2隐函数与参量函数微分法
隐函数的求导和微分
隐函数的求导和微分隐函数是指一个函数的自变量和函数值之间的关系不能通过直接解出函数公式来表示，需要通过其他方式描述出来。
这种函数在实际运用中非常常见，例如在物理学和经济学等领域中，我们经常需要通过观测数据来进行分析，而这些数据往往就对应着一个或多个隐函数。
在对这些函数进行求导和微分时，我们需要使用隐函数的求导和微分方法。
一、隐函数的求导求导是指求出函数某一点处的导数，它是一个表示函数的变化率的数值。
在求隐函数的导数时，我们需要考虑隐函数的自变量无法直接表示出函数值与该自变量之间的关系。
因此，我们需要使用隐函数求导法。
隐函数求导法是一种通过对已知隐函数的所有变量进行微分和求导的方法，最终得到隐函数的导数。
这种方法的难点在于如何对多个未知变量进行微分和求导。
举个例子，假设有一个圆形，它的半径和面积之间的关系式为A=πr²，其中A为面积，r为半径。
现在我们需要求出圆形面积对半径的导数。
按照普通的求导方法，显然是行不通的，因为难以将面积与半径解出具体的表达式。
此时，我们需要采用隐函数求导法。
首先对圆形面积的表达式进行微分：dA=2πrdr然后对等式两边同时除以2πr，得到：(A/2πr) = r这时，我们可以对上述表达式求导，即可得到圆形面积对半径的导数：d(A/2πr)/dr = d(r)/drdA/dr = 2πr通过这种方法，我们成功地求出了圆形面积对半径的导数。
二、隐函数的微分微分是求一个函数在某一点上的变化量所对应的极限值的操作。
在隐函数的微分中，我们同样需要考虑到自变量无法直接表示出函数值与该自变量之间的关系。
隐函数微分主要有两种方法：一是牛顿-莱布尼茨公式，也称作微元法；二是全微分法。
牛顿-莱布尼茨公式是通过对应函数的导数来计算隐函数的微分。
我们将给定的隐函数写成一个方程：F(x,y)=0然后对上式两边同时求导：dF/dx(dx) + dF/dy(dy) = 0由于我们需要求的是隐函数的微分，所以可以将上式重写成：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这样，我们就可以使用隐函数的导数来直接计算隐函数的微分值。
隐函数与参量函数微分法(2)
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
容易漏掉
即 d 2 y (t)(t) (t)(t) .
dx 2
3(t )
7
例11:
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t )
在t
2
处的切线方程.
例12:设
x y
1 t , 证明dy x , d 2 y 2
的导数及其在x=0处的值,
即
dy , dx
dy dx
x0
例2: 设x4–xy +y4=1, 求 y 在点(0, 1)处的值.
1
例3:设arctan y ln x2 y2 ,求 dy , d 2 y .
x
dx dx2
再证反函数的求导法则
设x=(y)为直接函数, y=f (x)为其反函数, y=f (x)可
确定函数 y y(x), 求
12
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程(函数)两边取对数, 经适当运 算后, 按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用了复合函数的求导 法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导 法求解.
1 f ( x) [v( x) ln u( x) v( x)u( x)]
f (x)
u( x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t ) (t)
确定y与x间的函数关系,
隐函数微分法ppt课件
Fx e y，Fy xe y 1，得
dy dx
ey xe y
。 1
dy dx
x0
e
d2y dx2
d dx
e xe y
y
1
( xe
y
1)e y y e y (e y ( xe y 1)2
xe y
y)
e y ( y ( xe y
e y )， 1)2
d2y dx 2
x0
2e 2。
例 2 验证方程 x 2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个可导、且 x 0时 y 1的隐 函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2 x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y 2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个可导、且x 0 时 y 1的函数 y f (x)．
事实上，这个函数就是
y 1 x 2 ,(1 x 1)
11
2x 2z
dy 1 1 2x 2z x z
dx 2 y 2z
2 y 2z y z
2x 2z dy 1 1 2x 2z x z dx 2 y 2z 2 y 2z y z
2y 2x dz 1 1 2 y 2x x y dx 2 y 2z 2 y 2z y z
dy dx
Fz
dz dx
Fx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
Gx
当 Fy Gy
Fz Gz
0时 ，
dy
Fx Gx
Fz
Fy
Gy , dz Gy
第二章 隐函数与参量函数微分法
2
例如
t
x
2
x 2 y
消去参数
1 2 x
yt ( ) 2 4
2
x
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x (t ) 在方程 中, y (t )
设函数 x ( t )具有单调连续的反函数 y [ ( x )]
an x an an x an ]
y y[
例10
设 y x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
解
等式两边取对数得
上式两边对 x 求导得
1 y
x 1 y y (cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
多个函数相乘、乘方、 u( x )
v( x)
开方和幂指函数
的情形 .
