数学分析简明教程答案16

第十六章 偏导数与全微分§1 偏导数与全微分的概念1．求下列函数的偏导数： （1）)ln(222y x x u +=； （2）)cos()(xy y x u +=； （3）xy u arctan =； （4）yx xy u +=； （5）)sin(xy xyeu =；（6）xyy x u +=．解（1）])[ln(22)ln(22222222222y x x y x x y x x x y x x x u +++=+++=∂∂；22222222yx y x y x y x x u +=+=∂∂． （2）)sin()()cos())sin()(()cos(xy y x y xy y xy y x xy xu+-=-++=∂∂；由x ，y 的对称性，)sin()()cos(xy y x x xy yu+-=∂∂． （3）2222)()(11y x y x y x y xu +-=-+=∂∂； 2221)(11y x x x xy y u +=+=∂∂． （4）y y x u 1+=∂∂， 2yx x y u -=∂∂． （5）)sin()sin()sin())cos(1()cos(xy xy xy e xy xy y y xy xye ye xu+=+=∂∂，根据x ，y 的对称性，)sin())cos(1(xy e xy xy x yu+=∂∂． （6）y y yx xux y ln 1+=∂∂-； 1ln -+=∂∂x y xy x x y u ．2．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=．0,0,0,1sin ),(222222y x y x y x y y x f考察函数在)0,0(点的偏导数．解 000lim )0,0()0,(lim )0,0(lim000=∆-=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆x xf x f x f x x x x ，即0)0,0(=x f ，而20200)(1sinlim 01sinlim )0,0(),0(lim)0,0(limy y yy yf y f yf y y y y y ∆=∆-∆∆=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆→∆不存在，)0,0(y f 不存在．3．证明函数22y x u +=在)0,0(点连续但偏导数不存在． 证明 显然22y x u +=在)0,0(点连续，但x x xx x u x x x x ∆∆=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆0200lim0)(lim )0,0(lim 不存在，由对称性yu y y ∆∆→∆)0,0(lim不存在，因而22y x u +=在)0,0(点的两个偏导数均不存在．4．求下列函数的全微分：（1）222z y x u ++=；（2）y e xeu x zy ++=-．解（1）)(21222222222z y x d z y x z y x d du ++++=++=)(1222zdz ydy xdx zy x ++++=dz zy x z dy zy x y dx zy x x 222222222++++++++=．（2）dy dx e ydz zdy xe dx e y e xed du x z y z y x zy +-++=++=--)()(dz xye dy xze dx e e z y z y x z y +++-=-)1()(．5．求下列函数在给定点的全微分： （1）22yx x u +=在点)0,1(和)1,0(；（2）)ln(2y x u +=在点)1,0(和)1,1(； （3）zyxu =在点)1,1,1(； （4）yxy x u arcsin)1(-+=在点)1,0(． 解（1）)()(21)1(22322222222y x d y x xy x dx y x xd y x dx du ++-+=+++=)()(32222ydy xdx y x xyx dx ++-+=22222)(yx y x xydy dx y ++-=，所以，在点)0,1(，0=du ，在点)1,0(，dx du =．（2）dy yx y dx y x ydy dx y x du 22221)2(1+++=++=，在点)1,0(，dy dx du 2+=；在点)1,1(，dy dx du +=21. （3）11)(1-=∂∂z y x yz x u ，112)(--=∂∂z yx z y x y u ，y x y x z z uz ln )(112-=∂∂，所以， dz y xyx z dy y x z y x dx y x yz du z z z ln )(1)()(11211211--=--，故在)1,1,1(有，dy dx du -=．（4）函数的定义域为}00:),{(x y or y x y x ≤≤≤≤．当0≠x 时，有22111)1(arcsiny xdyydx y xy x y dy yxdx du ---++= dy xxy y y y x y x dx x xy y y )2sgn )1((arcsin)2sgn )1(1(22--++--+=，而当0=x 时，由于)arcsin 11(lim ),0(),(lim 00yx yx y x y x y f y x f x x -+=-++→→不存在，所以在),0(y ，),0(y f x 不存在，虽然00lim ),0(),0(lim),0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yy f y y f y f y y y ，但在点),0(y ，du 不存在，因而yxy x u arcsin)1(-+=在点)1,0(不可微． 6. 考虑函数),(y x f 在)0,0(点的可微性，其中⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=．0,0,0,1sin ),(222222y x y x y x xy y x f解 因为000lim )0,0()0,(lim )0,0(lim 000=∆-=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆xx f x f x f x x x x ，所以0)0,0(=x f ，由对称性，0)0,0(=y f ．若函数),(y x f 在)0,0(可微，则按可微的定义，应有221sin])0,0()0,0([)0,0(),(yx y x y f x f f y x f y x ∆+∆∆∆=∆+∆--∆∆， 是比22y x ∆+∆=ρ更高阶的无穷小，为此考察极限22220022001sinlim1sinlimyx y x y x y x y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=∆+∆∆∆→∆→∆→∆→∆ρ， 由于2222222222)(211sin yx y x y x y x y x y x y x ∆+∆∆+∆≤∆+∆∆∆≤∆+∆∆+∆∆∆， 所以，01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆→∆→∆yx y x y x y x ，故),(y x f 在)0,0(可微． 