海明码原理(精)
海明码
海明码海明码是由R.HmIMI1ing在1950年首次提出的,它是一种可以纠正一位差错的编码。
可以借用简单奇偶校验码的生成原理来说明海明码的构造方法。
若k(=n-1)位信息位an-1an-2…a1加上一位偶校验位a0,构成一个n位的码字an-1an-2...a1a0,则在接收端校验时,可按关系式S=an-1+an-2+…+a1+a0来计算。
若求得S=0,则表示元错;若S=1,则有错。
上式可称为监督关系式,S称为校.正因子。
.在奇偶校验情况下,只有一个监督关系式和一个校正因子,其取值只有0或1两种情.况,分别代表元错和有错两种结果,还不能指出差错所在的位置。
不难设想,若增加冗余位,也即相应地增加了监督关系式和校正因子,就能区分更多的情况。
如果有两个校正因子.S1和S0,则S1S0取值就有00、01、10或11四种可能的组合,也即能区分四种不同的情况。
若其中一种取值用于表示无错(如00),则另外三种(01、10及11)便可以用来指出.不同情况的差错,从而可以进一步区分出是哪一位错。
设信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字。
若希望用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分元错和在码字中的n个不同位置的一位错,则要求满足以下关系式:2r>=n+1 或 2r>=k+r+1以k=4为例来说明,则要满足上述不等式,必须r>=3。
假设取r=3,则n=k+r=7,即在4位信息位a6a5a4a3后面加上3位冗余位a2a1a0,构成7位码字a6a5a4a3a2a1a0,其中a2、a1和a0分别由4位信息位中某几位半加得到,在校验时,a2、a1和a0就分别和这些位半.加构成三个不同的监督关系式。
在无错时,这三个关系式的值S2、S1和S0全为"0"。
若a2错,则S2=1,而S1=S0=0;若a1错,则S1=1,而S2=S0=0;若a0错,则s0=1,而S2=S1=0。
海明码纠错原理
海明码纠错原理海明码（Hamming Code）是一种用于检错和纠错的编码方式，由理查德·海明在1950年提出。
它可以发现并纠正单一位错误，也可以检测并纠正双位错误。
海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，下面我们来详细了解一下海明码的纠错原理。
首先，海明码是一种线性分组码，它的编码方式是将数据位和校验位按照一定规则排列组合而成。
在传输数据时，发送端会对数据进行编码，添加校验位后发送出去；接收端收到数据后，会对接收到的数据进行解码，并根据校验位进行错误的检测和纠正。
其次，海明码的纠错原理是基于奇偶校验的。
在海明码中，校验位的位置是通过2的幂次方来确定的，例如第1、2、4、8、16位是校验位，其余位是数据位。
对于校验位而言，每一个校验位都负责一定范围内的数据位的奇偶校验。
当接收端接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，如果发现某个校验位的奇偶校验与接收到的数据不一致，就会根据校验位的位置确定出错的位置，并进行纠正。
最后，海明码的纠错原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设发送端要发送一个4位的数据1010，按照海明码的规则，需要添加3个校验位。
经过编码后，发送的数据变为1010101。
在传输过程中，如果某一位发生了错误，例如1010101中的第4位发生了错误，接收端在接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，发现第2位和第4位的奇偶校验不一致，根据校验位的位置，可以确定出错的位置是第4位，然后进行纠正，将错误的位从0变为1。
最终，接收端得到的数据是1010，错误被成功纠正。
综上所述，海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，通过对校验位的奇偶校验来检测错误，并根据校验位的位置进行错误的定位和纠正。
海明码在通信领域有着广泛的应用，能够有效地提高数据传输的可靠性和稳定性，是一种非常实用的纠错编码方式。
海明码，汉明码，hamming
海明码，汉明码，hamming code--计算法则最近最海明码很感兴趣，查了些资料，有⼀篇资料极好，所以贴出来，希望供有需求的⼈能有个参考。
1 海明码原理概述 海明码是R. Hamming提出的, ⼀种可以纠正⼀位错的差错控制编码。
了解海明码之前, 先回顾⼀下简单的奇偶校验码的情况。
若信息位为K=n- 1位, 表⽰为a1～an- 1, 加上⼀位偶校验位(冗余位)a0, 构成⼀个n位的码字a0～an- 1, 在接收端校验时, 可按关系式: s=a0+a1+a2+…an- 1来计算, 若S=0, 则⽆错, 若S=1, 则有错。
