完全平方公式变形公式专题
完全平方公式变式练习专题
2
－(a−b) 2 =4ab
1 − 2+b2=3,a-b=2，则 ab的值是——————。 已知： =3,a-b=2， ab的值是 的值是——————。 （1）.已知： a 2 2 已知：（ ：（a+b） (a- =6， ab=——————。 （2）.已知：（a+b）2=14 (a-b) 2=6，则ab=——————。 10 已知：（ ：（a+b =14,(a- =6， ————。 （3）. 已知：（a+b 2 =14,(a-b) 2=6，则a2+b2=————。
解： (3)
(3-2m)2(3+2m) 2
=［(3-2m)(3+2m)］2 ［ ］ =(9-4m2) 2=81-72m2 +16m4 （4） （x+y）(x-y)(x2+y2)-(X4+y4) ） =（x2-y2） (x2+y2)-(X4+y4) （ =(x4-y4) -(X4+y4) =x4-y4 –X4-y4 =-2y4
练习册第十页：二题的 小题 与此相应的练习是练习册14页五解答题的第 小题) 小题(与此相应的练习是练习册 页五解答题的第3小题 练习册第十页：二题的2小题 与此相应的练习是练习册 页五解答题的第 小题
（x3+mx+n）(x2-3x+4) =x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n =x5-3x4+(4+m)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n
相信自己， 相信自己，能完成下列各题 一、填空： 填空： （1） 已知，X+y=4, ） 已知， x2-y2=8, 则 x-y=_____
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛，下面结合例题，介绍完全平方公式的变形“公式”及其应用。
一、变式1：2a ＋2b ＝()2a b +－2ab这样因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b +－2ab 。
例1 已知x ＋y ＝5，xy ＝2，求下列各式的值：（1）2x ＋2y ；（2）4x ＋4y . 解 由变式1，得（1）2x ＋2y ＝()2x y +－2xy ＝25－2×2＝21.（2）4x ＋4y ＝()222x y +－222x y ＝221－2×4＝433. 二、变式2：2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab 。
例2 已知a －1a ＝5，求2a ＋21a的值。
解 由变式2，得2a ＋21a ＝21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝25＋2＝27. 三、变式3：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ 这是因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，得2ab ＝()2a b +－（2a ＋2b ），两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦。
例3 已知a ＋b ＝7，2a ＋2b ＝29，求ab 的值。
解 由变式3，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦＝12[27－29]＝10. 四、变式4：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项得2ab ＝（2a ＋2b ）－()2a b -，两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦。
例4 已知a －b ＝3，2a ＋2b ＝5，求ab 的值。
解 由变式4，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦＝12[5－23]＝－2.五、变式5：()2a b +＝()2a b -＋4ab这是因为：()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ＝（2a ＋2b －2ab ）＋4ab ＝()2a b -＋4ab 。
14.2.2-2完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．常见题型：（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 （三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值； （2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型一.公式拓展:拓展一:拓展二:拓展三:拓展四:杨辉三角形拓展五: 立方与与立方差二.常见题型:(一)公式倍比例题:已知=4,求。
(1),则=(2)已知=(二)公式变形(1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A=(2)若()()x y x y a-=++22,则a 为 (3)如果,那么M 等于(4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于(5)若,则N 得代数式就是(三)“知二求一”1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值.2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 得值;(2)求x 2+3xy+y 2得值.3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求:(1)x 2+y 2(2)(x 2﹣1)(y 2﹣1).4.已知a ﹣b=3,ab=2,求:(1)(a+b)2(2)a 2﹣6ab+b 2得值.(四)整体代入例1:,,求代数式得值。
例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值⑴若,则=⑵若,则= 若,则=⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为⑷已知,,,则代数式得值就是.(五)杨辉三角请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式得规律,则(a+b)6=.(六)首尾互倒1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=.2.阅读下列解答过程:已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值.解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0∴,即.∴==32+2=11.请通过阅读以上内容,解答下列问题:已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7,求:(1)得值;(2)得值.(七)数形结合1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形.(1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？(2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积;(3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn.(4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值.2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示.(1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式;(2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.(八)规律探求15.有一系列等式:1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)22×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)23×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)24×5×6×7+ 1=292=(42+3×4+1)2…(1)根据您得观察、归纳、发现得规律,写出8×9×10×11+1得结果(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1就是哪一个数得平方,并予以证明.。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
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半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型
一．公式拓展：
拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+
2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a
a a a 拓展二：a
b b a b a 4)()(22=--+ ()()22
2222a b a b a b ++-=+
ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-
拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++
拓展四：杨辉三角形
3223333)(b ab b a a b a +++=+
4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+
拓展五： 立方和与立方差
))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-
二．常见题型：
（一）公式倍比
例题：已知b a +=4，求ab b a ++2
2
2。
(1)1=+y x ，则222
121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2
222)()1(则=
(二）公式变形
(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=
(2)若()()x y x y a
-=++22，则a 为 (3)如果2
2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于
(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于
(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 （三）“知二求一”
1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．
2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy 的值；
（2）求x 2+3xy+y 2的值．
3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：
（1）x 2+y 2
（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．
4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：
（1）（a+b ）2
（2）a 2﹣6ab+b 2的值．
（四）整体代入
例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值
⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=
⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b
a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．
（五）杨辉三角
请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b ）6=
．
（六）首尾互倒
1．已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=．
2．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值．
解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0
∴，即．
∴==32+2=11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
（七）数形结合
1．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．
（八）规律探求
15．有一系列等式：
1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。