7．证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f在)0,0(点连续且偏导数存在，但在此点不可微．证明 因为x y x xy x y x y x 2122222≤+⋅=+，所以)0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→，即),(y x f 在点)0,0(点连续，又0)0,0()0,(lim )0,0(lim 00=∆-∆=∆∆→∆→∆x f x f x f x x x ，0)0,0(),0(lim)0,0(lim0=∆-∆=∆∆→∆→∆yf y f yf oy y y ，所以，0)0,0()0,0(==y x f f ．若函数),(y x f 在)0,0(可微，则应有222)()(])0,0()0,0([)0,0(),(y x yx y f x f f y x f y x ∆+∆∆∆=∆+∆--∆∆ 是比22y x ∆+∆=ρ更高阶的无穷小量，为此考察极限32220022200)(lim 1lim y x yx y x y x y x y x ∆+∆∆∆=∆+∆∆∆→∆→∆→∆→∆ρ，令x y ∆=∆，当),(y x ∆∆沿直线x y ∆=∆趋于)0,0(时，xx y x y x x xy x ∆∆=∆+∆∆∆→∆∆=∆→∆032220lim)(lim不存在，即222)()(y x yx ∆+∆∆∆不是比ρ更高阶的无穷小量，因此),(y x f 在)0,0(不可微．8．证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,0,0,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f的偏导数存在，但偏导数在)0,0(点不连续，且在)0,0(点的任何邻域中无界，而f 在原点)0,0(可微．证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=,0,0,0,)1cos 11(sin 2),(2222222222y x y x y x y x y x x y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=,0,0,0,)1cos 11(sin 2),(2222222222y x y x y x y x y x y y x f y而),(lim 0y x f x y x →→不存在，),(lim 00y x f y y x →→也不存在，因而),(),,(y x f y x f y x 在)0,0(点均不连续． n M ∃>∀>∀,0,0δ，使δπ<n 21且M n >π22，但),()0,21(δπP n P n O ∈，),()21,0(δπP n P n O ∈'时，而由于M n n f P f x n x >==ππ22)0,21()(， M n n f P f x n y >=='ππ22)21,0()(，所以，),(y x f x ，),(y x f y 在)0,0(点的任何邻域中均无界．但由于ρ])0,0()0,0([)0,0(),(y f x f f y x f y x ∆+∆--∆∆))0,0(),((0)()(1sin)()(2222→∆∆→∆+∆∆+∆=y x y x y x ， 所以，),(y x f 在)0,0(可微，且在)0,0(的微分0)0,0(=df ．9．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=．0,0,0,2),(2222224y x y x y x xy y x f证明x f∂∂和yf ∂∂在)0,0(点连续． 证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=∂∂,0,0,0,)(222222224y x y x y x xy x f 因为y y x yy x xy ≤+≤+22322242，所以)0,0(0lim 00x y x f x f==∂∂→→，即),(y x f x 在)0,0(连续，由对称性，yf∂∂亦在)0,0(点连续． 10．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=+．0,0,0,1),(222222)(22y x y x y x e y x f y x x证明),(y x f 在点)0,0(可微，并求)0,0(df ．证明 1)(lim 1lim)0,0(3330303-=∆∆+∆-=∆-=→∆∆→∆x x o x x e f x x x x ，00lim )0,0(0==→∆y y f ，ρ])0,0()0,0([)0,0(),(y f x f f y x f y x ∆+∆--∆∆2322)(2222)()()(1112222y x e y x x x y x ey x x y x x ∆+∆-∆+∆∆+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆+∆-=∆=∆∆∆+∆∆ρ232222222222)()(()(21y x y x x y x x ∆+∆∆+∆∆+∆+∆∆-=ο ))0,0(),((0))(()(212122221222→∆∆→∆+∆∆+∆+∆∆-=y x y x x y x x ο，所以，),(y x f 在)0,0(可微，且dx x df -=∆-=)0,0(．11．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=．0,0,0,),(2222223y x y x y x x y x f（1）)(,)(t y y t x x ==是通过原点的任意可微曲线（即0,0)0()0(22≠=+t y x 时，)(,)(,0)()(22t y t x t y t x ≠+可微）．求证))(),((t y t x f 可微；（2）),(y x f 在)0,0(不可微．证明（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+==,0,0,0,)()()())(),(()(223t t t y t x t x t y t x f t ϕ，所以0,)]()([)]()()(2)()(3)()()[()(222222≠+'-'+'='t t y t x t y t y t x t x t y t x t x t x t ϕ， 而在0=t ，由于))()(()(lim)0()(lim)0(22300t y t x t t x t t t t +=-='→→ϕϕϕ，若,0)0(≠'x 则 2232230)]0([)]0([1)]0([))(())((1))((lim )0(y x x tt y t t x t t x t '+''=+='→ϕ，若,0)0(='x 则由于t t x t y t x t t x )())()(()(233≤+，而0)0()(lim 0='=→x t t x t ， 所以，0))()(()(lim2230=+→t y t x t t x t ，即0)0(='ϕ．