上式可称为监督关系式, S称为校正因⼦。
在奇偶校验情况下, 只有⼀个监督关系式和⼀个校正因⼦, 其取值只有两种(0或1),分别代表了⽆错和有错的情况, ⽽不能指出差错所在的位置。
不难想象, 若增加冗余位, 也相应地增加监督关系式和校正因⼦, 就能区分更多的情况。
如, 若有两个校正因⼦, 则其取值就有4种可能: 00、01、10或11, 就能区分4种不同情况。
若其中⼀种表⽰⽆错, 另外三种不但可以⽤来指出有错, 还可以⽤来区分错误的情况, 如指出是哪⼀位错等。
⼀般⽽⾔, 信息位为K位, 增加r位冗余位, 构成n=k+ r位码字。
若希望⽤r个监督关系式产⽣的r个校正因⼦来区分⽆错和在码字中的n个不同位置的⼀位错, 则表⽰:或。
2 构造海明码的冗余位和监督关系式的⽅法 按上述设计思路, 为了叙述清楚, 下⾯以信息位K=7来讨论海明码的冗余位和监督关系式的具体构造过程和⽅法。
因为且k=7, 所以≥4, 即⾄少需要4位冗余位(对应产⽣4个校正因⼦和4个监督关系式), 形成24=16种不同取值, ⽤其中11种分别表⽰⽆错和a0～a10中⼀位错的情况。
构造表如表1: 冗余码如下: a0=a8+a9+a10 (1) a1=a5+a6+a7 (2) a2=a4+a6+a7+a9 (3) a3=a4+a5+a7+a8+a10 (4) 监督关系式如下: s0=a0+a8+a9+a10 (5) s1=a1+a5+a6+a7 (6) s2=a2+a4+a6+a7+a9 (7) s3=a3+a4+a5+a7+a8 (8)3 构造校正因⼦和监督关系式时应遵循的原则 上表1中, 构造4个校正因⼦和4个监督关系式的过程中, 为了体现前⾯所述设计思想,应遵循如下原则: 图1中共有11列, 每⼀列应保证各不相同, 即s0 s1 s2 s3 的16种组合中, 取“0000”组合表⽰⽆错, 剩下15种中取其中11种⽤来表⽰a0～a10中某⼀位出错的情况, 所以,下表2有错, 因为a5 和a7 两列均为“0111”。
海明编码报告--代应浪
海明编码实验报告学科专业：测控技术与仪器姓名：代应浪学号：U201113487指导教师：葛俊峰、胡若澜华中科技大学自动化学院二零一四年五月一．海明编码原理海明码是一种可以纠正一位差错发现两位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：２r>=n+1 或 2r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中 k为信息位位数r为增加冗余位位数2.海明码的生成与接收a.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次方的位置上；b.海明码的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验码的位置码是所有校验这位的校验位位置码之和。
二．海明编码方法1）海明码的生成（顺序生成法）。
例.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)求：海明码码字。
解：1)把冗余码p1、p2、p3、…，顺序插入信息码中，得海明码码字:" p1 p2 1 p3 1 0 0 p4 1 1 0 0 "码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12其中p1,p2,p3,p4分别插于2k位(k=0,1,2,3)。
码位分别为1,2,4,8。
2)冗余码p1,p2,p3,p4的矩阵变换：(相当于监督关系式)3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：P1=∑(0,1,1,0,1,0)=1P2=∑(0,1,0,0,1,0)=0P3=∑(0,1,0,0,0)=1P4=∑(0,1,1,0,0)=04)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"2)海明码的接收。
例.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)求：发送端的信息码。
纠错编码-海明码