例6
设 y
( x 1)3 x 1 ( x 4) e
2 x
, 求y .
解
等式两边取对数得
ln y ln( x 1 )
1 3
ln( x 1 ) 2 ln( x 4 ) x
上式两边对 x 求导得
两边对 x 求导得
1 y y 1 2 1 x [ 1 1 2 x 1 3 x 1 4 x ]
y
y
2 x 1
[
1
1 x2
1 x3
1 x3
]
同理 若 2 x 3
y y 2 x 1
y x
[
1
1 x2
隐函数与参数方程的微分
隐函数与参数方程的微分微积分是数学的一个重要分支，研究函数的变化与性质。
在微积分中，我们经常接触到的是显函数的微分，即以直接的数学表达式来描述函数关系。
然而，有时候我们遇到的函数并不能轻易用显函数的形式来表示，这就需要用到隐函数和参数方程来描述函数关系。
隐函数是一种用方程的形式来表示函数关系的方法。
当一个函数关系无法用单一变量的表达式来表示时，我们可以用多个变量之间的方程来隐含地表示这个函数关系。
在微积分中，我们经常使用隐函数的微分求导方法来研究函数的性质。
参数方程是一种用参数的形式来描述函数的方法。
当一个函数不能用单一变量的表达式来表示时，我们可以用参数来替代变量，将函数表示为参数的关系式。
在微积分中，我们可以通过对参数表示的函数求导来研究函数的变化和极值等性质。
接下来，我们将逐步介绍隐函数和参数方程的微分求导方法。
一、隐函数的微分设有方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。
要求解y关于x的微分，可以按照以下步骤进行：1. 对方程两边关于x求导，得到F’(x, y) + F’(y) * dy/dx = 0。
2. 将方程中的dy/dx项移到一边，得到dy/dx = -F’(x, y) / F’(y)。
通过以上推导，我们可以求出隐函数关于x的导数dy/dx，这样就可以研究隐函数的斜率、变化等性质。
二、参数方程的微分设有参数方程x = f(t)，y = g(t)，要求解y关于x的微分，可以按照以下步骤进行：1. 将参数方程中的y表示为x的函数形式，即y = g(f^(-1)(x))。
2. 对方程两边关于x求导，得到dy/dx = g’(f^(-1)(x)) / f’(x)。
通过以上推导，我们可以求出参数方程关于x的导数dy/dx，这样就可以研究参数方程的斜率、变化等性质。
综上所述，隐函数和参数方程是微积分中常用的描述函数关系的方法。
通过对隐函数和参数方程的微分求导，我们可以研究函数的性质和变化规律。
第四节 隐函数与参数方程
dy 例1 求 e + xy − e = 0 所确定隐函数 y的导数 dx 解 方程两边分别对 求导数 得 方程两边分别对x求导数 求导数, 注意y是 的函数 注意 是x的函数
y
ey
dy dy + y+x =0 dx dx
dy y ∴ =− dx x + ey
( x + e y ≠ 0)
例2 求由方程 e x + 2 y = xy + 1确定的隐函数的导数 及 y ′ ( 0 , 0 ) . 解 方程两边对 x 求导数： e x + 2 y (1 + 2 y ′ ) = y + xy ′ 求导数：
dy 3 | x=2 = − dx 4
得所求切线的斜率为 k = 于是, 于是 所求切线方程为 y −
3 3 3 = − ( x − 2) 2 4
即
3x + 4 y − 8 3 = 0
1 d2y 例6 求由 x − y + sin y = 0所确定隐函数 y 的二阶导数 2 2 dx
dy 1 dy 解 所给方程两边对 求导，得 1 − + cos y ⋅ = 0. 所给方程两边对x求导 求导， dx 2 dx
xx
解 原式两边取对数：ln y = x x ln x 原式两边取对数： 上式两边再取对数： 上式两边再取对数： ln ln y = x ln x + ln ln x
1 1 1 1 y′ = ln x + 1 + ⋅ 对上式两边求导数： 对上式两边求导数： ln y y ln x x
y′ = x
y′ = x
dy v2 所以，在抛射体刚射出时， 所以，在抛射体刚射出时， tanα |t =0 = = ; dx t =0 v1
多元函数微分法及其应用第三节多元函数微分法
设函数 的单值连续函数
导数；
则方程组
且有偏导数公式 :
的某一邻域内可唯一确定一组 满足条件
u1(F,G)
u 1(F,G)y J(y,v)
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
Gv
Gu Gv
x
J(x,v) x J(u,x) 1 Fu Fu Fv Gu Gu Gv
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
y2 x3
f
z y
x1 x
f f
2z y2
1 x
f
x2
2z x2
y2
2z y2
y2 x
f
y2 x
f
0
2 全微分形式不变性
设函数 zf(u,v)具有连续偏导数， 如果 u,v 是自
变量， 则有全微分
dzzduzdv u v
当 u(x,y)、 v(x,y)时， 由于
dzxzdxyzdyu zu xvzxvdx
yexy 2 z ez z 0
x
x
z x
y e xy ez 2
xexy 2 z y
ez
z y
0
z x e xy y e z 2