故))(),((t y t x f 可微． （2）1)0,0()0,(lim )0,0(0=∆-∆=→∆xf x f f x x ；0)0,0(),0(lim)0,0(0=∆-∆=→∆yf y f f y y ，若函数),(y x f 在)0,0(可微，则按可微的定义，应有 ))0,0()0,0(()0,0(),(y f x f f y x f y x ∆+∆--∆∆222223y x y x x y x x ∆+∆∆∆-=∆-∆+∆∆=，是比22y x ∆+∆=ρ更高阶的无穷小，为此考察极限232220022200)(lim )(1lim y x y x y x y x y x y x ∆+∆∆∆-=∆+∆∆∆-→∆→∆→∆→∆ρ，设x y ∆=∆，则有xx x x y x y x x x xy x ∆∆-=∆∆-=∆+∆∆∆-→∆→∆∆=∆→∆023230232220lim221)2(lim)(lim， 该极限不存在，因而)(1lim22200y x y x y x ∆+∆∆∆-→∆→∆ρ不是比ρ更高阶的无穷小量，因此),(y x f 在)0,0(不可微．12．设y x ,很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：（1）nm y x )1()1(++； （2）xyyx ++1arctan． 解（1）nm x y x m y x f )1()1(),(1++=-，1)1()1(),(-++=n m y y x n y x f ，因而，m f x =)0,0(，n f y =)0,0(，)(1)()0,0()0,0()0,0()1()1(22y x ny mx y f x f f y x y x n m ++++=+++=++ορο，因此，当y x ,很小时，ny mx y x nm++≈++1)1()1(．（2）222222)()1(1)1(1)1(11),(y x xy y xy y xyy x y x f x +++-=+-+++=，由对称性， 222)()1(1),(y x xy x y x f y +++-=， 所以，)0,0(1)0,0(y x f f ==，而00arctan )0,0(==f ，故)(1arctanρο++=++y x xyyx ，因此，当y x ,很小时，y x xyyx +≈++1arctan．13．设),(y x f u =在矩形：d y c b x a <<<<,内可微，且全微分du 恒为零，问),(y x f 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论．解 ),(y x f 在该矩形内应取常数值．证明如下：由于),(y x f u =在矩形内可微，故),(),(),(d c b a y x ⨯∈∀，因为0),(),(≡+=dy y x f dx y x f du y x ，所以，0),(≡y x f x ，0),(≡y x f y ，故取定∈),(000y x P 该矩形，有)],(),([)],(),([),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-=- ))((,())(),((002000010y y y y y x f x x y x x x f y x --++--+=θθ)10,10(021<<<<=θθ，所以，C y x f y x f ≡=),(),(00，即),(y x f 取常数值),(00y x f C =．14．设xf∂∂在),(00y x 存在，y f ∂∂在),(00y x 连续，求证),(y x f 在),(00y x 可微．证明 ),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+),(),(),(),(00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=，由于yf∂∂在),(00y x 连续，因而在),(000y x P 存在，由一元函数的Lagrange 中值定理，知10:<<∃θθ，使得y y y x x f y x x f y y x x f y ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+),(),(),(000000θ，由于y f∂∂在),(00y x 连续，故),(),(lim 000000y x f y y x x f y y y x =∆+∆+→∆→∆θ，所以βθ+=∆+∆+),(),(0000y x f y y x x f y y ，其中0lim 0=→∆→∆βy x .而对),(),(0000y x f y x x f -∆+，设),,()(0y x f x =Φ则)()(),(),(000000x x x y x f y x x f Φ-∆+Φ=-∆+，由于),()(000y x f x x =Φ'，故)(x Φ在0x 可导，因而可微，即)()(),(),(000000x x x y x f y x x f Φ-∆+Φ=-∆+αα+∆=+∆Φ'=x y x f x x x ),()(000，其中)0()(→∆∆=x x o α，所以，αβ+∆+∆+∆=-∆+∆+y x y x f y y x f y x f y y x x f x y ),(),(),(),(00000000，其中)0(0→→+≤+∆ρραβραβy ，所以),(y x f 在),(00y x 可微．15. 求下列函数的所有二阶偏导数： （1）22lny x u +=； （2）xy xy u +=； （3）)cos()sin(y x y y x x u +++=；（4）xye u =； 解 )ln(2122y x u +=，2222221y x x y x x x u +=+=∂∂，由对称性，22y x y y u +=∂∂， 2222222)(y x x y x u +-=∂∂， )(2222y x xy y x u +-=∂∂∂， 由对称性，2222)(2y x xyx y u +-=∂∂∂， 2222222)(y x y x y u +-=∂∂． （2）2xy y x u -=∂∂，x x x u 1+=∂∂， 3222xyx u =∂∂，2211x y x u -=∂∂∂，2211x x y u -=∂∂∂，022=∂∂y u ． （3）)sin()cos()sin(y x y y x x y x xu+-+++=∂∂， )sin()cos()cos(y x y y x y x x yu+-+++=∂∂， )cos()sin()cos(222y x y y x x y x x u+-+-+=∂∂， )cos()sin()sin()cos(2y x y y x y x x y x yx u+-+-+-+=∂∂∂， )cos()sin()sin()cos(2y x y y x y x x y x xy u+-+-+-+=∂∂∂， )cos()sin(2)sin(22y x y y x y x x yu+-+-+-=∂∂． （4）xyye x u =∂∂，xy xe y u =∂∂，xy e y xu 222=∂∂，xy xy xye e y x u +=∂∂∂2，xy xy xye e x y u +=∂∂∂2， xy e x yu222=∂∂． 