2012年高考理科数学北京卷(答案解析)
2012年理数高考试题答案及解析北京
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理 )(北京卷 )本试卷共 5 页 . 150 分 .考试时长 120 分钟 .考试生务必将答案答在答题卡上 .在试卷上作答无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 ( 选择题共 40 分 )一、选择题共 8 小题。
每小题 5 分 .共 40 分 .在每小题列出的四个选项中， 选出符合胜目要求的一项 .1．已知集合 A={x ∈ R|3x+2＞ 0} B={x ∈ R|（ x+1 ） (x-3) ＞ 0} 则 A ∩ B=A （ -， -1） B （ -1， -2） C（ -2,3）D (3,+ )33【解析】和往年一样，依然的集合 (交集 )运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为 A{ x R | 3x 20}x2 B{ x | x1或 x 3} 画出数，利用二次不等式可得3轴易得： A B { x | x 3} ．故选 D ．【答案】 D2．设不等式组0 x2,D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标y，表示平面区域为2原点的距离大于 2 的概率是（A ）（B ） 2（ C ）（ D ） 44246【解析】题目中0 x 2 D0 y表示的区域如图正方形所示，而动点2可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 2 1224P4，故选 D 。
2 24【答案】 D3．设 a ， b ∈R 。
“ a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】当 a0 时，如果 b0同时等于零，此时 a bi0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 a bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a 0 ，因此想必要条件，故选 B 。
【答案】 B4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】 k 0 ， s1k 1， s 1 k 2 ， s 2k 2 ， s 8 ，循环结束，输出的 s 为 8，故选 C。
2012年高考数学北京(理)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)解析本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= （A ） （-∞，-1） （B ）（-1，-23） （C ）（-23,3） （D ）(3,+∞) [答案]D[解析]和往年一样，依然是集合（交集）运算，本题考查的是一次和二次不等式的解法.因为A={x ∈R|3x+2＞0}32->⇒x ，利用二次不等式的解法可得{}31>-<=x x x B 或，画出数轴易得：A ∩B={x|x ＞3}.[点评]集合的运算往往与解不等式联系在一起考查，属低档题.（2）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-[答案]D[解析]题目中表示区域如下图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积，因此P=4422241222ππ-=⨯-⨯[点评]这是道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率.与面积、体积、长度有关的概率问题属于几何概型.3.设a，b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]a=O,b=0时，a+bi=0是实数，不是纯虚数；而如果a+bi是纯虚数，一定有a=O.[点评]纯虚数的概念要理解到位.（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（A）2（B）4（C）8（D）16[答案]C[解析]本题考查程序框图，设计到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算，k=o,s=1⇒k=1,s=1⇒k=2,s=2⇒k=3,s=8,结束[点评]读懂程序，做好循环结束的判断.本题属低档题.5.如图. ∟ACB=90º.CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²[答案]A[解析]这是平面几何题，主要考查射影定理的各种情况，要求学生对垂直的变化要有深入了解.[点评]平面几何中三角形相似的知识不容忽视.6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6 [答案]B[解析]分两类：（1）奇偶奇形式：3×2×2=12；偶奇奇形式：3×2=6，共有12+6=18 [点评]排列组合题要注意合理分类.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+D ）60+[答案]B[解析]本题考查的是三棱锥的三视图问题，问题变化为求表面积，因此对学生的计算基本功以及空间想象能力都存在着综合性的考查.从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如下图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积.563056101010+=+++=+++=左右后底表S S S S S[点评]把三视图正确地转化为直观图是解决问题的关键.（8）某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 [答案]C[解析]该题考查知识点很灵活，要根据图像看出变化趋势，由于目的是看年平均产量最高，就需要随着n 的增大，总年产量变化超过平均值的加入，随着n 的增大，由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.[点评]考察阅读理解能力，这也对数学的学习平时要求不能过于僵化，要灵活. 第二部分(非选择题共110分)二.填空题（共6小题，每小题5分，共30分）. 9.直线(t 为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为[答案]2[解析]直线方程为x+y=1,圆方程为x 2+y 2=9,画出图形易得两个交点.[点评]把参数方程化为普通方程是解决该问题关键.（10）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1= ，S 2=a 3，则a 2=_________，S n =_________________.[答案]1，42n n[解析]本题考查等差数列的基本计算，难度不大，因为d a d a a a S 211132+=++⇒=211==⇒a d ，所以42)1(,12112n n d n n na S d a a n +=-+==+= [点评]等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式是必须要掌握的内容，并会熟练应用.11.在△ABC 中，若α=2，b+c=7,cos B =14-，则b= [答案]4[解析]在⊿ABC 中，由余弦定414)(744))((42cos 222-=-+=-++=-+=c b c c b c b c ac b c a B化简得8c-7b+4=0,又b+c=7,解得b=4.[点评]正余弦定理是解三角形的有力工具，要烂熟于心.12.