人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）

教学设计

一、教学内容解析：

(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；

本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。

函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．

函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．

函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．

函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．

教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）．

(2)教学内容的知识类型；

在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.

(3)教学内容的上位知识与下位知识；

在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.

(4)思维教学资源与价值观教育资源；

生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数

1

y x

x

=+，能引发

提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.

二、教学目标设置：

本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。

“课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。

“课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时)

为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：

(1)知识与技能：

理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念；

能利用图象法直观判断函数的单调性；

初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性.

理解函数单调性定义蕴含的不等关系，初步掌握利用作差比较推理证明函数单调性的方法.

(2)过程与方法：

经历观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、推理论证等思维过程，提高相应的数学思维能力；

探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想.

(3)情感、态度与价值观：

通过观察生活常见数据例子，感受数学的科学价值与应用价值，提高学习数学的兴趣。

通过自主学习、小组合作探究，形成独立思考、讨论争辩、合作整理的良好学习模式与氛围.

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的认知过程，形成对后续函数性质的一般研究方法，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，树立辩证唯物主义世界观.

三、学生学情分析：

(1)学生已有基础：

认知基础：从学生知识最近发展区来看。他们在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言“y随x的增大而增大，y随x的增大而减小”来描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.能理解不等关系，理解a＞b可以等价转化为a－b＞0, a＜b可以等价转化为a－b ＜0.

非认知基础：通过小学、初中和高中阶段集合与函数概念的学习，学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力.具备相当的日常生活经验,能看懂曲线图.

(2)教学难点及难点突破：

难点1：能用不等关系对“随着”、“增大”、“减小”这种文字语言进行符号化.这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述. 抽象能力稍强的学生可以通过同时对比函数的列表和图象，用数形结合思想，自主消除差距.如果学生抽象能力稍弱，教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.

难点2：能理解“任意…都…”这个句式的具体含义：

第一，不能取特定值来判别函数的单调性；这里的差异是学生要理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，需要教师提起注意，本课设置了辨析题1解决这个问题；

第二，正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。这里的差异是学生要理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除，本课设置了辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.

第三、用“任意”的必要性，体现化无限为有限的思想.这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的必要性，由于是高度概括的文字语言，理解起来需要演绎推理的过程，这个差距是需要教师帮助消除的，本课通过下列问题串来解决：

“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值

生答：无数对

师问：无数对还是所有对

生答：所有对

师问：无数能代替所有吗

生答：不能

师问：什么可以代替

生答：可以用“任意”来代替”.

四、教学策略分析：

(1)教学材料分析；

学生在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.可以选择他们熟悉的一次函数、二次函数函数通过有效组织成为教学材料，在不经意中展示函数f(x)= +1引发不能靠图象直观判断，要靠解析式代值验证；再展示函数

1

y x

=+说明靠解析式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式快速判断单调性，x

这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效引发思考，十分自然地推动了知识发展；再以二次函数f(x)= x2承担主要探究材料，组织列表和图象对比材料，驱动学生由“形”转“数”，提炼符号语言描述；组织两道辨析题，问题驱动深挖定义的内涵；组织直观判断单调性的例1以及需要用定义判断证明的例2及练习，肯定了利用函数解析式探求函数单调性的方法.

(2)教学方法分析；

本课教学内容重点是函数单调性符号语言描述的抽象概括过程，是学生遇到的抽象程度极高的符号语言，所以结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段，选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法.

(3)设计“问题串”的分析：

依据的学生认知规律，从问题1至问题5以及两个思考，“问题串”的设计体现了从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的脉络，有利于形成对后续函数性质的一般研究方法. “问题串”的设计也体现了发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，不断激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心. 通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.

(4)缩小认知差距的分析：

通过设计探究、发现与合作交流．全程参与新知识的形成过程，及时获得评价与反馈。通过问题的合理设计激发兴趣，在师生互动、生生互动中，体验知识与方法的生成过程．形成学生主动参与，自主与合作探究的课堂气氛．为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助

(5)学习反馈的分析：

通过两道辨析题反馈对函数单调性定义中“任意”的理解；通过例1反馈对函数单调性相关概念的理解；通过例2的练习反馈利用函数单调性定义、作差法来判断、证明单调性的学习效果.通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获.

五、教学过程/步骤

(一) 感知数学引入新课

观察以上图象，它们都反映了事物的哪种变化规律

【活动】让全班观察，请若干学生发言

【设计意图】创设了生活中常见数据曲线图的例子情境，激发学生的学习兴趣.通过问题渗透函数是研究事物运动变化规律的好模型，通过两种语言的描述：“上升”“下降”和“f(x)随着x的增大而增大或减小”，完成对函数单调性概念的第一次认识．点出课题，同时获得判断单调性的直观方法----图象法.

(二) 激发冲突由形入数

问题1：观察下列函数的图象,描述函数有什么变化趋势

【活动】引导学生用文字语言描述：函数在哪个区间上， f（x）随着x的增大而增大或减小

【设计意图】从初中所学的两个熟悉的函数出发，要求用文字语言描述它们的单调性．加强定量分析的意识，完成对函数单调性概念的第二次认识．为第三个函数埋伏笔.在不经意中展示函数f(x)= +1，经过思考回答，得到不能靠图象直观判断，要靠解析式代值验证的结论；再展

示函数

1

y x

x

=+，说明靠解析式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式和不等

关系快速判断单调性的结论.

这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效构造知识矛盾冲突，激发思维运转，十分自然地推动了知识发展.学生强烈感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够实用和精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．必须由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，从函数解析式和不等关系寻找出路判断单调性.