16．求下列函数指定阶的偏导数：（1）x y y x u sin sin 33+=，求 336yx u∂∂∂；（2）xyyx u -+=1arctan，求所有三阶偏导数； （3）)sin(22y x u +=，求3333,yux u ∂∂∂∂； （4）zy x xyzeu ++=，求r q r r q p zy x u∂∂∂∂++；（5）)(y x y x y x u ≠-+=，求n m n m yx u∂∂∂+； （6）)ln(by ax u +=，求n m n m yx u∂∂∂+．解（1）x y y x xu cos sin 332+=∂∂，x y y x x u sin sin 6322-=∂∂，x y y xu cos sin 6333-=∂∂，x y y y x u cos 3cos 6234-=∂∂∂， x y y yx ucos 6sin 6235--=∂∂∂，x y y x u cos 6cos 6332--=∂∂∂． （2） 222222211)()1(1)1(1111x y x xy y xy y xy y x xu+=++-+=-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=∂∂； 211y y u +=∂∂，2222)1(2x xx u +-=∂∂，2222)1(2y y y u +-=∂∂，022=∂∂∂=∂∂∂x y u y x u ， 32233)1()13(2x x x u +-=∂∂，32233)1()13(2y y y u +-=∂∂，02323=∂∂∂=∂∂∂y x u y x u ． （3）)cos(222y x x xu +=∂∂，)sin(4)cos(22222222y x x y x x u +-+=∂∂， )cos(8)sin(122232233y x x y x x xu +-+-=∂∂， 由对称性，)cos(8)sin(122232233y x y y x y yu+-+-=∂∂．（4）z y x z y x z y x yze x xyze yze xu+++++++=+=∂∂)1(，z y x z y x z y x yze x yze x yze xu+++++++=++=∂∂)2()1(22， 由归纳法不难知道，zy x pp yze p x xu +++=∂∂)(． zy x z y x z y x pp ze y p x yze p x ze p x yx u +++++++++=+++=∂∂∂)1)(()()(1， 不难用归纳法知道， z y x q p q p ze q y p x yx u+++++=∂∂∂))((．zy x z y x qp q p ze q y p x e q y p x zy x u +++++++++++=∂∂∂∂))(())((1 z y x e z q y p x +++++=)1)()((，同样用归纳法不难知道，z y x r q p r q p e r z q y p x zy x u+++++++=∂∂∂∂))()((．（5）12)(!)1(2)(2+--=∂∂⇒--=∂∂m m m m y x y m x u y x y x u （使用数学归纳法）， 21)(!)1(2++-+-=∂∂∂m mm m y x my x m y x u ， 322)()2)(1(!)1(2++-++-=∂∂∂m mm m y x my x m m y x u ， 433)()3)(2)(1(!)1(2++-+++-=∂∂∂m mm m y x my x m m m y x u ， 用归纳法，不难计算，1)()!1()1(2+++-+-+-=∂∂∂n m mn m n m y x my nx n m y x u ． （6）)0()(1≠+=+=∂∂a ya b x by ax a x u ， )0()()!1()1()()!1()1()()!1()1(111≠+--=+--=+--=∂∂---b x ba yb a m by ax a m y a b x m x u x mm mm mm m m m m mnm m n m m nm n m x b a y b n m m m a m yx u +-++--++--=∂∂∂)()1)(1()1()!1()1(1 nm nm n m by ax b a n m +-++-+-=)()!1()1(1．17．验证下列函数满足02222=∂∂+∂∂yux u ． （1）)ln(22y x u +=； （2）22y x u -=； （3）y e u x cos =； （4）xyu arctan=． 证明（1）由15（1），知 2222222)()(2y x x y x u +-=∂∂，2222222)()(2y x y x y u +-=∂∂，所以02222=∂∂+∂∂y u x u ． （2）x x u 2=∂∂，222=∂∂x u ，y y u 2-=∂∂，222-=∂∂y u 所以02222=∂∂+∂∂y ux u ． （3）y e x u xcos =∂∂，y e x u x cos 22=∂∂，y e y u x sin -=∂∂，y e y u x cos 22-=∂∂，所以，02222=∂∂+∂∂yux u ． （4）2222)()(11y x yx y xy xu+-=-+=∂∂，22222)(2y x xy x u +=∂∂， 2221)(11y x xx xy yu +=+=∂∂，22222)(2y x xy y u +-=∂∂，所以，02222=∂∂+∂∂yux u ．18．设函数))((y x u ψϕ+=，证明222xuy u y x u x u ∂∂∂∂=∂∂∂∂∂. 证明).())(()),((y y x yu y x x u ψψϕψϕ'+'=∂∂+'=∂∂ )())(()),((222y y x y x u y x xu ψψϕψϕ'+''=∂∂∂+''=∂∂； )())(())((2y y x y x yx ux u ψψϕψϕ'+''+'=∂∂∂∂∂；))(()())((22y x y y x xuy u ψϕϕψϕ+'''+'=∂∂∂∂； 即222xu y u y x u x u ∂∂∂∂=∂∂∂∂∂. 19．设y x f f ,在点),(00y x 的某邻域内存在且在点),(00y x 点可微，则有),(),(0000y x f y x f yx xy =．证明 像定理16.4的证明过程中一样计算，知),(00y x f xy 与),(00y x f yx 是函数yx y x f y x x f y y x f y y x x f y x W ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=∆∆),(),(),(),(00000000 的两个累次极限．我们利用y x f f '',在),(00y x 处的可微性，下面证明yx W∆∆可改写成 xyx y y x f y x W yx ∆∆-∆∆++''=∆∆θεθεε32100),(， （*）和yxy x y x f y x W xy ∆∆-∆∆++''=∆∆1615400),(θεθεε， （**）二者对充分小的y x ∆∆,同时成立，且当0,0→∆→∆y x 时，)6,,1(0 =→i i ε，1,01<<θθ．