人教版高一数学必修一《函数的概念》教学设计

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1.2.1 函数的概念（第一课时）
班级
姓名 时间 制作人：
课题
函数的概念
课 型
新 授 课
知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义.
能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽
学习目标
重 点
难 点
学法指导
象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化.
函数的概念、函数的三要素
函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解
⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。

⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。

一．知识链接：
1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？
一次函数，二次函数，反比例函数
2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？
在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量．
3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x
数吗？
（学生思考、小组讨论）
教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。

这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）
二、新课探究：
1.实例感受：
实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹
距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2．
思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？
（２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？
（实例一由师生共同完成）
事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，
1
. x
需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们分析有关臭氧层空洞的问题和恩格
尔系数的问题：
实例二（多媒体展示内容）
师：（实例 2）引导学生看图，并启发：在 t 的变化范围内，任给一个 t ，按照给定的图象， 都有唯一的一个臭氧空洞面积 S 与之相对应。

生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

实例三：（多媒体展示内容）
通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完
成.
2.提出问题：
问题一：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？
解析式，图像，表格（学生思考回答，老师补充）
问题二：以上三个实例有什么相同的特征？
学生活动：让学生分组讨论交流，总结归纳出：
共同特点：①都有两个非空数集 A, B ；
②两个数集之间都有一种确定的对应关系；
③对于数集 A 中的每一个 x ，按照某种对应关系 f ，在数集 B 中都有唯一确定的 y 值和它
对应.
问题三：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？
（先让学生说，老师再做补充）
引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的
依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数.
你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
3. 函数的定义：
设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 数 x ，在数集 B 中都有唯一确定的 f(x)和它对应，那么就称 f:A →B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数（function ）记作 y=f(x)．∈A ．自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain ）； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range ）．
问题四:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．
2
通过交流得出以下几点：
①A,B都是非空的数集；
②任意性与唯一性；
③确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格．
④值域C是集合B的子集
⑤不允许一对多，允许多对一
问题五:函数由几个要素?
三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可．
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。

在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。

如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

问题六：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？
学生思考、讨论，教师点拨：
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。

两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的
观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

三、典型例题：
例1（1）判断下列关系是函数吗?
射击的次数123
击中的环数899
变式：下列四个图象中，是函数图象的是（）.
学生回答，教师分析：关键抓住函数的概念
3
2
x (3) y = x
例 2. 下列函数中哪个与函数 y = x 相等？
(1) y =
( x
)
(2) y =
3 3 2
(4) y =
x 2
x
师问：判断函数相等的依据是什么？
变式：若改（2）为 y = 3 t 3 呢？
思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？
变式：.判断下列函数是否相等，并说明理由：
(1) 表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h = 130t - 5t 2 和二次函数 y = 130 x - 5x 2 ；
(2)
y = 1 和 y = x 0
例 3.已知函数 f (x) = x + 3 +
1 x + 2
.
(1)求函数的定义域；
2
(2)求 f (-3), f (- ) 的值；
3
(3)当 a > 0 时，求 f (a), f (a - 1) 的
让学生思考，并提问个别学生。

师问：怎样求函数的定义域？
追问： f ( x ) 与 f (a) 有何区别与联系？
点拨： f (a) 表示当自变量 x = a 时函数 f ( x ) 的值，是一个常量，而 f ( x ) 是自变量 x 的函 数，它是一个变量， f (a) 是 f ( x ) 的一个特殊值。

四、课后达标检测
1.函数 y = f ( x ) 表示（
）
A ． y 等于 f 与 x 的乘积 C ． y 是 x 的函数
B ． f ( x ) 一定是解析式
D ．对于不同的 x ， y 值也不同
2．集合 M = {x -2 ≤ x ≤ 2}， N = {y 0 ≤ y ≤ 2}，给出下列四个图形，其中能表示以 M 为定
义域， N 为值域的函数关系的是（
）.
y
2
y
2
y
2
y
2
-2 0
-2 0 2
-2 0
2
-2 0
x
x
x
A.
B.
C .
D.
2
x
4
y = x, y = 3 x 3
y =| x |, y = ( x ) 2
4. y 2 = 2 x , x ∈ x x ≥ 0} 是函数吗？
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（
）.
A. y = 1, y =
x
x
B. y = x -1 x +1, y = x 2
-1
C.
D.
{
5.求下列函数的定义域(1)
y = 4 - x 2 +
1
(2) f ( x ) = x 2 -1 + 1 - x 2
| x | -3
以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来
巩固本节课的学习。

五、小结
以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容
进行自主小结，教师及时进行归纳总结：
1．函数的近代定义与传统定义的异同点； 2．集合与函数的联系、区别； 3．函数的三要素； 4．数形结合的思想。

六、作业布置
学案第 11 页 A 组 选作 B 组
5。