第3章 有限元方法的一般步骤

对角元素置“ 法 对角元素置“1”法：
β1 0 1 F −β k −β k 0 k y1 1 21 3 23 22 0 β3 0 Fy 2 − β1k41 − β 3k43 0 k42 Fx 3 − β1k51 − β3 k53 M M = Fy 3 − β1k61 − β3 k63 M M M M M M M M 0 k Fxn − β1k2 n −1,1 − β 3k2 n −1,3 2 n −1,2 Fyn − β1k2 n ,1 − β3 k2 n ,3 2 n×1 0 k2 n ,2
R y R y R
o R
(a)
x R
o
x
(b)
6、总刚度性质与结点编号方案： 、总刚度性质与结点编号方案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
性质：
• 稀疏矩阵 • 元素集中在主对角线 上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
结点编号尽 可能使刚度矩阵 半带宽窄，所以 沿着物体最窄方 向编号。
有：
§3.3.2 单元位移
单元结点位移： 单元结点位移：
单元全部结点位移： 单元全部结点位移： {δ }e = [δ i 单元内任意一点位移： 单元内任意一点位移：
ui {δ i } = vi w i
δj δm
......]
T
δ i {r} = [ N ]δ j δ .m .
e T v
则有
{F } = [K ] {δ }
e e
e
§3.3.5 结点载荷
分布体积力
{P}q
e
= ∫∫∫[ N ] {q}dxdydz
T
分布表面力
{P}p
e
= ∫∫∫[ N ] { p}dxdydz
T
§3.4 单元刚度矩阵组装与整体分析
§3.4.1 单刚组成总刚
局部坐标建立[K]e
进行坐标变换
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
受外力作用： F } = {F1 , F2 , F3 .....}T 受外力作用： { 产生应力： 产生应力： {σ } = {σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ xz }T 虚位移： 虚位移：
{δ *} = {δ *1 , δ * 2 , δ *3 .....}T
虚应变： 虚应变：{ε *} = {ε * x , ε * y , ε * z , γ * xy , γ * yz , γ * xz }T 外力虚功： 外力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
∗ ∗ e
{r }= [ N ]{δ }
*
{F }
e
= Fi
[
Fj
Fm ......
]
T
* e
∗ T
v
= ({δ ∗ }e )T ∫∫∫ [B ] [D ][B ]dxdydz {δ }
T v
e
由虚位移原理
{F } = ∫∫∫ [B] [D][B ]dxdydz{δ }
e T v
e
记
{K } = ∫∫∫ [B] [D][B]dxdydz
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
§3.1 结构的离散化
§3.1.1 基本单元类型 单元的选取取决于物体的几何形状和描述系统所需要 的独立空间坐标数。 的独立空间坐标数。 1、一维单元：当几何形状、材料性质和应力、位移需要一 、一维单元：当几何形状、材料性质和应力、 个独立的空间坐标描述时。 个独立的空间坐标描述时。
2、二维单元：当几何形状、材料性质和应力、位移需要两 、二维单元：当几何形状、材料性质和应力、 个独立的空间坐标描述时。 个独立的空间坐标描述时。
第3章 有限元方法的一般步骤
1、结构的离散化 、 2、选择单元的位移函数 e 、 3、计算单元刚度矩阵 [ K ] 、 4、组装整体结构物的刚度矩阵 [K ] 、 5、计算等效结点力 、计算等效结 6、形成结构物的求解方程，并解出位移 、形成结构物的求解方程，并解出位移{δ} 7、算出单元的各种结果 、
5、高次元：三维问题中，对涉及曲线几何形状的问题时， 、高次元：三维问题中，对涉及曲线几何形状的问题时， 单元边界采用曲线， 单元边界采用曲线，通过中间增加结点提高模拟曲边的能 力。
§3.1.2 离散过程 1、单元类型的选择：根据物理问题本身来选择单元类型。 、单元类型的选择：根据物理问题本身来选择单元类型。
§3.3.3 单元应变和应力
应变分量
{ε} = [ B]{δ }
e
应力分量 令
{σ } = [ D][ B]{δ }
e
[ S ] = [ D][ B]
{σ } = [ S ]{δ }
e
则
§3.3.4 结点力和单元刚度矩阵
单元结点力： 单元结点力：
U i {Fi } = Vi W i
0 L L L L L 0 L L L L L 1 L L L L L 0 L L L L L M M M M M M M M M M M M M M M M M M
0 k2,2 n −1 0 k4,2 n −1 M M M
3、三维单元：当几何形状、材料性质和应力、位移需要三 、三维单元：当几何形状、材料性质和应力、 个独立的空间坐标描述时。 个独立的空间坐标描述时。