于是令0→∆=∆y x 可得，),(),(0000y x f y x f xy yx''=''． （#） 可见，问题归结为证明（*），（**）成立．为此取y x ∆∆,充分小，引入辅助函数),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ϕ，式yx W∆∆可改写为 )(1)]()([1000y y xy y y y x y x W y ∆+'∆=-∆+∆∆=∆∆θϕϕϕ )],(),([10000y y x f y y x x f xy y ∆+-∆+∆+∆=θθ，（101<<θ）， 由于y f 在),(00y x 处可微，故y y x f x y x f y x f y y x x f yy yx y y ∆+∆+=∆+∆+θθ),(),(),(),(00000000y x ∆+∆+θεε21，其中0,21→εε（当0,→∆∆y x 时），y y y x f y x f y y x f yy y y ∆+∆+=∆+θεθθ3000000),(),(),(，其中03→ε（当0→∆y 时），因此得)},(),({10000y y x f y y x x f xy x W y y ∆+-∆+∆+∆=∆∆θθ y x y y x f x y x f y x f xyy yx y ∆+∆+∆+∆+∆=θεεθ21000000),(),(),({1}),(),(30000y y y x f y x f yy y ∆-∆--θεθxyx y y x f yx ∆∆-∆∆++=θεθεε32100),(， 这正是（*）式．同样，令),,(),()(00y x f y y x f x -∆+=ψ则)(1)]()([11000x x yx x x y x y x W ∆+'∆=-∆+∆∆=∆∆θψψψ )},(),({1010010y x x f y y x x f yx x ∆+-∆+∆+∆=θθ，（101<<θ）， 因x f 在),(00y x 处可微，故y y x f x y x f y x f y y x x f xy xx x x ∆+∆+=∆+∆+),(),(),(),(0010000010θθy x ∆+∆+514εθε，其中0,54→εε（当0,→∆∆y x 时），x x y x f y x f y x x f xx x x ∆+∆+=∆+1610000010),(),(),(θεθθ，所以)},(),({1010010y x x f y y x x f yy x W x x ∆+-∆+∆+∆=∆∆θθ y x y y x f x y x f y x f yxy xx x ∆+∆+∆+∆+∆=5140010000),(),(),({1εθεθ }),(),(1610000x x y x f y x f xx x ∆-∆--θεθyx y x y x f xy ∆∆-+∆∆+=1651400),(θεεθε， 这正是（**）式．§2 复合函数与隐函数微分法1．求下列函数的所有二阶偏导数： （1）),(by ax f u =； （2）),(y x y x f u -+=； （3）),(22y x xy f u =； （4）),(zyy x f u =；（5）)(222z y x f u ++=； （6）),,(yx xy y x f u +=．解（1）),(),(11by ax af a by ax f xu=⋅=∂∂，),(),(22by ax bf b by ax f y u =⋅=∂∂； ),(11222by ax f a x u =∂∂，),(122by ax abf y x u =∂∂∂，),(212by ax abf x y u =∂∂∂，),(22222by ax f b yu=∂∂． （2）),(),(21y x y x f y x y x f xu-++-+=∂∂， ),(),(21y x y x f y x y x f yu-+--+=∂∂； ),(),(),(),(2221121122y x y x f y x y x f y x y x f y x y x f x u-++-++-++-+=∂∂ ),(),(2),(221211y x y x f y x y x f y x y x f -++-++-+=，),(),(),(),(222112112y x y x f y x y x f y x y x f y x y x f yx u-+--++-+--+=∂∂∂ ),(),(2211y x y x f y x y x f -+--+=，),(),(),(),(222112112y x y x f y x y x f y x y x f y x y x f xy u-+--+--++-+=∂∂∂ ),(),(2211y x y x f y x y x f -+--+=，),(),(),(),(2221121122y x y x f y x y x f y x y x f y x y x f yu-++-+--+--+=∂∂ ),(),(2),(221211y x y x f y x y x f y x y x f -++-+--+=．（3）),(2),(2222212y x xy xyf y x xy f y xu+=∂∂， ),(),(22222221y x xy f x y x xy xyf yu+=∂∂； ),(2)],(2),([222221222112222y x xy yf y x xy xyf y x xy f y y xu ++=∂∂ )],(2),([2222222212y x xy xyf y x xy f y xy ++),(2),(4),(4),(2222222222212322114y x xy yf y x xy f y x y x xy f xy y x xy f y +++=，)],(),(2[),(222122*********y x xy f x y x xy xyf y y x xy yf yx u++=∂∂∂ )],(),(2[2),(2222222221222y x xy f x y x xy xyf xy y x xy xf +++),(2),(5),(22222322122222113y x xy yf x y x xy f y x y x xy f xy ++=),(2),(2222221y x xy xf y x xy yf ++，)],(2),([2),(22212221122212y x xy xyf y x xy f y xy y x xy yf xy u++=∂∂∂ )],(2),([),(22222222122222y x xy xyf y x xy f y x y x xy xf +++ ),(2),(5),(22222322122222113y x xy yf x y x xy f y x y x xy f xy ++= ),(2),(2222221y x xy xf y x xy yf ++，)],(),(2[2),(222122221122122y x xy f x y x xy xyf xy y x xy xf yu++=∂∂ )],(),(2[2222222212y x xy f x y x