dz(eyz ex2y)dx(exz ex2y)dy
xe
ye xy ez 2
,
e 2 . dz(eyzex2y)dx(exzex2y)dy
第三节 多元函数微分法
一 复合函数微分法 二 隐函数微分法
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一 复合函数微分法
1 链式法则
定理 如果函数 u(t) 及 v(t)都在点 t
可导， 函数 zf(u,v)在对应点 (u,v) 具有连续偏
高等数学：隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法一、基本内容 1. 隐函数的微分法：方法一：利用微分法则和微分形式不变性。
方法二：假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式0))(,(≡x y x F然后利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dxdy 即可。
2. 对数微分法：先在函数两边取自然对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数。
3. 由参数方程所确定的函数的微分法：先分别求出dx 和dy ，由“微商”的概念，可得dx dy y ='，若求二阶导数，再计算y d '，而dxy d y '=''。
二、学习要求1. 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；2. 掌握对数微分法。
三、基本题型及解题方法 题型1 求隐函数的导数解题方法：导数又称“微商”，所以可以通过dx dy y ='，dxy d y '=''求导数，即通过微分来求导数。
【例1】求由方程yxe y -=1 所确定的隐函数y 的导数。
解： 方程两边同时微分，得 )(yxe d dy -=)(dx e dy xe dy yy+-=即 dx e dy xe yy-=+)1(当01≠+yxe 时， yyxe e dx dy +-=1。
【例2】设方程144=+-y xy x 确定了隐函数)(x y y =，求y ''在点)1,0(处的值。
解： 方程两边微分，得 04433=+--dy y ydx xdy dx x即 )4(3x y -dx x y dy )4(3-=当)4(3x y -0≠时，xy x y dx dy y --=='3344， 41)1,0(='y ， 又 ='y d 23323233)4()488()488(x y dxy y x x dy y x y x -+-++--='=''dx y d y 23323233)4()488()488(x y y y x x y y x y x -+-+'+-- 将 41,1,0)1,0(='==y y x 代入上式，得 161)1,0(-=''y 。
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dt 2 1 t
d2y dx2
d (dy) dx dx
d (x) dx y
y
xy y2
y x y
y 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该
曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
r e上点
(e
2
,
)
处的切线的直角坐标方程
2
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
a x 0 a y 0 a (x 0 y 0 )a
二、对数求导法
有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例15 河水8以 米3/秒的体流量流入 , 水 水库 库中
形状是长 40为 0米 0, 顶角1为200的水,槽 问水深 20米时 , 水面每小时上?升几米
解
设时刻 t 水深h为 (t), 水库内水V量(t)为 ,则
60 0
V(t)4003h02 上式两边 t求对导得ddVt80030hddht
求导运算。
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘、 开乘 方方 和、 幂指函数
u(x)v(x)的情.形
例6
设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
容易漏掉
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例11 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost
在t0时刻炮弹的速度为
v vx2 v2y v 0 2 2 v 0 g 0 sti n g 2 t0 2
四、相关变化率
设x x(t)及y y(t)都是可导函,数而变量x与 y之间存在某种关, 从 系而它们的变化d率x与
dt dy之间也存在一定关, 这系样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化 . 率
y[1(x)] ——参量函数
