控制工程基础第三章-2
合集下载
【基础】控制工程基础第三章参考答案供参考
【关键字】基础第三章习题及答案3-1.假设温度计可用传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。
发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?解：2.已知某系统的微分方程为，初始条件，试求：⑴系统的零输入响应yx(t)；⑵激励f (t)(t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)；⑶激励f (t) e3t (t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)。
解：(1) 算子方程为：3.已知某系统的微分方程为，当激励=时，系统的全响应。
试求零输入响应yx(t)与零状态响应yf (t)、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。
解：4. 设系统特征方程为：。
试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=6，a2=12，a1=10，a0=3均大于零，且有所以，此系统是稳定的。
5. 试确定下图所示系统的稳定性.解：系统稳定。
满足必要条件，故系统稳定。
6.已知单位反应系统的开环传递函数为，试求系统稳定时，参数和的取值关系。
解：由Routh表第一列系数大于0得，即7. 设单位反应系统的开环传递函数为，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。
解：系统特征方程为要使系统特征根实部小于，可以把原虚轴向左平移一个单位，令，即，代入原特征方程并整理得运用劳斯判据，最后得8. 设系统的闭环传递函数为，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn的值。
解：∵=9.6%∴ξ=0.6∵tp=＝0.2∴ωn=19.6rad/s9.设单位负反应系统的开环传递函数为求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn；（2）系统的峰值时间tp、超调量σ％、调整时间tS(△=0.02)；解：系统闭环传递函数与标准形式对比，可知 ， 故 ， 又10. 一阶系统结构图如下图所示。
控制工程基础第三章参考答案
控制工程基础第三章参考答案1. 请问什么是系统的时滞？系统的时滞是指系统输入与响应之间的时间延迟。
在许多实际的控制系统中，输出变量的改变并不立即反映在系统的输入上，而是有一定的延迟。
这种延迟就是系统的时滞。
2. 请简述控制系统的稳态误差。
控制系统的稳态误差是指在稳态下，输出与期望值之间的差别。
稳态误差可以分为零稳态误差和非零稳态误差。
零稳态误差是指当输入值为常数时，输出值与期望值之间的差别；非零稳态误差是指当输入值为非常数时，输出值与期望值之间的差别。
3. 请解释积分环节在控制系统中的作用。
积分环节在控制系统中的作用是消除稳态误差，尤其对于常量输入的情况。
当系统存在零稳态误差时，引入积分环节可以通过积累误差信号来逐渐减小误差，以达到稳定的目标。
积分环节还可以提高系统的灵敏度，增强系统的抗干扰能力。
4. 请简要说明先行环节的作用。
先行环节是在系统前面加入的一个环节，其作用是预先对输入信号进行处理，以改善系统的性能。
常见的先行环节包括微分环节和预估环节。
微分环节可以提高系统的动态响应速度，并减小系统超调量；预估环节可以通过估计未来的输入值来增强系统的鲁棒性。
5. 请解释滞后环节在控制系统中的作用。
滞后环节在控制系统中的作用是补偿相位滞后，改善系统的相位特性。
它可以有效提高系统的稳定性和抗干扰能力，减小系统的超调量和震荡现象。
滞后环节常用于降低系统的低频增益，使系统在低频段的响应更加平滑和稳定。
6. 什么是校正环节？请简要说明其作用。
校正环节是指在控制系统中用于校正输出与期望值之间差别的环节。
它通过调整系统的增益、相位和延迟等参数，使得系统的输出能够与期望值更加接近。
校正环节起到了提高系统性能、降低误差和稳定系统的作用。
7. 请解释反馈控制在控制系统中的作用。
反馈控制是一种常见的控制策略，它根据系统的输出信号与期望值之间的差别，调整系统的输入信号，以实现期望的控制目标。
反馈控制可以有效补偿系统的非线性特性、时滞和干扰等因素，提高系统的稳定性和鲁棒性。
【精品】机械工程控制基础3-2幻灯片
结束语
谢谢大家聆听！！！
16
位置信号，数控机床加工斜面时的进给指令等，均可看作斜坡 作用。
点击下图查看Flash动画
（四）单位加速度信号 点击下图查看Flash动画
（五）正弦信号
定义为：
r（t）＝ A sinωt
式中，A为振幅； ω为角频率。
用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时 的稳态响应，在频率法中广泛使用。
（一）脉冲信号 单位脉冲作用在现实中时不存在，它只有数学上的意义。
实际中冲击力、阵风等，都可视为脉冲作用。
点击下图查看Flash动画
（二）阶跃信号 在实际系统中，如指令的突然转变，电源的突然接通等，
均可视为阶跃作用。
点击下图查看Flash动画
（三）斜坡信号 在实际系统中，如大型船闸匀速升降时主拖动系统发出的
在分析控制系统时，究竟选用哪一种输入信号作 为系统的试验信号，这应视所研究系统的实际输பைடு நூலகம் 信号而定。
如果系统的输入信号是一个突变的量，则应取 阶跃信号为宜；
如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数， 则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况；
如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数， 则显然选择脉冲信号最为合适。
控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)
负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
习题解析控制工程
60°
45°
(3)
0
[s]
Re
2024/9/30
n=2s-1
20
Im
[s]
3.13
0
Re
0<<1
Im [s]
0
Re
-1<<0
2024/9/30
Im
[s]
0
Re
=1
Im [s]
0
Re
=-1
21
3.14
Gs
s2
9 s
9
s2
2
32 1
3s
32
6
n 31 /
0.167
s
M p 58.8%
t p 1.06s
xo t 10 t 0.1 0.1e10t
单位阶跃响应: (上式旳一阶导数)
xou t 10 1 e10t
单位脉冲响应：
(上式旳二阶导数或xou(t)旳一阶导数)
xoi t 100e10t
2024/9/30
8
系统旳闭环传递函数为：
3.8
GB
s
1
K 0G s K1Gs
15
3.11 内部局部闭环传递函数：
GB1s
s
2 n
2n
K
f n2
整个系统旳闭环传递函数：
GB
s
1
1 s
GB1s
1 s
GB1
s
s2
2 n
2 n
K
f
2 n
s
2 n
2024/9/30
16
GB s s2
n2
2 n
K
f
2 n
s
控制工程基础-第三章时间响应分析第一二节
2020年11月4日星期三2时17分22秒
9