xy xyf x ++),(2),(),(4),(42212222422123221122y x xy xf y x xy f x y x xy yf x y x xy f y x +++=． （4）),(11z y y x f y x u =∂∂，),(1),(212z y y x f z z y y x f y x y u +-=∂∂，),(22z y y x f zy z u -=∂∂； ),(111222z y y x f yx u =∂∂， )],(1),([1),(112112122z yy x f z z y y x f y x y z y y x f yy x u +-+-=∂∂∂ ),(1),(),(11211312z yy x f yz z y y x f y x z y y x f y +-+-=， ),(1),()(11221222z yy x f zz y y x f z y y z x u -=-=∂∂∂， ),(11),(1),(121112122z yy x f y z z y y x f yy x z y y x f y x y u ⋅+⋅--=∂∂∂ ),(1),(),(11211312z yy x f yz z y y x f yx z y y x f y +--=， )],(1),([),(21211221322z yy x f z z y y x f yx y x z y y x f y x y u +--=∂∂)],(1),([122212zy y x f z z y y x f y x z +-+ ),(1),(2),(),(2222122114213z yy x f zz y y x f z y x z y y x f y x z y y x f y x +-+=，)(),(1),()1()(),(2222221222zy z yy x f z z y y x f z z y z y y x f y x z y u -⋅+-+-⋅-=∂∂∂ ),(),(1),(22322122zyy x f z y z y y x f z z y y x f yz x --=， ),(1),(11222122z y y x f zz y y x f y z y x z u -=⋅-=∂∂∂， )],(1),([),(1222122222zyy x f z z y y x f y x z y z y y x f z y z u +---=∂∂∂ ),(),(),(122312222zyy x f z y z y y x f yz x z y y x f z -+-=， ),(),(2)(),(),(222422322222322z y y x f zy z y y x f y z z y z y y x f z y z y y x f z y z u +=-⋅-=∂∂． （5）)(2222z y x f x xu ++'=∂∂，)(2222z y x f y y u ++'=∂∂，)(2222z y x f z z u++'=∂∂；)(4)(2222222222z y x f x z y x f xu ++''+++'=∂∂， )(422222z y x f xy xy u y x u ++''=∂∂∂=∂∂∂，)(422222z y x f xz x z u z x u ++''=∂∂∂=∂∂∂， )(4)(2222222222z y x f y z y x f yu++''+++'=∂∂， )(422222z y x f yz yz uz y u ++''=∂∂∂=∂∂∂， )(4)(2222222222z y x f z z y x f zu ++''+++'=∂∂． （6）),,(1),,(),,(321yxxy y x f y y x xy y x yf y x xy y x f x u +++++=∂∂，),,(),,(),,(3221y xxy y x f yx y x xy y x xf y x xy y x f y u +-+++=∂∂， ),,(1),,9),,(13121122y xxy y x f y y x xy y x yf y x xy y x f xu +++++=∂∂ )],,(1),,(),,([232221yxxy y x f y y x xy y x yf y x xy y x f y ++++++)],,(1),,(),,([1333231yxxy y x f y y x xy y x yf y x xy y x f y ++++++ ),,(2),,(2),,(131211yxxy y x f y y x xy y x yf y x xy y x f +++++= ),,(1),,(2),,(33223222yxxy y x f y y x xy y x f y x xy y x f y ++++++，),,(),,(),,(132121122y xxy y x f yx y x xy y x xf y x xy y x f x y u y x u +-+++=∂∂∂=∂∂∂ ),,(),,([),,(22212y xxy y x xf y x xy y x f y y x xy y x f ++++++),,([1),,()1()],,(3132232y xxy y x f y y x xy y x f yy x xy y x f y x +++-++-)],,(),,(33232y xxy y x f yx y x xy y x xf +-++),,(),,(1),,(11322y x xy y x f y x xy y x f yy x xy y x f +++-+= ),,(),,()(13212y xxy y x f y x y y x xy y x f y x +-++++),,(),,(33322y xxy y x f yx y x xy y x xyf +-++，),,(),,(),,(132121122y xxy y x f y x y x xy y x xf y x xy y x f y u +-+++=∂∂ )],,(),,(),,([2322221y xxy y x f yx y x xy y x xf y x xy y x f x +-++++),,(),,([),,(23231233y x xy y x xf y x xy y x f y x y x xy y x f y x +++-++)],,(332y xxy y x f y x +-),,(2),,(),,(2121133y xxy y x xf y x xy y x f y x xy y x f yx +++++=),,(2),,(),,(22322222132y x xy y x f y x y x xy y x f x y x xy y x f y x +-+++-),,(3344y xxy y x f yx ++．（在以上各题中，都假设f 对各自变量的二阶混合偏导数与求导次序无关）. 2．设)(22y x f yz -=，其中f 是可微函数，验证211yzy z y x z x =∂∂+∂∂． 