再x 设 ( t)y , 函 ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 , 导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
解 方程两x边 求对 导得
11x y2x y
1 ( x2y2
x2y2)
x 2 x 2y 2y x x 2yx 2 1 y 22 2 x x 2 2 y y y 2
y x y x y y
dy x y dx x y
d2y dx2
d dx
x x
y y
(1y)x ( (y x ) y ()x 2y)1 (y)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
k
dy dx
xx0
y0 x0
切线方程为 yy0 xy00(xx0)
x 0 y y 0 x x 0 y 0 y 0 x 0
x 0 y y 0 x x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y 0 (x 0y 0 ) a x0 y0
x y 1 a x0 a y0
故在两坐标轴上的截距之和为
例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0. 解 方程两边x对 求导 ,
yxdy exeydy 0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
例2 设曲C线 的方程x3为 y3 3xy,求过 C上
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在 线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边x求 对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
y (3,3) 22
yx2
y2 x
1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30.
2
2
法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22
两边对 x 求导得
1y1 [ 1 1 1 1] y 21x2x3x4x
y y [1111] 2x 1x 2x 3x 3
同理 若2x3 y y [1111]
2x 1x 2x 3x 3 例8 设xy yx求dy
dx 解 两边取对数得
yln xxln y 两边对 x 求导得
yln xy1lnyx1y
dV288米 03/0小,时当 h2米 0 ,时 dt
dh0.10米 4 /小时 dt
水面上升之速率
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.
例3 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
1ya 1 a2 an
y xa 1 xa2
xan
yy[ a 1 a2 an ]
xa 1 xa2
xan
例10 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
补证反函数的求导法则
设 x(y)为直接 yf(x 函 )为数 其， 反函
yf(x)可视为x 由 (y)方 0确 程定的一
隐函数 由隐函数的微分法则
方x程 (y)两边 x求 对 导得
1(y) dy
dx
dy 1
dx (y)
例4 设 arc x y tla nx 2 n y2,求 d d,x y d d 2y 2x
x r()cos y r()sin
dy
dy dx
d dx
rr(())scions rr(())csions
d
当re 时
d d x ye e ((s cio nc ssio n ))ss cio n sc sio ns
当 时
2
切线斜率为
k
dy dx
2
1
而re上(点 e2,)所对应的直(0,角 e2)坐标
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
例7 求y (x1)(x2)的导数 (x3)(x4)
解 这函数的定义域
x 4 ,2 x 3 ,x 1
若x4 两边取对数得 ly n 1 [l x n 1 ) l( x n 2 ) ( lx n 3 ) ( lx n 4 )(]
x
y
yxxyyllnnxyxy22
例9 解
设 y (x a 1 )a 1 (x a 2 )a 2 (x a n )a n 求 d dx y 两边取对数得
l y a n 1 l x a n 1 ) a 2 l x a ( n 2 ) a n l ( x a n n )
两边对 x 求导得
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa( 1)
即yxa(22)
2
例12
设 x1 t y1 t
证 d d 明 x y x y,d d 2y 2x y 2 3
证
dy
1
dy dx
dt dx
2
1 t 1
1t x 1t y
2xy 2y (x y)2
2x(x(yx)yy)(3xy)
2( (
x2 y2 x y)3
)
例5 求证抛物线 x y a 上任一点的切线
在两坐标轴上的截距之和等于a
证 方x 程 ya两边 x求对 导得