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
2020年11月4日星期三2时17分22秒
2
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
2020年11月4日星期三2时17分22秒
7
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
控制工程基础课件第3章
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
50
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
51
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
52
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
53
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
54
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
55
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
56
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
57
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
71
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
72
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
73
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
74
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
75
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
76
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
77
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
78
3.6 稳态误差分析与计算
79
3.7 根轨迹法
80
3.7.1 根轨迹的基本概念
是指开环传递函数某一参 量由零变到无穷大时，闭 环极点在s平面上变化的 轨迹。
3.7 根轨迹法
81
3.7.2 幅值条件和相角条件
3.2 一阶系统时域分析
13
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
14
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
15
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标
3.2 一阶系统时域分析
16
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标 §3-2一阶系统的时间响应 §3-3二阶系统的时间响应 §3-4稳定性及其代数稳定判据 §3-5误差分析与计算
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
控制系统能实际应用的首要条件是系统 必须稳定，分析系统的稳定性是控制理论的 重要组成部分。
§3-5
劳斯阵列为： s2 s1 s0 a0 a1 a2 a2 0
从而，二阶系统稳定的充要条件为： a0>0，a1>0，a2>0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
三阶系统
D( s ) a0 s 3 a1 s 2 a2 s a3 0
－1、－2、± j
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
劳斯阵列表某一行全为零 劳斯阵列出现全零行表明系统在 s 平面有 对称分布的根，即存在大小相等符号相反 的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对 称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这 种大小相等，但在 s 平面位置径向相反的 根 。
自由响应收敛，系统稳定
2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面） n n si t si t s t A1i e A2 i e lim e lim t t i 1 i 1
k
自由响应发散，系统不稳定
College of mechanical & electronic engineering
n
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
2. 系统稳定的充要条件 特征方程： D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 Routh 表： 其中： an 2 an 4 an 6 s n an
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定
2. 系统有两个具有正实部的特征根
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
低阶系统的劳斯稳定判据 二阶系统
D( s ) a0 s 2 a1 s a2 0
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
s s3 s2 s1 s0
4
1 19 30 1 11 0 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 30 30 0 0
D( s ) s 3 6s 2 5s K 0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
由三阶系统的稳定条件，有：
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
College of mechanical & electronic engineering
s
n 1
a n 1
an 3 A2 B2 D2
an 5 A3 B3
an 7 A4 B4
s n 2 A1 s n 3 B1 s2 s1 s0 D1 E1 F1
n 1 2 an1an 2 an an 3 B1 1 n 3 A1 A1 a n 1 an1an 4 an an 5 B A1a n 5 a n 1 A3 A2 2 A1 a n 1 a n 1a n 6 a n a n 7 A a a n1 A4 A3 B3 1 n 7 a n 1 A1
§3-4 稳定性及其代数稳定判据 系统稳定条件 线性定常系统： ( o(t ) a0 xo(t ) xi(t ) xo (t ) a1 x
自由响应
强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