在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线24y x =的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为[答案]3[解析]根据y 2=4x 得焦点坐标F （1,0），因为直线l 的倾斜角为60º，所以直线的斜率为K=tan600=3,利用点斜式，直线方程为y=3x-3,将直线和曲线联立⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32A （3,23）B （332,31-），因此33212121=⨯⨯=⨯⨯=∆A OAF y OF S [点评]直线与抛物线的关系可以转化为求交点坐标问题.（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则∙的值为________， ∙的最大值为 .[答案]1,1[解析]CB DE ∙=〉〈=∙DE cos ,而DA DE =〉〈,cos ,所以∙=1=；容易发现当E 点移动到B 点时，∙取最大值1.[点评]向量问题应多在数形结合上做文章.14.已知f(x)=m(x-2m )（x+m+3）,g(x)=2x -2，若同时满足条件： ①x ∈R ，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x ∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0则m 的取值范围是 [答案]（-4,-2）[解析]根据g(x)= 2x -2<0，可解的x<1.由于x ∈R ，f(x) ＜0或g(x) ＜0成立，导致f(x)在x ≥1时，必须是f(x)<0的，因此f(x)的开口必须向下，m<0,且此时两个根为x 1=2m,x 2=-m-3,为保证条件①成立，需要⇒⎩⎨⎧<--=<=131221m x m x ⎪⎩⎪⎨⎧-><421m m ，又m<0,故结果为-4<m<0;又②x ∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0，得x ∈(-∞,-4)时，g(x)<0恒成立，因此就需要在这个范围内f(x)有取正数的可能，即-4应该比x 1，x 2中的小根大，当m ∈（-1，0）时，-m-3<-4,此时不成立；当m=-1时，有两相等根-2，此时不成立；当m ∈（-4，-1）时，2m<-4,得m<-2. 综上可知：m ∈（-4,-2）[点评]本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数图像的开口，根的大小，涉及到指数函数的平移的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，典型的“小题大做”.三、解答题公6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-=.（1） 求f （x ）的定义域及最小正周期； （2） 求f （x ）的单调递增区间.[解析] (1)由sinx ≠0得，x ≠πk ,即函数定义域为{x |x ≠πk ,k ∈Z}(sin cos )2sin cos()sin 2cos 21)1sin 4x x x x f x x x x x π-==--=--,所以T=π(2)由πππππk x k 224222+≤-≤+-，即ππππk x k +≤≤+-838，又x ≠πk , 故单调增区间是Z k k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎢⎣⎡-83,,8πππππ [点评]本题是三角函数题，考查知识比较基础，属容易题. 16. （本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2.（1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由[解析]（1）∵DE ⊥A 1D ，且DE ⊥CD,∴DE ⊥底面A 1D C, ∴DE ⊥A 1C,又因为A 1C ⊥CD, A 1C ⊥平面BCDE.(2)以C 点为坐标原点，CA 1为竖轴，CB 为横轴，CD 为纵轴建立空间直角坐标系，则C （0,0,0）M （0,1，3），=CM （0,1，3）, =BE (-1,2,0),)32,0,3(1=B A ,设平面A 1BE 的法向量为),,(111z y x =，解得)23,21,1(=n ，设所求线面角为α，sin α=4,22πα=∴(3)设点P 坐标为（m,0,0）, )32,0,(1-=m P A ,)32,2,0(1-=D A ,设平面A 1DP 的法向量为2n ，解得)63,2,1(2m m n =，又平面A 1BE 与平面A 1DP 垂直，02=∙n ，解得m=-2,故在BC 上不存在这样的点P.[点评]立体几何问题的考查往往以垂直、平行为重点，进一步考查三种角，我们可以充分利用好垂直条件，建立空间直角坐标系求解或证明.17（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c 其中a ＞0，a+b+c=600.当数据a,b,c 的方差s 2最大时，写出a,b,c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值.（注：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ,其中x 为数据x 1,x 2…，x n 的平均数）.[解析]（1）P=32600400= （2）P=1031000300=（3）a=600,b=0,c=0,方差最大值为8万[点评]本题第三问考查学生的能力很强，化简计算观察的考查非常到位. 18．（本小题共13分）已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3+bx.(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； (2) 当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值.[解析]（1）∵)1()1(g f '='∴2a=3+b ， ∵f(1)=g(1)，∴a=b ， ∴a=b=3.（2）令F(x)=f(x)+g(x)= x 3+ax 2+42a x+1∴6,20423)(2122a x a x a ax x x F -=-==++='，得由于a>0,所以-2a <-6a∴(-∞,-2π),(- 6π,+∞)为增区间，（-2π,- 6π）为减区间，F(-1)=a-42a ，F(-2a )=1，且 F(-1) ≤F(-2a) ② -2a>-1,即a<2时，最大值为F(-1)=a-42a②当-2a ≤-1，即a ≥2时，最大值为F(-1)=a-42a 或F(-2a )=1，而F(-1)=a-42a =-（2a-1）2+1≤1，所以最大值为1.[点评]本题考查的是导数中较为常规的题目，切线、单调性、极值和最值这些内容也都是学习的重点，难点在第二问中的讨论，思维含量要求很高.19．（本小题共14分）已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)（1） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2） 设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N ,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线.[解析]（1）利用椭圆的标准方程，易解得27<m<5 (2) 由得消去y y x kx y ⎩⎨⎧=++=82422（2k 2+1）x 2-16kx+24=0 ∴1224,1216222211+=+=+k x x k k x x 直线BM 的方程为)1,23(221111+⇒+=+y x G x x y y三点共线可以用2211223x y y x k k AN AG -=+⇒=,结合韦达定理代入化简可得结论. [点评]此题难度在于运算，思维含量适中，对学生来讲易于解答.20．（本小题共13分）设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S(m,n),记r i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）：记K(A)为∣r 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值.（1） 对如下数表A ，求K （A ）的值；（2）设数表A ∈S （2,3）形如求K （A ）的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2,2t+1），求K （A ）的最大值.[解析]（1）k （A ）=0.7;[点评]本题第二、三问难度较大，不易解决，属难题.。