(三) 表格过渡突破难点

问题2：如何利用函数f(x)= x2的解析式描述该函数“在区间(0, +∞)上, f(x)随着x增大而增大”.

思考在表中任取一些自变量的值，比较它们对应的函数值的大小，你能发现什么结论

【活动】先让学生观看表格生成的动画，体会f(x)随着x增大而增大，再用自己的语言总结归纳出“当x1＜x2时，有 f(x1)＜f(x2)”这个符号表述.

【设计意图】通过同时对比函数的列表和图象，借助“数”，“形”同时呈现形成的感受,让学生更容易概括.提示“增大是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.

【活动】教师自写结论“当x1＜x2＜x3时，有 f(x1)＜f(x2) ＜f(x3)”，让全班对比前面“当x1＜x2时，有 f(x1)＜f(x2)”的结论并点评哪个好，并问理由，通过“问题串” 引出“任意…都…”句式：

“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值

生答：无数对

师问：无数对还是所有对

生答：所有对

师问：无数能代替所有吗

生答：不能

师问：什么可以代替

生答：可以用“任意”来代替.”

【设计意图】突破本课难点之一：用“任意”的必要性.让学生初步理解单调性定义里的不等关系，突破了立足于大小比较的符号语言的生成这个难点之后，接着从表内联想到表外，认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x,x．突破了“任意…都…”这个句式的理解难点把对单调性的认识由感性上升到理性认识的12

高度,对增函数作初步理解．通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.

问题3：能仿照这样的描述，说明函数f(x)= x2在区间(－∞ , 0)上是减函数吗

【活动】全班思考后齐声回答

【设计意图】激发类比思维，渗透分类整合的思想，让学生体会完善知识结构过程.

(四)规范语言建构定义

问题4 如何用符号语言刻画函数 y=f(x)在定义域I内某个区间D上是增函数（或减函数）【活动】师生共同整理完善增函数的概念、学生阅读教材对比、再盖上课本用自己的话复述，教师指出大声小声都可以.

【设计意图】把二次函数推广到一般函数，并把讨论区间一般化，由特殊到一般，具体到抽象，生成规范准确的符号语言，完成对概念的第三次认识．引导学生阅读教材，书读百遍其义自见，用自己的语言对比，提高语言表达能力，加深印象，巩固学习效果.

问题5：能类比增函数的定义得到减函数的定义吗

【活动】全班类比得出减函数的定义,这次教师指出要求全部大声朗读减函数的定义.

【设计意图】类比增函数的定义得到减函数的定义，渗透类比、分类整合等数学思想. 形成由特殊到一般，由局部到整体等研究问题的一般方法.

思考利用函数解析式判断单调性时，f(x1)与 f(x2)的大小关系怎样比较

【设计意图】通过思考，认识函数单调性定义与不等式的关系，为证明函数单调性作铺垫.

(五)理性认识螺旋上升

例1回顾此图，根据图象写出函数的单调区间，并说说在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数

【活动】学案上写出单调区间，教师选个别成果展示，师生一起点评.

【设计意图】回顾引入的例子，体现数学的应用价值；用单调性的知识来作答，巩固新学的概念；加强函数单调性是个局部性质的意识和巩固图象观察法.

（概念辨析）辩一辩你认为下列说法是否正确，请说明理由.

辨析1：若定义在某区间上的函数f (x)满足 f(2) > f (1),则函数 f (x)在该区间上是增函数.

【活动】请同学举手回答，用预设动画验证想法

【设计意图】突破本课难点之一：不能取特定值来判别函数的单调性. 设计意图是要学生理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，因此设置了辨析题1提起注意.

辨析2：若函数在区间(1,3)和区间[3,5]上都是增函数，则在区间(1,5] 上也是增函数.（小组探究活动）

【活动】先独立思考一分钟，然后全班分成若干小组合作探究，判断对错，并作图说明理由，上台展示成果，全班讨论点评.

【设计意图】突破本课难点之一：正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。设计意图是要学生理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，需要设置辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.

(六)掌握证法适当延展

例2 物理学中的波利尔定律p＝k

V（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积

V减小，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

【活动】教师引导分析题意，师生一起完成证明过程，并引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、结论．

【设计意图】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是本课教学内容重点之一，是学生第一次接触用解析式和不等式关系的结合体-----作差法证明函数单调性的环节，由师生共同完成，有示范性作用，对后续学习形成良好示范.总结步骤，让学生由概念性知识转化到程序性知识，加深对函数单调性定义和发展函数单调性符号语言的理解.

练习试判断函数f(x)= +1在定义域上的单调性，并证明你的结论.

【活动】在学案上独自完成解答过程，教师选一些成果展示，全班点评.

【设计意图】回顾前面提出的知识矛盾冲突问题，完成了解决问题的目的，完善了提出---分析---解决问题的过程，给学生深刻的体会.

(七)归纳小结，提高认识

假如把我们这节课当成一次旅游，哪些景点给你印象最深从知识---方法---思想---感悟几个角度分别说说.

【活动】学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，并由几位学生发言总结．

【设计意图】，框架提示给出小结反思的方向，有利于学生形成小结的学习习惯.

(八) 作业

1.必做作业：

⑴教材第39页习题2-3 A组1，2题

⑵已知函数y=f(x)对于区间D上的任意x1,x2(x1≠x2),都有

()()

12

12

f x f x

x x

-

>

-

，问函数y=f(x)

在区间D上的单调性如何

2.探究作业：

研究函数

1

y x(x0)

x

=+>的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

【活动】课后继续完成探究

【设计意图】分层作业设置，弹性要求，让基础厚的学生勇于挑战，基础稍弱的学生也得到充分的思维锻炼.

(九)板书设计

路清晰，框架合理，又留有无限遐想。