Aa
a
A
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
i 1
系统的初态引 起的自由响应 si:系统的特征根
输入引起的 自由响应
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
于[s]平面的左半平面）
n n si t si t lim A1i e A2 i e 0 t i 1 i 1
i 1
a n 1 n 1 a1 a0 s s s ( s s1 )(s s2 )( s sn ) an an an
n n i j i 1, j 2
n 2 n s s ) s ( 1 ) ij si i 1
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
劳斯阵列为： s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 0 (a1a2 a0a3 ) a1 s0 a3 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为： a3>0, a2>0, a1>0, a0>0, a1a2－a0a3>0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
n n si t si t lim A e A e 1i 2i t i 1 i 1
j t A e k
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定
稳定性定义 原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用 后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动 作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍 然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统 是稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。 稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。
College of mechanical & electronic engineering
稳定性及其代数稳定判据
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参 数），与输入无关 2. 稳定性是指自由响应的收敛性 定义：
系统在初始状态作用下
输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定
收敛（回复平衡位置） 发散（偏离越来越大）
系统不稳定
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
例3：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。
解：系统闭环特征方程为：
5Ts (5 T ) s (1 K ) s K 0
3 2
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
例如： D( s ) s 4 3s 3 3s 2 3s 2 0 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 (0) 2 3 3 2 0 2 0 劳斯阵列第一列上下 两项的符号相同，表明 系统有一对虚根。系统 临界稳定。 事实上，系统特征根 如下：
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
稳定程度
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原 始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持 等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。
a) 稳定
b) 临界稳定
c) 不稳定
College of mechanical & electronic engineering
§3-4 结论：
4) 若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e
sk t
Ak
n n si t si t lim A e A e 1i 2i t i 1 i 1
Ak
自由响应收敛于常值，系统稳定
College of mechanical & electronic engineering
稳定性及其代数稳定判据
c(t)
c(t)
c(t)
0
t
0
t
0
t
a)
b)
c)
图3-13 系统稳定性示意图
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
稳定性示例
A
A″
A a、稳定的摆
A
b、不稳定的摆
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
§3-1时间响应及系统性能指标 §3-2一阶系统的时间响应 §3-3二阶系统的时间响应 §3-4稳定性及其代数稳定判据 §3-5误差分析与计算
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
控制系统能实际应用的首要条件是系统 必须稳定，分析系统的稳定性是控制理论的 重要组成部分。
§3-5
劳斯阵列为： s2 s1 s0 a0 a1 a2 a2 0
从而，二阶系统稳定的充要条件为： a0>0，a1>0，a2>0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
三阶系统
D( s ) a0 s 3 a1 s 2 a2 s a3 0
－1、－2、± j
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
劳斯阵列表某一行全为零 劳斯阵列出现全零行表明系统在 s 平面有 对称分布的根，即存在大小相等符号相反 的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对 称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这 种大小相等，但在 s 平面位置径向相反的 根 。
自由响应收敛，系统稳定
2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面） n n si t si t s t A1i e A2 i e lim e lim t t i 1 i 1
k
自由响应发散，系统不稳定
College of mechanical & electronic engineering
n
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
2. 系统稳定的充要条件 特征方程： D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 Routh 表： 其中： an 2 an 4 an 6 s n an