纠错编码-海明码⼀.海明码海明码只能发现双⽐特错误，纠正单⽐特错误⼆.⼯作原理“动⼀发⽽牵全⾝”，因为海明码是⼀个多重校验码，也就是码字中的信息码位同时被多个校验码进⾏校验三.⼯作流程1.确定校验码位数海明不等式2^r>=k+r+1,r为冗余信息位，k为信息位eg:要发送的数据为D=101101则数据的位数k=6满⾜的不等式最⼩r为4也就是D=101101的海明码应该有6+4=10位，其中原始数据6位，校验码4位2.确定校验码和数据的位置还是上⾯的那个例⼦D=101101，假设这4位校验码分别为P1，P2,P3,P4,数据从左往右为D1,D2...D6校验码必须是在2n次⽅位置，如第1、2、4、8、16、32,...位（对应2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5……，是从最左边的位数起的），这样⼀来就知道了信息码的分布位置，也就是⾮2n次⽅位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，...位（是从最左边的位数起的）即数据位12345678910代码P1P2D1P3D2D3D4P4D5D6实际值1011013.求出校验码的值D=101101⼆进制0001001000110100010101100111100010011010数据位12345678910代码P1P2D1P3D2D3D4P4D5D6实际值0010011101可以看出P1对应的⼆进制第⼀位为1（看⼆进制是⼏位的话就看最后⼀个数据位是⼏位⼆进制格式）可以发现D1，D2，D4，D5对应的⼆进制第⼀位也是1，则P1代码校验的数据为D1,D2,D4,D5令所有要校验的位异或=0（即同0异1）1 0 1 0p1（第1个校验位，也是整个码字的第1位）的校验规则是：从当前位数起，校验1位，然后跳过1位，再校验1位，再跳过1位，....。
这样就可得出p1校验码位可以校验的码字位包括：第1位（p2（第2个校验位，也是整个码字的第2位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验2位，然后跳过2位，再连续校验2位，再跳过2位，……。
八、海明码
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
例：海明码中信息位为7位，接收端 收到的码字为11110111011，请问此 码字是否出错，并求发送端发送的信息 位。
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
解：因为k=7，n=11，所以r=4 信息位与冗余位的位置如下： I7 I6 I5 11 10 9 1 1 1 1
计算机网络 八 海明码
海明码的构造及校验方法
将各位代入以上各式可得： s=s3s2s1s0=0100 因此该码字出错，错误的位置在第4 位。即r2错，于是得到正确的码字为： 11110110011 发送端发送的信息位为:1110110
计算机网络 八 海明码
课程小结
本节主要内容：
1、海明码的特点
2、海明码的原理
计算机网络 八
r3 I4 I3 I2 r2 I1 r1 r0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1
海明码
0 1 1
海明码的构造及校验方法
从而得校正因子如下：
s3=r3+I7+I6+I5
s2=r2+I4+I3+I2 s1=r1+I7+I6+I4+I3+I1 s0=r0+I7+I5+I4+I2+I1
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
于是，接收端使用以下关系式对这三个 偶校验关系进行验证：
s2=r2+I4+I3+I2 s1=r1+I4+I3+I1 s0=r0+I4+I2+I1 其中s2，s1，s0称为校正因子。
海明码详解
海明码详解①海明校验的基本思想将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。
实质上，海明校验是一种多重校验。
②海明校验的特点它不仅具有检测错误的能力，同时还具有给出错误所在准确位置的能力。
一．校验位的位数校验位的位数与有效信息的长度有关设:N--为校验码的位数 K--是有效信息位 r--校验位（分成r组作奇偶校验，能产生r位检错信息）海明码应满足 N=K＋r≤2r－1 若r=3 则N=K＋r≤7 所以K≤4二．分组原则`在海明码中，位号数（1、2、3、……、n）为2的权值的那些位，即：1(20)、2(21)、 4(22)、8(23)、…2r-1位，作为奇偶校验位并记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。
例如： N=11 K=7 r=4 相应海明码可示意为位号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11P占位P1 P2 × P3 × × × P4 × × ×其中×均为有效信息，海明码中的每一位分别被P1P2P3P4… Pr 中的一至若干位所校验，其规律是：第i位由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验如：海明码的位号为3，它被P1P2（位号分别为1,2）所校验海明码的位号为5，它被P1P3（位号分别为 1,4）所校验归并起来: 形成了4个小组，每个小组一个校验位，校验位的取值，仍采用奇偶校验方式确定。