4、轴对称单元：三维问题中，当几何形状、材料性质和应 、轴对称单元：三维问题中，当几何形状、 位移需要一个或两个独立的空间坐标描述时。 力、位移需要一个或两个独立的空间坐标描述时。
• 在不同的对称面上，把位移分量区分为对称分量和反对称分量， 在不同的对称面上，把位移分量区分为对称分量和反对称分量， 面上， 是对称的 是对称的， 是反对称的 是反对称的。 面上， 是反对称 在OX面上，u是对称的，v是反对称的。在OY面上，u是反对称 面上 面上 是对称的； 的，v是对称的； 是对称的 • 将载荷根据不同对称面，也区分为对称分量和反对称分量； 将载荷根据不同对称面，也区分为对称分量和反对称分量；
x
y
必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制， 必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所 允许的位移，但二者是有区别的。 允许的位移，但二者是有区别的。实位移是在一定的力作用下 和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移， 和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有 确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。 确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。
建立总刚
单刚组成总刚实例
6个结点，4个单元，每结点 个自由度 个结点， 个单元 每结点2个自由度 个单元， 个结点 1、对单元（3）在局部坐标编号i、j、k下 求得单刚：
2、将单元（3）的局部坐标编号i、j、k换成总体坐标编号：
3、将单元（3）按编号位置投放到总刚矩阵中：
4、各单元执行1、2、3步得到总刚矩阵：
§3.4.2 结点平衡方程
§3.4. 3 位移边界条件
因为上述方法求出的总体刚度矩阵方程中，总刚是对称的、 半正定的奇异矩阵，所以行列式为0。方程无解。物理意义是结 构受外载荷做刚体位移。 处理方法是添加位移边界条件。 删行删列法： 删行删列法：将结点位移分量为0的对应总刚矩阵中的行列元 素删掉。
+ a8 xy + a9 xz + a10 yz..... + an x n
§3.2. 位移函数的多项式收敛性
收敛性准则： 1、位移函数中必须含有反应刚体运动的常数项。 2、位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数必 需有常数项存在。 3、位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限 的。平面和空间应力问题中，一阶导数连续，板壳问题， 二阶导数连续。
§3.2 选择单元的位移函数
结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来 获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定 单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常 数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元 的类型而定。
§3.2.1 位移函数的多项式形式
• 对于同一个对称面，如载荷是对称的，则位移的反对称分量 对于同一个对称面，如载荷是对称的， 为0，如载荷是反对称的，则位移的对称分量为 ，如载荷是反对称的，则位移的对称分量为0.
飞机机身对称
例如， 所示受纯弯曲的梁， 例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于 、y轴都是几何对 所示受纯弯曲的梁 其结构对于x、 轴都是几何对 称的，而所受的载荷则是对于y轴对称 对于x轴反对称 可知， 轴对称， 轴反对称。 称的，而所受的载荷则是对于 轴对称，对于 轴反对称。可知，梁的应 力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取 梁进行计算即可 梁进行计算即可。 力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算即可。取 分离体如图4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的影响，可以作 所示，对于其它部分结构对此分离体的影响， 分离体如图 所示 相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的 方向位移都设置为零， 轴对称面内各节点的x方向位移都设置为零 相应的处理，即对处于 轴对称面内各节点的 方向位移都设置为零，而 对于在x轴反对称面上的各节点的 方向位移也都设置为零 对于在 轴反对称面上的各节点的x方向位移也都设置为零。这些条件就 轴反对称面上的各节点的 方向位移也都设置为零。 等价于在图4-11(b)中相应节点位置处施加约束，图中 点y方向施加的约 中相应节点位置处施加约束，图中o点 方向施加的约 等价于在图 中相应节点位置处施加约束 束是为了消除刚体位移。 束是为了消除刚体位移。