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定
2. 系统有两个具有正实部的特征根
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
低阶系统的劳斯稳定判据 二阶系统
D( s ) a0 s 2 a1 s a2 0
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
s s3 s2 s1 s0
4
1 19 30 1 11 0 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 30 30 0 0
D( s ) s 3 6s 2 5s K 0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
由三阶系统的稳定条件，有：
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
College of mechanical & electronic engineering
s
n 1
a n 1
an 3 A2 B2 D2
an 5 A3 B3
an 7 A4 B4
s n 2 A1 s n 3 B1 s2 s1 s0 D1 E1 F1
n 1 2 an1an 2 an an 3 B1 1 n 3 A1 A1 a n 1 an1an 4 an an 5 B A1a n 5 a n 1 A3 A2 2 A1 a n 1 a n 1a n 6 a n a n 7 A a a n1 A4 A3 B3 1 n 7 a n 1 A1
§3-4 稳定性及其代数稳定判据 系统稳定条件 线性定常系统： ( o(t ) a0 xo(t ) xi(t ) xo (t ) a1 x
自由响应
强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
Aa
a
A
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
i 1
系统的初态引 起的自由响应 si:系统的特征根
输入引起的 自由响应
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
于[s]平面的左半平面）
n n si t si t lim A1i e A2 i e 0 t i 1 i 1
i 1
a n 1 n 1 a1 a0 s s s ( s s1 )(s s2 )( s sn ) an an an
n n i j i 1, j 2
n 2 n s s ) s ( 1 ) ij si i 1
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
劳斯阵列为： s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 0 (a1a2 a0a3 ) a1 s0 a3 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为： a3>0, a2>0, a1>0, a0>0, a1a2－a0a3>0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
n n si t si t lim A e A e 1i 2i t i 1 i 1
j t A e k
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定
稳定性定义 原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用 后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动 作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍 然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统 是稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。 稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。
College of mechanical & electronic engineering
稳定性及其代数稳定判据
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参 数），与输入无关 2. 稳定性是指自由响应的收敛性 定义：
系统在初始状态作用下
输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定
收敛（回复平衡位置） 发散（偏离越来越大）
系统不稳定
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
例3：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。
解：系统闭环特征方程为：
5Ts (5 T ) s (1 K ) s K 0
3 2
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
College of mechanical & electronic engineering
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
例如： D( s ) s 4 3s 3 3s 2 3s 2 0 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 (0) 2 3 3 2 0 2 0 劳斯阵列第一列上下 两项的符号相同，表明 系统有一对虚根。系统 临界稳定。 事实上，系统特征根 如下：
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
稳定程度
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原 始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持 等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。
a) 稳定
b) 临界稳定
c) 不稳定
College of mechanical & electronic engineering
§3-4 结论：
4) 若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e
sk t
Ak
n n si t si t lim A e A e 1i 2i t i 1 i 1
Ak
自由响应收敛于常值，系统稳定
College of mechanical & electronic engineering
稳定性及其代数稳定判据
c(t)
c(t)
c(t)
0
t
0
t
0
t
a)
b)
c)
图3-13 系统稳定性示意图
§3-4
稳定性及其代数稳定判据
稳定性示例
A
A″
A a、稳定的摆
A
b、不稳定的摆
College of mechanical & electronic engineering
§3-4