如表2·6 、表2·7所示：三．编码、查错、纠错原理以4位有效信息(b1、b2、b3、b4)和3位校验位(P1、P2、P3)为例: K=4 r=3 海明序号 1 2 3 4 5 6 7海明码 P1 P2 b1 P3 b2 b3 b4根据表2-8可以看到（1）每个小组只有一位校验位，第一组是P1、第二组是P2、第三组是P3。
海明码校验和纠错原理详细
海明码校验和纠错原理详细海明纠错码当计算机存储或移动数据时，可能会产⽣数据位错误，这时可以利⽤汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是⼀个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。
海明码（Hamming Code）是⼀个可以有多个校验位，具有检测并纠正⼀位错误的纠错码，所以它也仅⽤于通信特性较好的环境中，如以太局域⽹中，因为如果通道特性不好的情况下，出现的错通常也不是⼀位。
海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若⼲组，每组安排⼀个校验位进⾏奇偶性测试，然后产⽣多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反来将其纠正。
要采⽤海明码纠错，需要按以下⼏个步骤。
1计算校验位数2 确定校验码位置3 确定校验码4 实现校验和纠错1. 计算校验位数它是这样的规定的：假设⽤N表⽰添加了校验码位后整个信息的⼆进制位数，⽤K代表其中有效信息位数，r表⽰添加的校验码位，它们之间的关系应满⾜：N=K＋r≤2r－1。
如K=5，则要求2r-r≥5+1=6，根据计算可以得知r的最⼩值为4，也就是要校验5位信息码，则要插⼊4位校验码。
如果信息码是8位，则要求2r-r≥8+1=9，根据计算可以得知r的最⼩值也为4。
根据经验总结，得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所⽰。
2．确定校验码位置上⼀步我们确定了对应信息中要插⼊的校验码位数，但这还不够，因为这些校验码不是直接附加在信息码的前⾯、后⾯或中间的，⽽是分开插⼊到不同的位置。
但不⽤担⼼，校验码的位置很容易确定的，那就是校验码必须是在2n次⽅位置，如第1、2、4、8、16、32，……位（对应20、21、22、23、24、25，……，是从最左边的位数起的），这样⼀来就知道了信息码的分布位置，也就是⾮2n次⽅位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，……位（是从最左边的位数起的）。
举⼀个例⼦，假设现有⼀个8位信息码，即b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7、b8，由表5-1得知，它需要插⼊4位校验码，即p1、p2、p3、p4，也就是整个经过编码后的数据码（称之为“码字”）共有12位。
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海明码原理一- - 海明码是一位纠错码，即如果数据在传输过程中有一位出错，则可以知道出错的位数并通过取反将其改正过来。
海明码的基本意思是给传输的数据增加r个校验位，从而增加两个合法消息（合法码字）的不同位的个数（海明距离）。
假设要传得信息有m位，则经海明编码的码字就有n=m+r位。
怎样安排才能达到我们的目的呢？在解释之前我们先看一道微软的面试题。
面试题：把1K个苹果分到10个篮子里（当然苹果分到篮子里后就不能再动了，只能分一次）。
要求：用这10个篮子能够组成1-1000任意一个数字。
这是个考察二进制思想的题目，让每个篮子里的苹果数等于二进制位的权重就可以了，即分别放1，2，4，8，……各苹果。
换到海明码里也是这样，为了让r个校验码（r个篮子）表示n个信息位（n个苹果），且无论哪一位错误都能表示出来（能够组成任意一个数字），先将码字的位从左到右标号，分别为1，2，3，……。
显然要将校验位安排在第1，2，4，8，……编号上，数据放在其他的编号上。
为了能够将n 位信息全部表示出来还应该有2r-1>=n。
每个数据位影响几个校验位，譬如编号11 对应的数据影响编号1、2、8对应的校验位,因为11=1+2+8。
为了更清楚理解上面的意思，让我们来看一个例子：将1001000编码成海明码。
因为编号1、2、4、8处是校验位，所以3、5、6、7、9、10、11处是数据位，将要传输的数据与编号对应如下： 3 5 6 7 9 10 11 1 0 0 1 0 0 0 数据位影响的校验位如下：编号3处的数据位影响编号1、2处的校验位，编号7处的数据位影响编号1、2、4处的校验位，经偶校验的校验位1、2的值为0，校验位4的值为1，其他校验位均为0。