证明 )()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅-'--=∂∂， )(1)2)(()(2222222y x f y y x f y x f y y z -+--'--=∂∂ )(1)()(222222222y x f y x f y x f y -+--'=， 所以，)(1)()(2)()(211222222222222y x yf y x f y x f y y x f y x yf y z y x z x -+++'++--=∂∂+∂∂ 2222)(1y zy x f y y =-=．3．设)(1crt g r v -=，c 为常数，函数g 二阶可导，222z y x r ++=．证明 2222222221tvc z v y v x v ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂．证明 )(1crt g r t v -'=∂∂，)(122c r t g r t v -''=∂∂，)221)((1)(2212222222z y x xc c r t g r c r t g z y x x r x v ++--'+-++-=∂∂)()(23crt g cr x c r t g r x -'---=，)(2)(34262322c r t g cr r xr x r c r t g r r x r x r x v -'⋅⋅---⋅⋅+-=∂∂ )()()()(23cr xc r t g cr x cr x c r t g rx -⋅-''--⋅-'-)()(3)(3322422522c rt g rc x c r t g cr r x c r t g r r x -''+-'-+--=， 由函数v 关于z y x ,,的对称性知，)()(3)(332242252222c rt g rc y c r t g cr r y c r t g r r y y v -''+-'-+--=∂∂， )()(3)(332242252222c rt g rc z c r t g cr r z c r t g r r z z v -''+-'-+--=∂∂， 所以，)(3)(352222222222c rt g rr z y x z v y v x v --++=∂∂+∂∂+∂∂ )()(3)(3322242222c r t g cr z y x c r t g cr r z y x -''+++-'-+++ 22221)(1tvc c r t g r c ∂∂=-''=．4．若函数),,(z y x f 对任意的正实数t 满足关系),,(),,(z y x f t tz ty tx f n =，则称),,(z y x f 为n 次齐次函数．设),,(z y x f 可微，试证明),(y x f 为n 次齐次函数的充要条件是),,(z y x nf zf z y f y x f x=∂∂+∂∂+∂∂． 证明 必要性．由于),(y x f 为n 次齐次函数，因此),,(),,(z y x f t tz ty tx f n=，两边对t 求导，有),,(),,(),,(),,(1321z y x f nt tz ty tx zf tz ty tx yf tz ty tx xf n -=++，令ζηξ===tz ty tx ,,，则有),,(),,(),,(),,(),,(11321ζηξζηξζηξζζηξηζηξξf tnt t t t f ntf tf tf tn n n --==++， 再把ζηξ,,用z y x ,,替代，就有),,(z y x nf zfz y f y x f x=∂∂+∂∂+∂∂． 充分性．设),,(z y x f 满足),,(z y x nf zf z y f y x f x=∂∂+∂∂+∂∂，任意固定定义域中一点),,(z y x ，考察下面的t 的函数nt tz ty tx f t F ),,()(=，)0(>t .它在0>t 时有定义且是可微的，对t 求导，得),,()},,(),,(),,({1)(1tz ty tx f t ntz ty tx zf tz ty tx yf tz ty tx xf t t F n z y x n +-++=')},,(),,(),,(),,({11tz ty tx nf tz ty tx tzf tz ty tx tyf tz ty tx txf t z y x n -++=+ 0=，从而当0>t 时，c t F =)((与t 无关的常数)．在函数)(t F 的等式中令1=t ，得),,()1(z y x f F c ==，于是，),,(),,()(z y x f t tz ty tx f t F n==，即),,(),,(z y x f t tz ty tx f n=，从而),,(z y x f 为n 次齐次函数．5. 验证下列各式： （1）)(22y x u +=ϕ，则0=∂∂-∂∂y u x x u y； （2）)(22y x y u -=ϕ，则yxuy u x x u y=∂∂+∂∂； （3）)()(y x y y x x u +++=ψϕ，则0222222=∂∂+∂∂∂-∂∂y uy x u xu ；（4）)()(x y x y x u ψϕ+=，则022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y y x u xy x u x ．解（1）)(22)(2222y x x x y x xu+'=⋅+'=∂∂ϕϕ，)(222y x y y u +'=∂∂ϕ，所以， 0)(2)(22222=+'-+'=∂∂-∂∂y x xy y x xy yux x u yϕϕ． （2）)(222y x xy xu-'=∂∂ϕ，)(2)(22222y x y y x y u -'--=∂∂ϕϕ，所以， yxuy x xy y x x y x xy y u x x u y=-'--+-'=∂∂+∂∂)(2)()(222222222ϕϕϕ． （3）)()()(y x y y x x y x xu+'++'++=∂∂ψϕϕ，)()()(y x y y x y x x yu+'++++'=∂∂ψψϕ， )()()(222y x y y x x y x xu+''++''++'=∂∂ψϕϕ， )()()()(2y x y y x y x x y x yx u +''++'++''++'=∂∂∂ψψϕϕ， )()(2)(22y x y y x y x x yu+''++'++''=∂∂ψψϕ， 所以，))()()(2(222222y x y y x x y x y uy x u xu +''++''++'=∂∂+∂∂∂-∂∂ψϕϕ ))()()()((2y x y y x y x x y x +'++'++''++'-ψψϕϕ )()(2)((y x y y x y x x +''++'++''+ψψϕ0=．