2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
第 5页（共 27页）
20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
第 2页（共 27页）
D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB
2012年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。 【答案】C
第二部分(非选择题共 110 分)
二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分. 9．直线 ⎨
⎧x = 2 + t ⎧ x = 3 cos α ( t 为参数)与曲线 ⎨ (α 为参数)的交点个数为______。 y = − 1 − t y = 3 sin α ⎩ ⎩
2 2 ） C （- ,3）D (3,+ ∞ ) 3 3
【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为
2 利用二次不等式可得 B = {x | x < −1 或 x > 3}画出数轴易得： A = { x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > − ， 3
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1 ⎧ ⎧ x1 = 2 m < 1 ⎪m < 此时两个根为 x1 = 2m ， x2 = −m − 3 。为保证此条件成立，需要 ⎨ ⇒⎨ 2 ， ⎩ x 2 = −m − 3 < 1 ⎪m > −4 ⎩
和大前提 m < 0 取交集结果为 − 4 < m < 0 ；又由于条件 2：要求 x ∈ ( −∞, −4) ， f ( x ) g ( x ) < 0 的 限制，可分析得出在 x ∈ (−∞, −4) 时，
⎧ A(3,2 3 ) ⎧ 1 1 ⎪ y = 3x − 3 ⎪ ⇒ ⎨ 1 2 3 ，因此 S∆ OAF = × OF × y A = × 1× 2 3 = 3 ． ⎨ 2 2 2 ⎪ ) ⎩ y = 4x ⎪B ( ,− 3 ⎩ 3
【答案】 3 13． 已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点， 则 DE ⋅ CB 的值为________， DE ⋅ DC 的最大值为______。 【解 析】根据 平面向量 的数量积 公式 DE ⋅ CB = DE ⋅ DA = | DE | ⋅ | DA | cos θ ，由 图可知，
2012年理数高考试题答案及解析-北京-(5446)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{xx R x A，利用二次不等式可得1|{x x B 或}3x 画出数轴易得：}3|{xx BA ．故选D ．【答案】D 2．设不等式组2,20yx ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4（B ）22（C ）6（D ）44【解析】题目中220yx 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222P，故选D 。
【答案】D3．设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当0a时，如果0b同时等于零，此时0bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0k ，11k s ，21k s ，22k s ，8s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
【答案】5.如图. ∠ACB=90o ，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点 E.则()A. CE ・CB=AD ・DBB. CE ・CB=AD ・ABC. AD ・AB=CD 2D.CE ・EB=CD 2【解析】在ACB 中，∠ACB=90o ，CD ⊥AB 于点D ，所以DB AD CD 2,由切割线定理的CB CECD2,所以CE ・CB=AD ・DB 。
2012年全国高考北京理科数学试题详细解析
B. 7 A. 5 8.【答案】C
C. 9
D. 11
【解析】若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P ( S , n ) 点则前 n 年的年平均产量即为直 线 OP 的斜率由图易得当 n = 9 时，直线 OP 的斜率最大，即前 9 年的年平均产量最高. 【点评】 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义， 其中正确分析出平均 产量的几何意义是解答本题的关键．
【解析】当 a = 0 时，如果 b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数，不是纯虚数，因此不
1
是充分条件；而如果 a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ， 因此为必要条件。 【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识 的掌握程度． 4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
x
① ∀x ∈ R ， f ( x) < 0 或 g ( x) < 0 ； ② ∀x ∈ (−∞,−4) , f ( x) g ( x) < 0 。 则 m 的取值范围是_______。 14.【答案】 m ∈ (−4,−2) 【解析】根据 g ( x) = 2 − 2 < 0 ，可解得 x < 1 。由于题目中第一个条件的限制 ∀x ∈ R ，
A. 28 + 6 5
B. 30 + 6 5
C. 56 + 12 5
D. 60 + 12 5
7.【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度， 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 所求 表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，