所以对应的海明码为：00110010000。
接受方通过检验校验位来计算出错的位，如果校验位i的奇偶性不正确，则将计数器的值加i，如果所有的校验位都检查完了，且计数器为0，则检查成功，否则计数器的值就是出错的位所对应的编号，并将该位取反。
PS：其实接受方可以不用检查校验位是否有正确的奇偶性，而是看它是否为1，若是则计数器加i，检查完所有的校验位，将计数器的值对应的信息位取反。
海明码的原理详解 1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位
置的一位错。
它必需满足以下关系式：２r>=n+1 或 2r>=k+r+1 海明码的编码效率为： R=k/(k+r 式中 k为信息位位数 r为增加冗余位位数 2.海明码的生成与接收方法一： 1海明码的生成。
例1.已知：信息码为："0010"。
海明码的监督关系式为： S2=a2+a4+a5+a6 S1=a1+a3+a5+a6 S0=a0+a3+a4+a6 求：海明码码字。
解：1由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
2冗余码与信息码合成的海明码是：
"0010a2a1a0"。
设S2=S1=S0=0,由监督关系式得： a2=a4+a5+a6=1 a1=a3+a5+a6=0 a0=a3+a4+a6=1 因此，海明码码字为："0010101" 2海明码的接收。
例2.已知：海明码的监督关系式为： S2=a2+a4+a5+a6 S1=a1+a3+a5+a6 S0=a0+a3+a4+a6 接收码字为："0011101"(n=7 求：发送端的信息码。
解：1由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
2由监督关系式可构造出下面错码位置关系表： S2S1S0 000 001 010 100 011 101 110 111 错码位置无错 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 3由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
4纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1" 5把冗余码
a2a1a0删除得发送端的信息码："0010" 方法二：(不用查表，方便编程 1海明码的生成（顺序生成法）。
例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8 求：海明码码字。
解：1把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 " 码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其中A,B,C,D分别插于2k位
(k=0,1,2,3。
码位分别为1,2,4,8。
2冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式 A->1,3,5,7,9,11； B->2,3,6,7,10,11； C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；
7=4+2+1；12=8+4 D->8,9,10,11,12。
3把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0：A=∑(0,1,1,0,1,0=1 B=∑(0,1,0,0,1,0=0 C=∑(0,1,0,0,0 =1
D=∑(0,1,1,0,0 =0 4海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0" 2海明码的接收。
例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8 求：发送端的信息码。
解：1设错误累加器(err初值=0 2求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：
A=∑(1,0,1,0,1,0=1 err=err+20=1 B=∑(0,0,0,0,1,0=1 err=err+21=3 C=∑(1,1,0,0,0 =0
err=err+0 =3 D=∑(0,1,1,0,0 =0 err=err+0 =3 由err≠0可知接收码字有错， 3码字的错误位置就是错误累加器(err的值3。
4纠错--对码字的第3位值取反得正确码字："1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0" 5把位于2k位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"。