（4）)()()())(())(()(222x y xy x y x y x y x y x y x y x y x x y x uψϕϕψϕϕ'-'-=-'+-'+=∂∂，)(1)(xy x x y y u ϕϕ'+'=∂∂， )()(2)()()(423322222x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x uψψϕϕϕ''+'+''+'+'-=∂∂)()(2)(42332xyx y x y x y x y x y ψψϕ''+'+''=，)()(1)(3222x y xy x y x x y x y y x u ψψϕ''-'-''-=∂∂∂， )(1)(1222x y x x y x y u ψϕ''+''=∂∂， 所以，)()(2)(22222222222x y x y x y x y x y x y y u y y x u xy x u x ψψϕ''+'+''=∂∂+∂∂∂+∂∂ 0)()()(2)(2)(2222222=''+''+''-'-''-x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y ψϕψψϕ．6．设),(y x f u =可微，在坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，下，证明22222)()()(1)(y ux u u r r u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ， 22222222211yux u u r r u r r u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θ． 证明θθsin cos yfx f r u ∂∂+∂∂=∂∂， yf r r x f r y f r x f u ∂∂+∂∂-=∂∂+-⋅∂∂=∂∂θθθθθcos sin )cos ()sin (， 所以，222222)cos sin (1)sin cos ()(1)(y f r r x f ry f x f u r r u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θθθθθ θθθθcos sin 2sin )(cos )(2222y fx f y f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂= θθθθ2222cos )(cos sin 2sin )(yfy f x f x f ∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂+ 2222)()()()(yux u y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=．θθθθθθsin )sin cos (cos )sin cos (22222222yfx y f y x f x f r u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ θθθθ2222222sin cos sin 2cos yf y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂=， )cos ()sin ](cos )sin ([22222θθθθθr x f r r y x f r x f u -∂∂+-∂∂∂+-∂∂=∂∂)sin (cos ]cos )sin ([222θθθθr y fr r y f r x y f -∂∂+∂∂+-∂∂∂+θθθθ2222222222cos cos sin 2sin r yf r y x f r x f ∂∂+∂∂∂-∂∂= θθsin cos r yfr x f ∂∂-∂∂-， 因此，2222211θ∂∂+∂∂+∂∂ur r u r ru θθθθθθsin 1cos 1sin cos sin 2cos 2222222y f r x f r y f y x f x f ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=θθθθθθsin 1cos 1cos cos sin 2sin 2222222y f r x f r yf y x f x f ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+22222222yux u y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=． 7．设),(y x f z =可微，在坐标旋转变换θθθθcos sin ,sin cos v u y v u x +=-=下（其中旋转角θ是常数），证明：2222)()()()(vzu z y z x z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂． 这时称22)()(yzx z ∂∂+∂∂是一个形式不变量． 证明θθsin cos y f x f u z ∂∂+∂∂=∂∂，θθcos sin yfx f v z ∂∂+∂∂-=∂∂，所以，2222)cos sin ()sin cos ()()(θθθθyf x f y f x f x zu z ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ .2222)()()()(yux u y f x f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=． 8．设函数),(y x f u =满足Laplace 方程02222=∂∂+∂∂yux u ， 证明在下列变换下形式保持不变，即仍有02222=∂∂+∂∂tus u ．（1）2222,ts ty ts sx +=+=； （2）t e y t e x s ssin ,cos ==；（3）),(t s x ϕ=，),(t s y ψ=满足t s ∂∂=∂∂ψϕ，st ∂∂-=∂∂ψϕ．这组方程称为Cauchy-Riemann 方程．解（1）22222222)(2)(t s sty u t s s t x u s u +-∂∂++-∂∂=∂∂，22222222)()(2t s t s y u t s st x u t u +-∂∂++-∂∂=∂∂， 32222222222222222222222)()3(2)(])(2)([t s t s s x u t s s t t s st y x u s t s t x u s u +-∂∂++-+-⋅∂∂∂++-∂∂=∂∂ 3222222222222222222)()3(2)(2])(2)([t s t s t y u t s st t s st y u s t s t x y u +-∂∂++-+-∂∂++-∂∂∂+ 222222242222242222222)(4)()(4)()(t s t s y u t s s t st y x u s t s t x u +∂∂++-∂∂∂-+-∂∂= 2222232222)()3(2)()3(2t s t s t y u t s t s s x u +-∂∂++-∂∂+， 322222222222222222222)()3(2)(2])()(2[t s s t s x u t s st t s t s y x u t s st x u t u +-∂∂++-+-∂∂∂++-∂∂=∂∂ 222222222222222222222)()3(2)(])()(2[t s s t t y u t s t s t s t s y u t s st x y u +-∂∂++-+-∂∂++-∂∂∂+。