望（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点。
2. 指出函数单调性和极值在实际问题中的应用价值。
3. 展望下一节课将要学习的内容。
教学反思：本节课通过讲解和实例分析，让学生掌握了函数单调性的判断和利用导数研究函数的单调性及求极值的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成相关题目，对函数单调性和极值的概念有了清晰的认识。
但在教学过程中，发现部分学生对于函数单调性的证明仍存在一定的困难，需要在今后的教学中加强这方面的训练。
六、应用拓展（10分钟）1. 通过实际问题，让学生运用函数的单调性和极值进行分析。
2. 引导学生将函数单调性和极值的知识应用到其他学科或生活中。
七、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，巩固函数单调性和极值的概念及应用。
2. 强调函数单调性和极值在高中数学中的重要性。
八、作业布置（5分钟）1. 布置适量作业，让学生巩固所学知识。
《函数的单调性与极值》教案(优质课)
《函数的单调性与极值》教案【教学目标】：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二 新课讲授 1 函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
【教案】《函数的单调性与最值》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与最值》教学设计（建阳一中市级公开周）函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点，求函数的最值都离不开单调性，而单调性的基础数形结合，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法教学过程一、复习引入1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一：不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．.求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. （1）2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。
【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值？ 确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论； 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 （1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ；（2）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.。
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《函数的单调性与极值》教案
【教学目标】：
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
二 新课讲授 1 函数单调性
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <
0时，函数y=f(x) 在区间
（∞-，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0
x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它
附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值
)(4x f >
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。
但反过来不一定。
如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也
不比它附近的点的函数值小。
假设
x使0
)
(
=
'x
f，那么
x在什么情况下是的极值点呢？
如上左图所示，若
x是)
(x
f的极大值点，则
x两侧附近点的函数值必须小于)
(
x
f。
因此，
x的左侧附近)
(x
f只能是增函数，即0
)(>
'x
f。
x 的右侧附近)
(x
f只能是减函数，即0
)
(<
'x
f，同理，如上右图所示，若
x
是极小值点，则在
x的左侧附近)
(x
f只能是减函数，即0
)(<
'x
f，在
x的右侧附近)
(x
f只能是增函数，即0
)(>
'x
f，从而我们得出结论：若
x满足0
)
(
=
'x
f，且在
x的两侧)
(x
f的导数异号，则
x是)
(x
f的极值点，)
(
x
f
是极值，并且如果)
(x
f'在
x两侧满足“左正右负”，则
x是)
(x
f的极大值点，)
(
x
f是极大值；如果)
(x
f'在
x两侧满足“左负右正”，则
x是)
(x
f
的极小值点，)
(
x
f是极小值。
例3 求函数443
13
+-=x x y 的极值。
三 小结
1求极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；
③ 求方程/y =0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。
(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）7522+-=x x y （2）33x x y -=
2 求下列函数的极值
（1）672+-=x x y （2）x x y 522+-=
（3）x x y 273-= （4）323x x y -=
五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1）24+-=x y （2）2)1(-=x y （3）522+--=x x y （4）x x x y --=23
2 求下列函数的极值
（1）1042+-=x x y （2）7422-+-=x x y
（3）1323-+=x x y （4）3126x x y -+=
（5）x x x y 63423--= （6）422x x y -=。