2012年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D 2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a ，b∈R。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
2012年高考理科数学北京卷-答案
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ，利用二次不等式的解法可得 或 ，易得 ．
【提示】求出集合 ，然后直接求解 ．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中 表示的区域表示正方形区域，而动点 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此 ，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知 ， ， ， ，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明 ：
若 ，则 ，∴
同理可知 ，
∴ ，由题目所有数和为 ，即 ，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当 时， 存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ） 的最大值为 ．
首先构造满足 的 ：
， ．
经计算知， 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 ，使得 ．
由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中．由于 ，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 ．
设 中有 列的列和为正，有 列的列和为负，由对称性不妨设 ，则 ．另外，由对称性不妨设 的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．
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A B=
1,0}
1,0,1}
x
y e
=关于y轴对称，则()
f x=
()
B.1x e-
D.1x
e--
( )
B.y=
D.
2
y x
=±
l与C所围成的图形的面积等于
( )
C.
8
3
D.
3
表示的平面区域内存在点
00
(,)
P x y，满足
( )
B.
1
(,)
3
-∞
D.
5
(,)
3
-∞-
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.
9.在极坐标系中，点
π
(2,)
6
到直线sin2
ρθ=的距离等于___________.
10.若等比数列{}
n
a满足
24
20
a a
+=，
35
40
a a
+=，则公比q=____；前n项和
n
S=____.
11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3
PA=，:
PD
9:16
DB=，则PD=___________；AB=___________.
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同
一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则
λ
μ
=________.
14.如图，在棱长为2的正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E为BC的中点，点P在线段
1
D E上.
点P到直线
1
CC的距离的最小值为___________.
4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1
BD
BC 的值.
. 19.（本小题满分14分）
已知A ，B ，C 是椭圆2
2:14
x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.
（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
20.（本小题满分13分）
已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之
后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.
（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=）
，写出1d ，2d ，3d ，4d 的值； （Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为
d 的等差数列；
（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
{|
A B x x
=
【提示】求出集合A B．【考点】集合间的基本运算．
2
CE CB CD
=90,CD⊥
AD DB，所以CE CB AD DB
=．
【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．
【解析】
23
S a
=，所以
【提示】由{}n a是等差数列23
S a
=，解得
60，所以直线的斜率为
603
=，将直线和曲线方程联立
3
-
解析】根据平面向c o s
D E C B D E D A D E D A
θ
==，
c o s
D E D A
θ=，
所以2
1DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是
向量DE 在DC
边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，
所以长度为1．
【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．)()0g x <，恒成立
3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．
)()0g x <，（Ⅰ）证明CD 1CD
A D D =，又
A C ⊥DE ，又CD DE D = C ⊥平面BCDE C xyz -，则∴1(0,3,2A
B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3⎧⎪⎨-⎪⎩322z y =⎪⎩
∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222
CM n CM n θ=
===++
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45
（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =平面A 量为(,n x =1(,,n x y =1垂直，则10n n =， 法向量(1,2,n =-
(1,0,CM =-（Ⅲ）设线段BC 量为(3n a =-1与平面垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．
（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）
a a ∴3AG ⎛= ，(AN x =只需证AG ，AN 共线 ⎭
从而可得3AG ⎛= ⎝，(AN x =只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．
【答案】（Ⅰ）
++
t t
1(1)(1
行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此。